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Curso: Álgebra intermediária (parte 1) > Unidade 13

Lição 4: Introdução à fatoração

Introdução a fatores e divisibilidade

Aprenda o que significa para polinômios serem fatores de outros polinômios ou serem divisíveis por eles.

O que precisamos saber para essa lição

Um monômio é uma expressão que é o produto de uma constante e uma potência de

x

inteira e não negativa, como

3 x^{2}

. Um polinômio é uma expressão que consiste na soma de monômios, como

3 x^{2} + 6 x - 1

O que vamos aprender nessa lição

Nessa lição, vamos explorar a relação entre fatores e a divisibilidade em polinômios, e também aprender a determinar se um polinômio é um fator de outro.

Fatores e divisibilidade de números inteiros

Em geral, dois inteiros que são multiplicados para obter um número são considerados fatores desse número.

Por exemplo, como

14 = 2 \cdot 7

, dizemos que

2

7

são fatores de

14

Um número é divisível por outro se o resultado da divisão for um número inteiro.

Por exemplo, como

\frac{15}{3} = 5

\frac{15}{5} = 3

, então

15

é divisível por

3

5

. Entretanto, como

\frac{9}{4} = 2, 25

, então

9

não é divisível por

4

Observe a relação mútua entre fatores e divisibilidade:

Como

14 = 2 \cdot 7

(o que significa que

2

é um fator de

14

), sabemos que

\frac{14}{2} = 7

(o que significa que

14

é divisível por

2

\underset{2 é um fator de 14}{\underset{⏟}{14 = 2 \cdot 7}} ⟶ \underset{14 é divisível por 2}{\underset{⏟}{\frac{14}{2} = 7}}

Na outra direção, como

\frac{15}{3} = 5

(o que significa que

15

é divisível por

3

), sabemos que

15 = 3 \cdot 5

(o que significa que

3

é um divisor de

15

\underset{15 é divisível por 3}{\underset{⏟}{\frac{15}{3} = 5}} ⟶ \underset{3 é um fator de 15}{\underset{⏟}{15 = 3 \cdot 5}}

Isso em geral é verdadeiro: Se

a

é um fator de

b

, então

b

é divisível por

a

e vice-versa.

Fatores e divisibilidade de polinômios

Esse conhecimento também pode ser aplicado a polinômios.

Quando dois ou mais polinômios são multiplicados, chamamos cada um desses polinômios fatores do produto.

Por exemplo, sabemos que

2 x (x + 3) = 2 x^{2} + 6 x

. Isso significa que

2 x

x + 3

são fatores de

2 x^{2} + 6 x

Além disso, um polinômio é divisível por outro polinômio se o quociente também for um polinômio.

Por exemplo, como

\frac{6 x^{2}}{3 x} = 2 x

\frac{6 x^{2}}{2 x} = 3 x

, então

6 x^{2}

é divisível por

3 x

2 x

. Entretanto, como

\frac{4 x}{2 x^{2}} = \frac{2}{x}

, sabemos que

4 x

não é divisível por

2 x^{2}

Com polinômios, podemos observar a mesma relação entre fatores e a divisibilidade como inteiros.

\underset{2 x é um fator de 2 x^{2} + 6 x}{\underset{⏟}{2 x \cdot (x + 3) = 2 x^{2} + 6 x}} ⟶ \underset{2 x^{2} + 6 x é divisível por 2 x}{\underset{⏟}{\frac{2 x^{2} + 6 x}{2 x} = x + 3}}

\underset{6 x^{2} é divisível por 3 x}{\underset{⏟}{\frac{6 x^{2}}{3 x} = 2 x}} ⟶ \underset{3 x é um fator de 6 x^{2}}{\underset{⏟}{3 x \cdot (2 x) = 6 x^{2}}}

Em geral, se

p = q \cdot r

para os polinômios

p

q

r

, então sabemos que:

$q$ ‍ e $r$ ‍ são fatores de $p$ ‍.
$p$ ‍ é divisível por $q$ ‍ e $r$ ‍.

