Deve dar o mesmo resultado se for resolvido usando a fórmula de bhaskara? Porque o meu está dando resultados com sinais trocados... Ex: x²-8x-9 Δ=(-8)²-4.1(-9) Δ= 64+36 Δ=100 x=-(-8)+-√100 ----------------- ********2******** x¹= 9 x²= -1 Não deveria dar (-9, 1) como da usando esse outro método? Ou foi erro meu? Desde já, grata!

A conta está certa, mas a equação não terá raízes reais, pois não existe raiz quadrada de número negativo(-1).

Constelações podem sumir por completo?Ou isso levaria milhões de anos?

Podem sumir, mas levaria mais tempo que apenas milhões de anos... Para a vida de uma estrela de quarta ou maior geração, milhões de anos é nada :)

por que quando olhamos de longe a lua fica maior

Talvez porque você nunca á viu de perto.

(x+5)(x+4) é diferente de (x+4)(x+5)??

Não, essa é uma das propriedades da multiplicação. Comutativa.

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Álgebra intermediária (parte 1)

Curso: Álgebra intermediária (parte 1) > Unidade 13

Lição 5: Introdução à fatoração de expressões do segundo grau

Fatoração de equações do segundo grau: coeficiente principal = 1

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Aprenda a fatorar expressões do segundo grau como o produto de dois binômios lineares. Por exemplo, x²+5x+6=(x+2)(x+3).

Com o que você deve estar familiarizado antes dessa lição

Fatorar um polinômio envolve escrevê-lo como o produto de dois ou mais polinômios. Isso inverte o processo de multiplicar polinômios. Para saber mais, confira nosso artigo anterior sobre como colocar fatores comuns em evidência.

O que você vai aprender nessa lição

Nesta lição, você aprenderá como fatorar um polinômio na forma x, squared, plus, b, x, plus, c como um produto de dois binômios.

Revisão: multiplicação de binômios

Vamos considerar a expressão left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis.

Podemos encontrar o produto aplicando a propriedade distributiva várias vezes.

\begin{aligned} \tealD{(x+2)}(x+4)&=\tealD{(x+2)}(x)+\tealD{(x+2)}(4)\\\\ &=x^2+2x+4x+8\\\\ &=x^2+6x+8 \end{aligned}

[Aqui está outra explicação de como multiplicar os dois binômios.]

Então, temos que left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis, equals, x, squared, plus, 6, x, plus, 8.

A partir disso, vemos que x, plus, 2 e x, plus, 4 são fatores de x, squared, plus, 6, x, plus, 8, mas como podemos encontrar estes fatores se não começamos com eles?

Fatoração de trinômios

Nós podemos reverter o processo de multiplicação de binômios mostrado acima para fatorar um trinômio (que é um polinômio com 3 termos ).

Em outras palavras, se começarmos com o polinômio x, squared, plus, 6, x, plus, 8, podemos usar a fatoração para escrevê-lo como um produto de dois binômios, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis.

Vamos dar uma olhada em alguns exemplos para ver como isso é feito.

Exemplo 1: fatoração de x, squared, plus, 5, x, plus, 6

Para fatorar x, squared, plus, start color #e07d10, 5, end color #e07d10, x, plus, start color #aa87ff, 6, end color #aa87ff, precisamos primeiro encontrar dois números cujo produto seja start color #aa87ff, 6, end color #aa87ff (a constante) e cuja soma seja start color #e07d10, 5, end color #e07d10 (o coeficiente de x).

Esses dois números são start color #11accd, 2, end color #11accd e start color #1fab54, 3, end color #1fab54, uma vez que start color #11accd, 2, end color #11accd, dot, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, equals, 6 e start color #11accd, 2, end color #11accd, plus, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, equals, 5.

[Como encontramos esses valores?]

Podemos então somar cada um destes números a x para formar os dois fatores binomiais: left parenthesis, x, plus, start color #11accd, 2, end color #11accd, right parenthesis e left parenthesis, x, plus, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, right parenthesis.

Concluindo, fatoramos o trinômio assim:

x, squared, plus, 5, x, plus, 6, equals, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis

Para verificar a fatoração, basta multiplicar os dois binômios:

$\begin{aligned}(x+2)(x+3)&=(x+2)(x)+(x+2)(3)\\ \\ &=x^2+2x+3x+6\\ \\ &=x^2+5x+6 \end{aligned}$

O produto de x, plus, 2 e x, plus, 3 é de fato x, squared, plus, 5, x, plus, 6. Nossa fatoração está correta!

Teste seu conhecimento

1) Fatore x, squared, plus, 7, x, plus, 10.

