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Álgebra intermediária (parte 1)

Curso: Álgebra intermediária (parte 1) > Unidade 13

Lição 6: Fatoração de equações do segundo grau por meio de agrupamento
Matemática
Álgebra intermediária (parte 1)
Expressões do segundo grau: multiplicação e fatoração
Fatoração de equações do segundo grau por meio de agrupamento
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Fatoração de equações do segundo grau: coeficiente principal ≠ 1

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Aprenda a fatorar expressões do segundo grau como o produto de dois binômios lineares. Por exemplo, 2x²+7x+3=(2x+1)(x+3).

O que você precisa saber antes desta lição

O método de agrupamento pode ser usado para fatorar polinômios com 4 termos isolando os fatores comuns várias vezes. Se isso é novo para você, confira nosso artigo Introdução à fatoração por agrupamento.
Também recomendamos que você revise nosso artigo sobre fatoração de equações de segundo grau com coeficiente principal igual a 1 antes de continuar.

O que você vai aprender nessa lição

Neste artigo, usaremos o agrupamento para fatorar expressões do segundo grau com um coeficiente principal diferente de 1, como 2, x, squared, plus, 7, x, plus, 3.

Exemplo 1: Fatoração de 2, x, squared, plus, 7, x, plus, 3

Como o coeficiente principal de left parenthesis, start color #11accd, 2, end color #11accd, x, squared, start color #e07d10, plus, 7, end color #e07d10, x, start color #aa87ff, plus, 3, end color #aa87ff, right parenthesis é start color #11accd, 2, end color #11accd, não podemos usar o método de soma-produto para fatorar a expressão do segundo grau.
Ao invés disso, para fatorar start color #11accd, 2, end color #11accd, x, squared, start color #e07d10, plus, 7, end color #e07d10, x, start color #aa87ff, plus, 3, end color #aa87ff, precisamos encontrar dois números inteiros cujo produto seja start color #11accd, 2, end color #11accd, dot, start color #aa87ff, 3, end color #aa87ff, equals, 6 (o coeficiente principal vezes o termo constante) e cuja soma seja start color #e07d10, 7, end color #e07d10 (o coeficiente de x).
Como start color #01a995, 1, end color #01a995, dot, start color #01a995, 6, end color #01a995, equals, 6 e start color #01a995, 1, end color #01a995, plus, start color #01a995, 6, end color #01a995, equals, 7, os dois números são start color #01a995, 1, end color #01a995 e start color #01a995, 6, end color #01a995.
Estes dois números nos dizem como dividir o termo x na expressão original. Portanto, podemos expressar nosso polinômio como 2, x, squared, plus, 7, x, plus, 3, equals, 2, x, squared, plus, start color #01a995, 1, end color #01a995, x, plus, start color #01a995, 6, end color #01a995, x, plus, 3.
Agora podemos usar o agrupamento para fatorar o polinômio:
=  2x2+1x+6x+3=(2x2+1x)+(6x+3)Agrupe os termos=x(2x+1)+3(2x+1)Coloque os MDC em evideˆncia=x(2x+1)+3(2x+1)Fator comum!=(2x+1)(x+3)Isole 2x+1\begin{aligned}&\phantom{=}~~2x^2+1x+6x+3\\\\ &=({2x^2+1x}){+(6x+3)}&&\small{\gray{\text{Agrupe os termos}}}\\ \\ &=x({2x+1})+3({2x+1})&&\small{\gray{\text{Coloque os MDC em evidência}}}\\ \\ &=x(\maroonD{2x+1})+3(\maroonD{2x+1})&&\small{\gray{\text{Fator comum!}}}\\\\ &=(\maroonD{2x+1})(x+3)&&\small{\gray{\text{Isole } 2x+1}} \end{aligned}
A forma fatorada é left parenthesis, 2, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis.
Podemos conferir nosso trabalho mostrando que a multiplicação dos fatores nos fornece a expressão original 2, x, squared, plus, 7, x, plus, 3.

Resumo

Em geral, podemos usar as seguintes etapas para fatorar uma expressão do segundo grau da forma start color #11accd, a, end color #11accd, x, squared, plus, start color #e07d10, b, end color #e07d10, x, plus, start color #aa87ff, c, end color #aa87ff:
  1. Comece encontrando dois números cuja multiplicação seja start color #11accd, a, end color #11accd, start color #aa87ff, c, end color #aa87ff e cuja soma seja start color #e07d10, b, end color #e07d10.
  2. Use estes números para dividir o termo x.
  3. Use o agrupamento para fatorar a expressão do segundo grau.

Teste seu conhecimento

1) Fatore 3, x, squared, plus, 10, x, plus, 8.
Escolha 1 resposta:

2) Fatore 4, x, squared, plus, 16, x, plus, 15.

