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Álgebra intermediária (parte 1)

Curso: Álgebra intermediária (parte 1) > Unidade 9

Lição 2: Construção de progressões aritméticas
Matemática
Álgebra intermediária (parte 1)
Progressões
Construção de progressões aritméticas
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Conversão das formas recursiva e explícita de progressões aritméticas

Google Sala de Aula
Aprenda a converter entre fórmulas recursivas e explícitas de progressões aritméticas.
Antes de fazer esta lição, veja se você sabe encontrar fórmulas recursivas e fórmulas explícitas de progressões aritméticas.

Conversão de uma fórmula recursiva em uma fórmula explícita

Uma progressão aritmética tem a seguinte fórmula recursiva.
{a(1)=3a(n)=a(n−1)+2\begin{cases} a(1)=\greenE 3 \\\\ a(n)=a(n-1)\maroonC{+2} \end{cases}
Lembre-se de que esta fórmula nos dá as duas informações a seguir:
  • O primeiro termo é start color #0d923f, 3, end color #0d923f
  • Para obter qualquer termo a partir do termo anterior, somamos start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6. Em outras palavras, a diferença comum é start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6.
Vamos encontrar uma fórmula explícita para a progressão.
Lembre-se de que podemos representar uma progressão cujo primeiro termo é start color #0d923f, A, end color #0d923f e cuja diferença comum é start color #ed5fa6, B, end color #ed5fa6, usando a forma explícita padrão start color #0d923f, A, end color #0d923f, plus, start color #ed5fa6, B, end color #ed5fa6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis.
Portanto, a fórmula explícita da progressão é a, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, start color #0d923f, 3, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 2, end color #ed5fa6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis.

Teste seu conhecimento

1) Escreva uma fórmula explícita para a progressão.
{b(1)=−22b(n)=b(n−1)+7\begin{cases} b(1)=-22 \\\\ b(n)=b(n-1)+7 \end{cases}
b, left parenthesis, n, right parenthesis, equals

2) Escreva uma fórmula explícita para a progressão.
{c(1)=8c(n)=c(n−1)−13\begin{cases} c(1)=8 \\\\ c(n)=c(n-1)-13 \end{cases}
c, left parenthesis, n, right parenthesis, equals

Conversão de uma fórmula explícita em uma fórmula recursiva

Exemplo 1: A fórmula é dada na forma padrão

Temos a seguinte fórmula explícita de uma progressão aritmética.
d, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, start color #0d923f, 5, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 16, end color #ed5fa6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis
Esta fórmula é dada na forma explícita padrão start color #0d923f, A, end color #0d923f, plus, start color #ed5fa6, B, end color #ed5fa6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis, onde start color #0d923f, A, end color #0d923f é o primeiro termo e start color #ed5fa6, B, end color #ed5fa6 é a diferença comum. Portanto,
  • o primeiro termo da sequência é start color #0d923f, 5, end color #0d923f, e
  • a diferença comum é start color #ed5fa6, 16, end color #ed5fa6.
Vamos encontrar uma fórmula recursiva para a progressão. Lembre-se de que a fórmula recursiva nos dá duas informações:
  1. O primeiro termo left parenthesisque sabemos ser start color #0d923f, 5, end color #0d923f, right parenthesis
  2. A regra do padrão para obter-se qualquer termo a partir do termo que vem antes left parenthesisque sabemos ser "somar start color #ed5fa6, 16, end color #ed5fa6"right parenthesis
Portanto, esta é uma fórmula recursiva da progressão.
{d(1)=5d(n)=d(n−1)+16\begin{cases} d(1)=\greenE 5\\\\ d(n)=d(n-1)\maroonC{+16} \end{cases}

Exemplo 2: A fórmula é dada na forma simplificada

Temos a seguinte fórmula explícita de uma progressão aritmética.
e, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, 10, plus, 2, n
Observe que esta fórmula não é dada na forma explícita padrão start color #0d923f, A, end color #0d923f, plus, start color #ed5fa6, B, end color #ed5fa6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis.
Por isso, não podemos simplesmente usar a estrutura da fórmula para encontrar o primeiro termo e a diferença comum. Em vez disso, podemos encontrar os dois primeiros termos:
  • e, left parenthesis, start color #11accd, 1, end color #11accd, right parenthesis, equals, 10, plus, 2, dot, start color #11accd, 1, end color #11accd, equals, 12
  • e, left parenthesis, start color #11accd, 2, end color #11accd, right parenthesis, equals, 10, plus, 2, dot, start color #11accd, 2, end color #11accd, equals, 14
Agora, podemos ver que o primeiro termo é start color #0d923f, 12, end color #0d923f e a diferença comum é start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6.
Portanto, esta é uma fórmula recursiva da progressão.
{e(1)=12e(n)=e(n−1)+2\begin{cases} e(1)=\greenE{12}\\\\ e(n)=e(n-1)\maroonC{+2} \end{cases}

Teste seu conhecimento

3) A fórmula explícita de uma progressão aritmética é f, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, 5, plus, 12, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis.
Complete os valores que faltam na fórmula recursiva da progressão.
{f(1)=Af(n)=f(n−1)+B\begin{cases} f(1)=A\\\\ f(n)=f(n-1)+B \end{cases}
A, equals
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
B, equals
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

4) A fórmula explícita de uma progressão aritmética é g, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, minus, 11, minus, 8, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis.
Complete os valores que faltam na fórmula recursiva da progressão.
{g(1)=Ag(n)=g(n−1)+B\begin{cases} g(1)=A\\\\ g(n)=g(n-1)+B \end{cases}
A, equals
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
B, equals
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

5) A fórmula explícita de uma progressão aritmética é h, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, 1, plus, 4, n.
Complete os valores que faltam na fórmula recursiva da progressão.
{h(1)=Ah(n)=h(n−1)+B\begin{cases} h(1)=A\\\\ h(n)=h(n-1)+B \end{cases}
A, equals
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
B, equals
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

6) A fórmula explícita de uma progressão aritmética é i, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, 23, minus, 6, n.
Complete os valores que faltam na fórmula recursiva da progressão.
{i(1)=Ai(n)=i(n−1)+B\begin{cases} i(1)=A\\\\ i(n)=i(n-1)+B \end{cases}
A, equals
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
B, equals
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Desafio

7*) Selecione todas as fórmulas que representam corretamente a progressão aritmética 101, comma, 114, comma, 127, comma, point, point, point
Escolha todas as respostas aplicáveis:

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