(Escolha A)
left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis
(Escolha B)
left parenthesis, x, plus, 7, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 10, right parenthesis
(Escolha C)
left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis

[Preciso de ajuda!]

1) Fatore x, squared, plus, 9, x, plus, 20.

[Preciso de ajuda!]

Vamos dar uma olhada em mais alguns exemplos e ver o que podemos aprender com eles.

Exemplo 2: fatoração de x, squared, minus, 5, x, plus, 6

Para fatorar x, squared, start color #e07d10, minus, 5, end color #e07d10, x, plus, start color #aa87ff, 6, end color #aa87ff, vamos primeiro encontrar dois números cujo produto seja start color #aa87ff, 6, end color #aa87ff e a soma seja start color #e07d10, minus, 5, end color #e07d10.

Esses dois números são start color #11accd, minus, 2, end color #11accd e start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54, uma vez que left parenthesis, start color #11accd, minus, 2, end color #11accd, right parenthesis, dot, left parenthesis, start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54, right parenthesis, equals, 6 e left parenthesis, start color #11accd, minus, 2, end color #11accd, right parenthesis, plus, left parenthesis, start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54, right parenthesis, equals, minus, 5

[Como encontramos esses valores?]

Podemos então somar cada um destes números a x para formar os dois fatores binomiais: left parenthesis, x, plus, left parenthesis, start color #11accd, minus, 2, end color #11accd, right parenthesis, right parenthesis e left parenthesis, x, plus, left parenthesis, start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54, right parenthesis, right parenthesis.

A fatoração é dada abaixo:

$\begin{aligned}x^2-5x+6&=(x+(\blueD{-2}))(x+(\greenD{-3}))\\ \\ &=(x\blueD{-2})(x\greenD{-3}) \end{aligned}$

[Gostaria de verificar, por favor!]

Padrão de fatoração: Observe que os números necessários para fatorar x, squared, minus, 5, x, plus, 6 são ambos negativos left parenthesis, minus, 2 e minus, 3, right parenthesis. Isso ocorre porque seu produto deverá ser positivo left parenthesis, 6, right parenthesis e sua soma, negativa left parenthesis, minus, 5, right parenthesis.

Em geral, quando fatoramos x, squared, plus, b, x, plus, c, se c for positivo e b for negativo, então os dois fatores serão negativos!

Exemplo 3: fatoração de x, squared, minus, x, minus, 6

Podemos escrever x, squared, minus, x, minus, 6 como x, squared, minus, 1, x, minus, 6.

Para fatorar x, squared, start color #e07d10, minus, 1, end color #e07d10, x, start color #aa87ff, minus, 6, end color #aa87ff, vamos primeiro encontrar dois números cujo produto seja start color #aa87ff, minus, 6, end color #aa87ff e a soma seja start color #e07d10, minus, 1, end color #e07d10.

Esses dois números são start color #11accd, 2, end color #11accd e start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54, uma vez que left parenthesis, start color #11accd, 2, end color #11accd, right parenthesis, dot, left parenthesis, start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54, right parenthesis, equals, minus, 6 e start color #11accd, 2, end color #11accd, plus, left parenthesis, start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54, right parenthesis, equals, minus, 1.

[Como encontramos esses valores?]

Podemos então somar cada um destes números a x para formar os dois fatores binomiais: left parenthesis, x, plus, start color #11accd, 2, end color #11accd, right parenthesis e left parenthesis, x, plus, left parenthesis, start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54, right parenthesis, right parenthesis.

A fatoração é dada abaixo:

$\begin{aligned}x^2-x-6&=(x+\blueD2)(x+(\greenD{-3}))\\ \\ &=(x+\blueD2)(x\greenD{-3}) \end{aligned}$

[Gostaria de verificar, por favor!]

Padrões de fatoração: Observe que para fatorar x, squared, minus, x, minus, 6, nós precisamos de um número positivo left parenthesis, 2, right parenthesis e um número negativo left parenthesis, minus, 3, right parenthesis. Isso porque o produto deles deve ser negativo left parenthesis, minus, 6, right parenthesis.

Em geral, ao fatorar x, squared, plus, b, x, plus, c, se c é negativo, então um fator será positivo e um fator será negativo.

Resumo

Em geral, para fatorar um trinômio na forma x, squared, plus, start color #e07d10, b, end color #e07d10, x, plus, start color #aa87ff, c, end color #aa87ff, precisamos encontrar os fatores de start color #aa87ff, c, end color #aa87ff cuja soma seja start color #e07d10, b, end color #e07d10.

Suponhamos que esses dois números sejam m e n, sendo que c, equals, m, n e b, equals, m, plus, n, então x, squared, plus, b, x, plus, c, equals, left parenthesis, x, plus, m, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, n, right parenthesis.

