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Álgebra intermediária (parte 1)

Curso: Álgebra intermediária (parte 1) > Unidade 9

Lição 2: Construção de progressões aritméticas
Matemática
Álgebra intermediária (parte 1)
Progressões
Construção de progressões aritméticas
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Fórmulas explícitas de progressões aritméticas

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Aprenda a encontrar fórmulas explícitas para progressões aritméticas. Por exemplo, encontre uma fórmula explícita para 3, 5, 7,...
Antes de fazer esta lição, certifique-se de que você conhece os fundamentos das fórmulas de progressão aritmética formulas.

Como funcionam as fórmulas explícitas

A seguir, temos uma fórmula explícita da progressão 3,5,7,…
a(n)=3+2(n−1)
Na fórmula, n é qualquer número de termo e a(n) é o n-ésimo termo.
Essa fórmula nos permite simplesmente inserir o número do termo no qual estamos interessado, e vamos obter o valor desse termo.
Para encontrar o quinto termo, por exemplo, precisamos inserir n=5 na fórmula explícita.
a(5)=3+2(5−1)=3+2⋅4=3+8=11
Que legal! Esse realmente é o quinto termo de 3,5,7,…

Teste seu conhecimento

1) Encontre b(10) na progressão dada por b(n)=−5+9(n−1).
b(10)=
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/4
  • um número misto, como 1 3/4
  • um número decimal exato, como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi

Como escrever fórmulas explícitas

Considere a progressão aritmética 5,8,11,… O primeiro termo da progressão é 5 e a diferença comum é 3.
Podemos obter qualquer termo da progressão pegando o primeiro termo 5 e somando a diferença comum 3 repetidamente. Veja, por exemplo, os seguintes cálculos dos primeiros termos.
nCálculo do n-ésimo termo
15=5+0⋅3=5
25+3=5+1⋅3=8
35+3+3=5+2⋅3=11
45+3+3+3=5+3⋅3=14
55+3+3+3+3=5+4⋅3=17
A tabela mostra que podemos obter o n-ésimo termo (onde n é qualquer número de termo) pegando o primeiro termo 5 e somando a diferença comum 3 repetidamente por n−1 vezes. Isso pode ser escrito algebricamente como 5+3(n−1).
Em geral, esta é a fórmula explícita padrão de uma progressão aritmética cujo primeiro termo é A e cuja diferença comum é B:
A+B(n−1)

Teste seu conhecimento

2) Escreva uma fórmula explícita para a progressão 2,9,16,….
d(n)=

3) Escreva uma fórmula explícita para a progressão 9,5,1,….
e(n)=

4) A fórmula explícita de uma progressão é f(n)=−6+2(n−1).
Qual é o primeiro termo da progressão?
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/4
  • um número misto, como 1 3/4
  • um número decimal exato, como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi
Qual é a diferença comum?
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/4
  • um número misto, como 1 3/4
  • um número decimal exato, como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi

Fórmulas explícitas equivalentes

As fórmulas explícitas podem ocorrer em várias formas.
Por exemplo, as fórmulas a seguir são todas fórmulas explícitas da progressão 3,5,7,…
  • 3+2(n−1) (esta é a fórmula padrão)
  • 1+2n
  • 5+2(n−2)
As fórmulas podem parecer diferentes, mas o importante é que podemos inserir um valor de n e obter o n-ésimo termo correto (veja você mesmo como as outras fórmulas estão corretas!).
As diferentes fórmulas explícitas que descrevem a mesma progressão são chamadas de fórmulas equivalentes.

Um erro comum

Uma progressão aritmética pode ter diferentes fórmulas equivalentes, mas é importante lembrar que apenas a forma padrão nos dá o primeiro termo e a diferença comum.
Por exemplo, a progressão 2,8,14,… tem 2 como primeiro termo e uma diferença comum de 6.
A fórmula explícita 2+6(n−1) descreve esta progressão, mas a fórmula explícita 2+6n descreve uma progressão diferente.
Para transformar a fórmula 2+6(n−1) em uma fórmula equivalente da forma A+Bn, podemos eliminar os parênteses e simplificar:
=2+6(n−1)=2+6n−6=−4+6n
Algumas pessoas talvez prefiram a fórmula −4+6n em vez da fórmula equivalente 2+6(n−1), porque a primeira é menor. O legal da fórmula maior é que ela nos dá o primeiro termo.

Teste seu conhecimento

5) Encontre todas as fórmulas explícitas corretas da progressão 12,7,2,…
Escolha todas as respostas aplicáveis:

Desafios

6*) Encontre o 124o termo da progressão aritmética 199,196,193,…
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/4
  • um número misto, como 1 3/4
  • um número decimal exato, como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi

7*) O primeiro termo de uma progressão aritmética é 5 e o décimo termo é 59.
Qual é a diferença comum?
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/4
  • um número misto, como 1 3/4
  • um número decimal exato, como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi

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