Exemplo 2: Fatoração de 6, x, squared, minus, 5, x, minus, 4

Para fatorar start color #11accd, 6, end color #11accd, x, squared, start color #e07d10, minus, 5, end color #e07d10, x, start color #aa87ff, minus, 4, end color #aa87ff, precisamos encontrar dois números inteiros cujo produto seja start color #11accd, 6, end color #11accd, dot, left parenthesis, start color #aa87ff, minus, 4, end color #aa87ff, right parenthesis, equals, minus, 24 e cuja soma seja start color #e07d10, minus, 5, end color #e07d10.
Como start color #01a995, 3, end color #01a995, dot, left parenthesis, start color #01a995, minus, 8, end color #01a995, right parenthesis, equals, minus, 24 e start color #01a995, 3, end color #01a995, plus, left parenthesis, start color #01a995, minus, 8, end color #01a995, right parenthesis, equals, minus, 5, os números são start color #01a995, 3, end color #01a995 e start color #01a995, minus, 8, end color #01a995.
Podemos agora escrever o termo minus, 5, x como a soma de start color #01a995, 3, end color #01a995, x e start color #01a995, minus, 8, end color #01a995, x e usar o agrupamento para fatorar o polinômio:
= 6x2+3x−8x−4(1)=(6x2+3x)+(−8x−4)Agrupe os termos(2)=3x(2x+1)+(−4)(2x+1)Coloque os MDC em evideˆncia(3)=3x(2x+1)−4(2x+1)Simplifique(4)=3x(2x+1)−4(2x+1)Fator comum!(5)=(2x+1)(3x−4)Isole 2x+1\begin{aligned}&&&\phantom{=}~6x^2+\tealD{3}x\tealD{-8}x-4\\\\ \small{\blueD{(1)}}&&&=({6x^2+3x}){+(-8x-4)}&&\small{\gray{\text{Agrupe os termos}}}\\ \\ \small{\blueD{(2)}}&&&=3x({2x+1})+(-4)({2x+1})&&\small{\gray{\text{Coloque os MDC em evidência}}}\\ \\ \small{\blueD{(3)}}&&&=3x({2x+1})-4({2x+1})&&\small{\gray{\text{Simplifique}}}\\ \\ \small{\blueD{(4)}}&&&=3x(\maroonD{2x+1})-4(\maroonD{2x+1})&&\small{\gray{\text{Fator comum!}}}\\\\ \small{\blueD{(5)}}&&&=(\maroonD{2x+1})(3x-4)&&\small{\gray{\text{Isole } 2x+1}}\\ \end{aligned}
A forma fatorada é left parenthesis, 2, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, 3, x, minus, 4, right parenthesis.
Podemos conferir nosso trabalho mostrando que a multiplicação dos fatores nos fornece a expressão original 6, x, squared, minus, 5, x, minus, 4.
Tome nota: Na etapa start color #11accd, left parenthesis, 1, right parenthesis, end color #11accd acima, note que, pelo fato de o terceiro termo ser negativo, um "+" foi inserido entre os agrupamentos para manter a expressão equivalente à original. Igualmente, na etapa start color #11accd, left parenthesis, 2, right parenthesis, end color #11accd, foi necessário colocar em evidência um MDC negativo do segundo agrupamento para revelar um fator comum de 2, x, plus, 1. Tome cuidado com os sinais!

Teste seu conhecimento

3) Fatore 2, x, squared, minus, 3, x, minus, 9.
Escolha 1 resposta:

4) Fatore 3, x, squared, minus, 2, x, minus, 5.

5) Fatore 6, x, squared, minus, 13, x, plus, 6.

Quando esse método é útil?

Claramente, este método é útil para fatorar expressões do segundo grau da forma a, x, squared, plus, b, x, plus, c, mesmo quando a, does not equal, 1.
Porém, nem sempre é possível fatorar uma expressão do segundo grau dessa forma usando este método.
Por exemplo, vamos pegar a expressão start color #11accd, 2, end color #11accd, x, squared, start color #e07d10, plus, 2, end color #e07d10, x, start color #aa87ff, plus, 1, end color #aa87ff. Para fatorá-la, precisamos encontrar dois números inteiros cujo produto seja start color #11accd, 2, end color #11accd, dot, start color #aa87ff, 1, end color #aa87ff, equals, 2 e cuja soma seja start color #e07d10, 2, end color #e07d10. Tente o quanto quiser, não será possível encontrar estes dois números inteiros.
Portanto, nosso método não funciona para start color #11accd, 2, end color #11accd, x, squared, start color #e07d10, plus, 2, end color #e07d10, x, start color #aa87ff, plus, 1, end color #aa87ff, e para uma série de outras expressões do segundo grau.
No entanto, vale lembrar que, se este método não funcionar, significa que a expressão não poderá ser fatorada como left parenthesis, A, x, plus, B, right parenthesis, left parenthesis, C, x, plus, D, right parenthesis em que A, B, C e D são números inteiros.