Teste seu conhecimento

3) Fatore x, squared, minus, 8, x, minus, 9.

[Preciso de ajuda!]

4) Fatore x, squared, minus, 10, x, plus, 24.

[Preciso de ajuda!]

5) Fatore x, squared, plus, 7, x, minus, 30.

[Preciso de ajuda!]

Por que isso dá certo?

Para entender por que este método de fatoração funciona, vamos voltar ao exemplo original, no qual fatoramos x, squared, plus, 5, x, plus, 6 como left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis.

Se voltarmos e multiplicarmos os dois fatores do binômio, podemos ver o efeito que feito que o start color #11accd, 2, end color #11accd e o start color #1fab54, 3, end color #1fab54 têm na formação do produto x, squared, plus, 5, x, plus, 6.

$\begin{aligned}(x+\blueD 2)(x+\greenD3)&={(x+\blueD2)}(x)+(x+\blueD 2)(\greenD{3})\\ \\ &=x^2+\blueD2x+\greenD3x+\blueD2\cdot \greenD3\\ \\ &=x^2+(\blueD 2+\greenD 3)x+\blueD2\cdot \greenD3 \end{aligned}$

Nós vemos que o coeficiente do termo x é a soma de start color #11accd, 2, end color #11accd e start color #1fab54, 3, end color #1fab54, e o termo constante é o produto de start color #11accd, 2, end color #11accd e start color #1fab54, 3, end color #1fab54.

Padrão soma-produto

Vamos repetir o que acabamos de fazer com left parenthesis, x, plus, start color #11accd, 2, end color #11accd, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, right parenthesis para left parenthesis, x, plus, start color #11accd, m, end color #11accd, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, start color #1fab54, n, end color #1fab54, right parenthesis:

$\begin{aligned}(x+\blueD m)(x+\greenD n)&={(x+\blueD m)}(x)+(x+\blueD m)(\greenD{n})\\ \\ &=x^2+\blueD mx+\greenD nx+\blueD m\cdot \greenD n\\ \\ &=x^2+(\blueD m+\greenD n)x+\blueD m\cdot \greenD n \end{aligned}$

Para resumir esse processo, nós pegamos a seguinte equação:

left parenthesis, x, plus, start color #11accd, m, end color #11accd, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, start color #1fab54, n, end color #1fab54, right parenthesis, equals, x, squared, plus, left parenthesis, start color #11accd, m, end color #11accd, plus, start color #1fab54, n, end color #1fab54, right parenthesis, x, plus, start color #11accd, m, end color #11accd, dot, start color #1fab54, n, end color #1fab54

Isso é chamado o padrão de soma-produto.

Isso mostra porque, uma vez que expressamos um trinômio x, squared, plus, start color #e07d10, b, end color #e07d10, x, plus, start color #aa87ff, c, end color #aa87ff como x, squared, plus, left parenthesis, start color #11accd, m, end color #11accd, plus, start color #1fab54, n, end color #1fab54, right parenthesis, x, plus, start color #11accd, m, end color #11accd, dot, start color #1fab54, n, end color #1fab54 (encontrando dois números start color #11accd, m, end color #11accd e start color #1fab54, n, end color #1fab54 tais que start color #e07d10, b, end color #e07d10, equals, start color #11accd, m, end color #11accd, plus, start color #1fab54, n, end color #1fab54 e start color #aa87ff, c, end color #aa87ff, equals, start color #11accd, m, end color #11accd, dot, start color #1fab54, n, end color #1fab54), nós podemos fatorar o trinômio como left parenthesis, x, plus, start color #11accd, m, end color #11accd, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, start color #1fab54, n, end color #1fab54, right parenthesis.

Pergunta para reflexão

6) Esse método de fatoração pode ser usado para fatorar 2, x, squared, plus, 3, x, plus, 1?

[Preciso de ajuda!]

Quando podemos usar este método para fatorar?

Em geral, o método de soma-produto é aplicável apenas quando podemos realmente escrever um trinômio como left parenthesis, x, plus, m, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, n, right parenthesis para alguns números m e n inteiros.

Isso significa que o termo principal do trinômio deve ser x, squared (e não, por exemplo, 2, x, squared) para que esse método seja considerado. Isso porque o produto de left parenthesis, x, plus, m, right parenthesis e left parenthesis, x, plus, n, right parenthesis sempre será um polinômio com termo principal de x, squared.

No entanto, nem todos os trinômios com termo principal x, squared podem ser fatorados. Por exemplo, x, squared, plus, 2, x, plus, 2 não pode ser fatorado porque não existem dois inteiros cuja soma seja 2 e cujo produto seja 2.

Em lições futuras iremos aprender outras formas de fatorar mais tipos de polinômios.