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Álgebra intermediária (parte 1)

Curso: Álgebra intermediária (parte 1) > Unidade 9

Lição 2: Construção de progressões aritméticas
Matemática
Álgebra intermediária (parte 1)
Progressões
Construção de progressões aritméticas
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Fórmulas explícitas de progressões aritméticas

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Aprenda a encontrar fórmulas explícitas para progressões aritméticas. Por exemplo, encontre uma fórmula explícita para 3, 5, 7,...
Antes de fazer esta lição, certifique-se de que você conhece os fundamentos das fórmulas de progressão aritmética formulas.

Como funcionam as fórmulas explícitas

A seguir, temos uma fórmula explícita da progressão 3, comma, 5, comma, 7, comma, point, point, point
a, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, 3, plus, 2, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis
Na fórmula, n é qualquer número de termo e a, left parenthesis, n, right parenthesis é o n-ésimo termo.
Essa fórmula nos permite simplesmente inserir o número do termo no qual estamos interessado, e vamos obter o valor desse termo.
Para encontrar o quinto termo, por exemplo, precisamos inserir n, equals, 5 na fórmula explícita.
a(5)=3+2(5−1)=3+2⋅4=3+8=11\begin{aligned}a(\greenE 5)&=3+2(\greenE 5-1)\\\\ &=3+2\cdot4\\\\ &=3+8\\\\ &=11\end{aligned}
Que legal! Esse realmente é o quinto termo de 3, comma, 5, comma, 7, comma, point, point, point

Teste seu conhecimento

1) Encontre b, left parenthesis, 10, right parenthesis na progressão dada por b, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, minus, 5, plus, 9, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis.
b, left parenthesis, 10, right parenthesis, equals
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Como escrever fórmulas explícitas

Considere a progressão aritmética 5, comma, 8, comma, 11, comma, point, point, point O primeiro termo da progressão é start color #0d923f, 5, end color #0d923f e a diferença comum é start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6.
Podemos obter qualquer termo da progressão pegando o primeiro termo start color #0d923f, 5, end color #0d923f e somando a diferença comum start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6 repetidamente. Veja, por exemplo, os seguintes cálculos dos primeiros termos.
nCálculo do n-ésimo termo
1start color #0d923f, 5, end color #0d923fequals, start color #0d923f, 5, end color #0d923f, plus, 0, dot, start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6, equals, 5
2start color #0d923f, 5, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 3, end color #ed5fa6equals, start color #0d923f, 5, end color #0d923f, plus, 1, dot, start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6, equals, 8
3start color #0d923f, 5, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 3, plus, 3, end color #ed5fa6equals, start color #0d923f, 5, end color #0d923f, plus, 2, dot, start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6, equals, 11
4start color #0d923f, 5, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 3, plus, 3, plus, 3, end color #ed5fa6equals, start color #0d923f, 5, end color #0d923f, plus, 3, dot, start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6, equals, 14
5start color #0d923f, 5, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 3, plus, 3, plus, 3, plus, 3, end color #ed5fa6equals, start color #0d923f, 5, end color #0d923f, plus, 4, dot, start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6, equals, 17
A tabela mostra que podemos obter o n-ésimo termo (onde n é qualquer número de termo) pegando o primeiro termo start color #0d923f, 5, end color #0d923f e somando a diferença comum start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6 repetidamente por n, minus, 1 vezes. Isso pode ser escrito algebricamente como start color #0d923f, 5, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 3, end color #ed5fa6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis.
Em geral, esta é a fórmula explícita padrão de uma progressão aritmética cujo primeiro termo é start color #0d923f, A, end color #0d923f e cuja diferença comum é start color #ed5fa6, B, end color #ed5fa6:
start color #0d923f, A, end color #0d923f, plus, start color #ed5fa6, B, end color #ed5fa6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis

Teste seu conhecimento

2) Escreva uma fórmula explícita para a progressão 2, comma, 9, comma, 16, comma, point, point, point.
d, left parenthesis, n, right parenthesis, equals

3) Escreva uma fórmula explícita para a progressão 9, comma, 5, comma, 1, comma, point, point, point.
e, left parenthesis, n, right parenthesis, equals

4) A fórmula explícita de uma progressão é f, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, minus, 6, plus, 2, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis.
Qual é o primeiro termo da progressão?
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
Qual é a diferença comum?
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Fórmulas explícitas equivalentes

As fórmulas explícitas podem ocorrer em várias formas.
Por exemplo, as fórmulas a seguir são todas fórmulas explícitas da progressão 3, comma, 5, comma, 7, comma, point, point, point
  • 3, plus, 2, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis (esta é a fórmula padrão)
  • 1, plus, 2, n
  • 5, plus, 2, left parenthesis, n, minus, 2, right parenthesis
As fórmulas podem parecer diferentes, mas o importante é que podemos inserir um valor de n e obter o n-ésimo termo correto (veja você mesmo como as outras fórmulas estão corretas!).
As diferentes fórmulas explícitas que descrevem a mesma progressão são chamadas de fórmulas equivalentes.

Um erro comum

Uma progressão aritmética pode ter diferentes fórmulas equivalentes, mas é importante lembrar que apenas a forma padrão nos dá o primeiro termo e a diferença comum.
Por exemplo, a progressão 2, comma, 8, comma, 14, comma, point, point, point tem start color #0d923f, 2, end color #0d923f como primeiro termo e uma diferença comum de start color #ed5fa6, 6, end color #ed5fa6.
A fórmula explícita start color #0d923f, 2, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 6, end color #ed5fa6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis descreve esta progressão, mas a fórmula explícita start color #0d923f, 2, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 6, end color #ed5fa6, n descreve uma progressão diferente.
Para transformar a fórmula 2, plus, 6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis em uma fórmula equivalente da forma A, plus, B, n, podemos eliminar os parênteses e simplificar:
=2+6(n−1)=2+6n−6=−4+6n\begin{aligned}&\phantom{=}2+6(n-1)\\\\ &=2+6n-6\\\\ &=-4+6n\end{aligned}
Algumas pessoas talvez prefiram a fórmula minus, 4, plus, 6, n em vez da fórmula equivalente 2, plus, 6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis, porque a primeira é menor. O legal da fórmula maior é que ela nos dá o primeiro termo.

Teste seu conhecimento

5) Encontre todas as fórmulas explícitas corretas da progressão 12, comma, 7, comma, 2, comma, point, point, point
Escolha todas as respostas aplicáveis:

Desafios

6*) Encontre o 124, start superscript, start text, o, end text, end superscript termo da progressão aritmética 199, comma, 196, comma, 193, comma, point, point, point
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

7*) O primeiro termo de uma progressão aritmética é 5 e o décimo termo é 59.
Qual é a diferença comum?
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

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