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Álgebra intermediária (parte 1)
Curso: Álgebra intermediária (parte 1) > Unidade 9
Lição 4: Construção de progressões geométricas- Fórmulas explícitas e recursivas para progressões geométricas
- Fórmulas recursivas para progressões geométricas
- Fórmulas explícitas para progressões geométricas
- Como converter formas recursivas e explícitas de progressões aritméticas
- Como converter formas recursivas e explícitas de progressões aritméticas
- Revisão de progressões geométricas
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Revisão de progressões geométricas
Revise as progressões geométricas e resolva vários problemas sobre o assunto.
Partes e fórmulas da progressão geométrica
Em progressões geométricas, a razão entre termos consecutivos é sempre a mesma. Chamamos essa razão de razão comum.
Por exemplo, a razão comum da progressão a seguir é 2:
start color #ed5fa6, times, 2, \curvearrowright, end color #ed5fa6 | start color #ed5fa6, times, 2, \curvearrowright, end color #ed5fa6 | start color #ed5fa6, times, 2, \curvearrowright, end color #ed5fa6 | ||||
---|---|---|---|---|---|---|
1, comma | 2, comma | 4, comma | 8, comma, point, point, point |
As fórmulas da progressão geométrica resultam em a, left parenthesis, n, right parenthesis, o n, start superscript, start text, o, end text, end superscript termo da progressão.
Esta é a fórmula explícita da progressão geométrica cujo primeiro termo é start color #11accd, k, end color #11accd e a razão comum é start color #ed5fa6, r, end color #ed5fa6:
Esta é a fórmula recursiva dessa progressão:
Quer aprender mais sobre progressões geométricas? Confira este vídeo.
Como estender progressões geométricas
Imagine que queiramos estender a progressão 54, comma, 18, comma, 6, comma, point, point, point Podemos ver que cada termo é start color #ed5fa6, times, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, end color #ed5fa6 em relação ao termo anterior:
start color #ed5fa6, times, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, \curvearrowright, end color #ed5fa6 | start color #ed5fa6, times, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, \curvearrowright, end color #ed5fa6 | |||
---|---|---|---|---|
54, comma | 18, comma | 6, comma, point, point, point |
Então basta multiplicarmos essa razão para descobrir que o termo seguinte é 2:
start color #ed5fa6, times, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, \curvearrowright, end color #ed5fa6 | start color #ed5fa6, times, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, \curvearrowright, end color #ed5fa6 | start color #ed5fa6, times, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, \curvearrowright, end color #ed5fa6 | ||||
---|---|---|---|---|---|---|
54, comma | 18, comma | 6, comma | 2, comma, point, point, point |
Quer resolver mais problemas como este? Confira este exercício.
Como escrever fórmulas recursivas
Imagine que queiramos escrever uma fórmula recursiva para 54, comma, 18, comma, 6, comma, point, point, point Já sabemos que a razão é start color #ed5fa6, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, end color #ed5fa6. Também podemos observar que o primeiro termo é start color #11accd, 54, end color #11accd. Portanto, esta é uma fórmula recursiva para a progressão:
Quer resolver outros problemas como este? Confira este exercício.
Como escrever fórmulas explícitas
Imagine que queiramos escrever uma fórmula explícita para 54, comma, 18, comma, 6, comma, point, point, point Já sabemos que a razão é start color #ed5fa6, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, end color #ed5fa6 e que o primeiro termo é start color #11accd, 54, end color #11accd. Portanto, esta é uma fórmula explícita para a progressão:
Quer resolver outros problemas como este? Confira este exercício.
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Vou dar um exemplo onde o primeiro termo da PG é 3 e a razão é 4.
Na fórmula recursiva da PG nós temos o seguinte:
a(1)= 3
a(n)= a(n-1)*4
Para converter para a forma explícita, nós precisamos identificar onde está o a(1) e onde está a razão, e isso resultaria em:
a(n)= 3*4^n-1
Se quisermos achar a(4) teremos:
a(4)= 3*4^3
=3*64
=192
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