Teste seu conhecimento

1) Complete a frase sobre a relação expressa por $3 x (x + 2) = 3 x^{2} + 6 x$ ‍.

x + 2

3 x^{2} + 6 x

, e

3 x^{2} + 6 x

x + 2

2) Um professor escreve o seguinte produto no quadro:

(3 x^{2}) (4 x) = 12 x^{3}

Milo conclui que

3 x^{2}

é um fator de

12 x^{3}

Júnior conclui que

12 x^{3}

é divisível por

4 x

Quem está correto?

Como determinar fatores e divisibilidade

Exemplo 1: $24 x^{4}$ ‍ é divisível por $8 x^{3}$ ‍?

Para responder a essa pergunta, podemos calcular e simplificar

\frac{24 x^{4}}{8 x^{3}}

. Se o resultado for um monômio, então

24 x^{4}

é divisível por

8 x^{3}

. Se o resultado não for um monômio, então

24 x^{4}

não é divisível por

8 x^{3}

\begin{aligned} \frac{24 x^{4}}{8 x^{3}} & = \frac{24}{8} \cdot \frac{x^{4}}{x^{3}} \\ = 3 \cdot x^{1} & \frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n} \\ = 3 x \end{aligned}

Como o resultado é um monômio, nós sabemos que

24 x^{4}

é divisível por

8 x^{3}

. (Isso também implica que

8 x^{3}

é um fator de

24 x^{4}

Exemplo 2: $4 x^{6}$ ‍ é um fator de $32 x^{3}$ ‍?

4 x^{6}

é um fator de

32 x^{3}

, então

32 x^{3}

é divisível por

4 x^{6}

. Então vamos calcular e simplificar

\frac{32 x^{3}}{4 x^{6}}

\begin{aligned} \frac{32 x^{3}}{4 x^{6}} & = \frac{32}{4} \cdot \frac{x^{3}}{x^{6}} \\ = 8 \cdot x^{- 3} & \frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n} \\ = 8 \cdot \frac{1}{x^{3}} & a^{- m} = \frac{1}{a^{m}} \\ = \frac{8}{x^{3}} \end{aligned}

Note que o termo

\frac{8}{x^{3}}

não é um monômio, pois é um quociente e não um produto. Portanto, podemos concluir que

4 x^{6}

não é um fator de

32 x^{3}

Um resumo

Em geral, para determinar se um polinômio

p

é divisível por outro polinômio

q

, ou equivalentemente se

q

é um fator de

p

, podemos calcular e examinar

\frac{p (x)}{q (x)}

Se a forma simplificada for um polinômio, então

p

é divisível por

q

q

é um fator de

p

Teste seu conhecimento

3) $30 x^{4}$ ‍ é divisível por $2 x^{2}$ ‍?

4) $12 x^{2}$ ‍ é um fator de $6 x$ ‍?

Desafios

5*) Quais dos seguintes monômios são fatores de $15 x^{2} y^{6}$ ‍ ?

	Divisor	Não é fator
$3 x^{2} y^{5}$ ‍
$5 x$ ‍
$10 x^{4} y^{3}$ ‍

Nós podemos determinar se um monômio

A

é um fator de

15 x^{2} y^{6}

dividindo

15 x^{2} y^{6}

por

A

e verificando o quociente:

Vamos experimentar com os monômios dados!

\begin{aligned} \frac{15 x^{2} y^{6}}{5 x} & = 3 x y^{6} \\ \frac{15 x^{2} y^{6}}{3 x^{2} y^{5}} & = 5 y \\ \frac{15 x^{2} y^{6}}{10 x^{4} y^{3}} & = \frac{3 y^{3}}{2 x^{2}} \end{aligned}

Como

3 x y^{6}

5 y

são ambos monômios, podemos concluir que

5 x

3 x^{2} y^{5}

são fatores de

15 x^{2} y^{6}

Note que o termo

\frac{3 y^{3}}{2 x^{2}}

tem um

x^{2}

no determinador, e por isso não é um monômio. Portanto, podemos concluir que

10 x^{4} y^{3}

não é um fator de

15 x^{2} y^{6}

6*) A área de um retângulo com altura de

x + 1

unidades e base de

x + 4

unidades é

x^{2} + 5 x + 4

unidades quadradas.

