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Como converter formas recursivas e explícitas de progressões aritméticas

Transcrição de vídeo

RKA2MP Vamos considerar uma função definida por g(x) igual a 9 vezes 8ˣ⁻¹, válido se "x" for um número inteiro positivo. "x" pode ser 1, 2, 3, 4, etc. Nosso objetivo é tomar esta função, cujo domínio está definido aqui, que está definida explicitamente, e tornar esta definição escrita da maneira recursiva. Para isso, vamos começar estudando uma tabela na qual eu vou colocar valores de "x" ("x" vai poder ser 1, 2, 3, 4, etc.) e os correspondentes valores do g(x). Quando "x" é 1, seguindo a definição da função, nós temos 9 vezes 8 elevado a: sendo o "x" 1, aqui, nós temos que colocar o valor de "x - 1". Se o "x" é 1, eu vou ter 9 vezes 8⁰. Isto é simplesmente igual a 9. Se o "x" é 2, eu tenho 9 vezes 8 elevado a 2 - 1, que é 1. 8¹, 9 vezes 8. Se o "x" for 3, eu tenho 9 vezes 8 elevado a: 3 - 1 = 2. 8², que é 8 vezes 8. Se o "x" for 4, eu vou ter 9 vezes 8³. Vou escrever 8 vezes 8, vezes 8. Você pode observar que existe um padrão de um valor da função para outro, quando eu vou aumentando o "x" de uma em uma unidade. Ou seja, se aqui tinha dado 9, aqui eu multiplico por 8 e encontro 9 vezes 8, quando o "x" vai de 1 para 2. Com o "x" indo de 2 para 3 (lembre-se de que "x" só pode ser número inteiro), eu tenho o termo anterior (formando-se uma sequência) multiplicado por 8. Para o próximo, eu tenho, novamente, o termo multiplicado por 8. Vamos definir de maneira recursiva esta mesma função. Teremos g(x) igual a... Primeiro, condição inicial, estamos aqui. Quando "x" vale 1, o g(1) vale 9. Então, g(x) vale 9, se o "x" for igual a 1. Quando "x" é 2, 3, 4... A definição da função, como vai ser? Se você observar, na sequência formada, um termo, a partir de quando "x" é 2, é obtido a partir do anterior multiplicado por 8. Então, g(x) vai ser o g(x) anterior, que é x - 1 ("x" é inteiro, lembrando), multiplicado por 8. E isso só vale se o "x" for maior que, ou igual, a 2. Observe que estamos falando que "x" é inteiro e positivo. Vamos prolongar um pouco a tabela para analisar esta escrita. Seguindo com x = 1, 2, 3, 4, etc, chegaremos a um momento em que teremos "x - 1" e "x". Aqui teremos o g(x - 1), que foi obtido a partir da anterior multiplicado por 8, multiplicado por 8 e tal. Aqui teremos o g(x). O g(x), o que é? É g(x - 1) multiplicado por 8, que é exatamente o que você está vendo aqui. Daqui para cá, multiplicamos por 8. Vamos agora desenhar uma outra tabela, analisando a escrita recursiva da função. Vou colocar aqui os valores de "x", a tabela... Aqui, os valores de g(x), alguns valores para "x", podendo ser 1, 2, 3 e assim por diante. E vamos lá. Quando "x" é 1, aqui eu tenho g(1). E g(1), pela definição recursiva, quando eu coloco 1 no lugar do "x", vale 9. Aqui temos 9. Quando "x" vale 2, estamos falando do g(2). Se "x" vale 2, nós caímos na segunda linha da definição. Colocando 2 no lugar do "x", eu tenho que g(2) é igual a g(2 - 1) (estou colocando 2 no lugar do "x" aqui) vezes 8. Ora, 2 - 1 é 1. Então, estamos falando do g(1). g(1) é 9. Então, nós estamos falando de 9 vezes 8, que vai dar 72, naturalmente. Para g(3), nós temos que usar de novo esta definição. g(3 - 1) vezes 8. Quem é g(3 - 1)? 3 - 1 = 2, é g(2). g(2) é 9 vezes 8. Então, este pedaço é 9 vezes 8, vezes 8 de novo pela definição da função. Com isso, nós podemos observar exatamente os mesmos resultados nas duas tabelas e, de fato, concluir que esta representação recursiva corresponde a esta representação explícita da mesma função. Até o próximo vídeo!