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Álgebra intermediária (parte 1)
Curso: Álgebra intermediária (parte 1) > Unidade 9
Lição 2: Construção de progressões aritméticas- Fórmulas recursivas de progressões aritméticas
- Fórmulas recursivas de progressões aritméticas
- Fórmulas recursivas de progressões aritméticas
- Fórmulas explícitas de progressões aritméticas
- Fórmulas explícitas de progressões aritméticas
- Fórmulas explícitas de progressões aritméticas
- Problema de progressão aritmética
- Conversão das formas recursiva e explícita de progressões aritméticas
- Conversão das formas recursiva e explícita de progressões aritméticas
- Conversão das formas recursiva e explícita de progressões aritméticas
- Revisão de progressões aritméticas
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Fórmulas explícitas de progressões aritméticas
Aprenda a encontrar fórmulas explícitas para progressões aritméticas. Por exemplo, encontre uma fórmula explícita para 3, 5, 7,...
Antes de fazer esta lição, certifique-se de que você conhece os fundamentos das fórmulas de progressão aritmética formulas.
Como funcionam as fórmulas explícitas
A seguir, temos uma fórmula explícita da progressão
Na fórmula, é qualquer número de termo e é o n-ésimo termo.
Essa fórmula nos permite simplesmente inserir o número do termo no qual estamos interessado, e vamos obter o valor desse termo.
Para encontrar o quinto termo, por exemplo, precisamos inserir na fórmula explícita.
Que legal! Esse realmente é o quinto termo de
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Como escrever fórmulas explícitas
Considere a progressão aritmética O primeiro termo da progressão é e a diferença comum é .
Podemos obter qualquer termo da progressão pegando o primeiro termo e somando a diferença comum repetidamente. Veja, por exemplo, os seguintes cálculos dos primeiros termos.
Cálculo do n-ésimo termo | |||
---|---|---|---|
A tabela mostra que podemos obter o n-ésimo termo (onde é qualquer número de termo) pegando o primeiro termo e somando a diferença comum repetidamente por vezes. Isso pode ser escrito algebricamente como .
Em geral, esta é a fórmula explícita padrão de uma progressão aritmética cujo primeiro termo é e cuja diferença comum é :
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Fórmulas explícitas equivalentes
As fórmulas explícitas podem ocorrer em várias formas.
Por exemplo, as fórmulas a seguir são todas fórmulas explícitas da progressão
(esta é a fórmula padrão)
As fórmulas podem parecer diferentes, mas o importante é que podemos inserir um valor de e obter o n-ésimo termo correto (veja você mesmo como as outras fórmulas estão corretas!).
As diferentes fórmulas explícitas que descrevem a mesma progressão são chamadas de fórmulas equivalentes.
Um erro comum
Uma progressão aritmética pode ter diferentes fórmulas equivalentes, mas é importante lembrar que apenas a forma padrão nos dá o primeiro termo e a diferença comum.
Por exemplo, a progressão tem como primeiro termo e uma diferença comum de .
A fórmula explícita descreve esta progressão, mas a fórmula explícita descreve uma progressão diferente.
Para transformar a fórmula em uma fórmula equivalente da forma , podemos eliminar os parênteses e simplificar:
Algumas pessoas talvez prefiram a fórmula em vez da fórmula equivalente , porque a primeira é menor. O legal da fórmula maior é que ela nos dá o primeiro termo.
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