Quais das seguintes opções são fatores de $x^{2} + 5 x + 4$ ‍?

Por que estamos interessados em fatoração de polinômios?

Assim como a fatoração de inteiros acabou se tornando muito útil para uma variedade de aplicações, o mesmo aconteceu com a fatoração de polinômios!

Especificamente, a fatoração polinomial é muito útil na resolução de equações de segundo grau e na simplificação de expressões racionais.

Se você quiser ver isso, confira os seguintes artigos:

O que vem agora?

O próximo passo do processo de fatoração envolve aprender como fatorar monômios. Você pode aprender sobre isso em nosso próximo artigo.

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Mitale Mirele Silva Barbosa
Publicado há há 5 anos. Link direto para a postagem “bem legal, adorei o resum...” de Mitale Mirele Silva Barbosa
bem legal, adorei o resumo.
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arthuroliveira.2807
Publicado há há 2 anos. Link direto para a postagem “um pouco difícil mas cons...” de arthuroliveira.2807
um pouco difícil mas consegui entender
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giovanna
Publicado há há um ano. Link direto para a postagem “top demais!!” de giovanna
top demais!!
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kessia.moreira
Publicado há há 2 meses. Link direto para a postagem “eu nao sei fazer isso nao...” de kessia.moreira
eu nao sei fazer isso nao muito dificil aharam
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Ana E Caique
Publicado há há 8 meses. Link direto para a postagem “Oi tudo, bem quanto de no...” de Ana E Caique
Oi tudo, bem quanto de nota ganha nessa plataforma no boletim?
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gabriel.schmidt.joao
Publicado há há um ano. Link direto para a postagem “como faço para descobrir ...” de gabriel.schmidt.joao
como faço para descobrir um uma fatoração mesmo
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luis.pereira.goncalves
Publicado há há um ano. Link direto para a postagem “uma porcaria são contas q...” de luis.pereira.goncalves
uma porcaria são contas que ninguém usa em nada da vida estou no 9 ano e meu professor não soube responder onde usaríamos essas contas, e sobre a faculdade pra que aprender para a faculdade que tem a mesma finalidade repassar o conhecimento e denovo nao servir para nada e é perda de tempo isso serve para as escolas diserem aos pais que os filhos deles estão aprendendo alguma!
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portela.silva.italo
Publicado há há um ano. Link direto para a postagem “meio fácil de mais poderi...” de portela.silva.italo
meio fácil de mais poderia deixar mais difícil
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- matheus felipe
  Publicado há há 7 meses. Link direto para a postagem “eu goto de pão” de matheus felipe
  eu goto de pão
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Álgebra intermediária (parte 1)

Curso: Álgebra intermediária (parte 1) > Unidade 13

O que precisamos saber para essa lição

O que vamos aprender nessa lição

Fatores e divisibilidade de números inteiros

Fatores e divisibilidade de polinômios

Teste seu conhecimento

Como determinar fatores e divisibilidade

Exemplo 1: 24x4‍ é divisível por 8x3‍ ?

Exemplo 2: 4x6‍ é um fator de 32x3‍ ?

Um resumo

Teste seu conhecimento

Desafios

Por que estamos interessados em fatoração de polinômios?

O que vem agora?

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Exemplo 1: $24 x^{4}$ ‍ é divisível por $8 x^{3}$ ‍?

Exemplo 2: $4 x^{6}$ ‍ é um fator de $32 x^{3}$ ‍?