Por que esse método funciona?

Vamos nos aprofundar no motivo pelo qual este é um método bem sucedido. Teremos que usar um bocado de letras, mas, por favor, fique com a gente!
Suponha que a expressão genérica do segundo grau a, x, squared, plus, b, x, plus, c possa ser fatorada como left parenthesis, start color #11accd, A, end color #11accd, x, plus, start color #e07d10, B, end color #e07d10, right parenthesis, left parenthesis, start color #1fab54, C, end color #1fab54, x, plus, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, right parenthesis com números inteiros A, B, C e D.
Quando expandimos os parênteses, obtemos a expressão do segundo grau left parenthesis, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #1fab54, C, end color #1fab54, right parenthesis, x, squared, plus, left parenthesis, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #1fab54, C, end color #1fab54, plus, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, right parenthesis, x, plus, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff.
Como esta expressão é equivalente a a, x, squared, plus, b, x, plus, c, os coeficientes correspondentes nas duas expressões devem ser iguais! Isto nos fornece a seguinte relação entre todas as letras desconhecidas:
left parenthesis, start underbrace, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #1fab54, C, end color #1fab54, end underbrace, start subscript, a, end subscript, right parenthesis, x, squared, plus, left parenthesis, start underbrace, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #1fab54, C, end color #1fab54, plus, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, end underbrace, start subscript, b, end subscript, right parenthesis, x, plus, left parenthesis, start underbrace, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, end underbrace, start subscript, c, end subscript, right parenthesis
Agora, vamos definir m, equals, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #1fab54, C, end color #1fab54 e n, equals, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff.
left parenthesis, start underbrace, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #1fab54, C, end color #1fab54, end underbrace, start subscript, a, end subscript, right parenthesis, x, squared, plus, left parenthesis, start underbrace, start overbrace, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #1fab54, C, end color #1fab54, end overbrace, start superscript, m, end superscript, plus, start overbrace, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, end overbrace, start superscript, n, end superscript, end underbrace, start subscript, b, end subscript, right parenthesis, x, plus, left parenthesis, start underbrace, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, end underbrace, start subscript, c, end subscript, right parenthesis
De acordo com esta definição...
m, plus, n, equals, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #1fab54, C, end color #1fab54, plus, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, equals, b
e
m, dot, n, equals, left parenthesis, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #1fab54, C, end color #1fab54, right parenthesis, left parenthesis, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, right parenthesis, equals, left parenthesis, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #1fab54, C, end color #1fab54, right parenthesis, left parenthesis, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, right parenthesis, equals, a, dot, c
E, sendo assim, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #1fab54, C, end color #1fab54 e start color #11accd, A, end color #11accd, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff são os dois números inteiros que sempre procuramos quando usamos este método de fatoração!
A próxima etapa neste método, após encontrar m e n, é separar o coeficiente de x left parenthesis, b, right parenthesis de acordo com m e n e fatorar usando agrupamento.
De fato, se dividirmos o termo x left parenthesis, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #1fab54, C, end color #1fab54, plus, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, right parenthesis, x em left parenthesis, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #1fab54, C, end color #1fab54, right parenthesis, x, plus, left parenthesis, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, right parenthesis, x, seremos capazes de usar o agrupamento para fatorar nossa expressão de volta para left parenthesis, start color #11accd, A, end color #11accd, x, plus, start color #e07d10, B, end color #e07d10, right parenthesis, left parenthesis, start color #1fab54, C, end color #1fab54, x, plus, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, right parenthesis.
Concluindo, nesta seção nós...
  • começamos com a expressão geral expandida a, x, squared, plus, b, x, plus, c e sua fatoração geral left parenthesis, A, x, plus, B, right parenthesis, left parenthesis, C, x, plus, D, right parenthesis,
  • fomos capazes de encontrar dois números, m e n, tais que m, n, equals, a, c e m, plus, n, equals, b left parenthesisfizemos isso definindo m, equals, B, C e n, equals, A, D, right parenthesis,
  • dividimos o termo x b, x em m, x, plus, n, x, e fomos capazes de fatorar a expressão expandida de volta a left parenthesis, A, x, plus, B, right parenthesis, left parenthesis, C, x, plus, D, right parenthesis.
Este processo mostra por que, se uma expressão pode de fato ser fatorada como left parenthesis, A, x, plus, B, right parenthesis, left parenthesis, C, x, plus, D, right parenthesis, nosso método vai garantir que encontremos esta fatoração.
Obrigado por segurar as pontas até o fim!

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