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Álgebra intermediária (parte 1)
Curso: Álgebra intermediária (parte 1) > Unidade 9
Lição 1: Introdução às progressões aritméticas- Introdução às progressões
- Introdução a progressões aritméticas
- Introdução a progressões aritméticas
- Como estender progressões aritméticas
- Estenda progressões aritméticas
- Como usar as fórmulas de progressões aritméticas
- Introdução às fórmulas de progressão aritmética
- Exemplo solucionado: como usar a fórmula recursiva para progressões aritméticas
- Use fórmulas de progressão aritmética
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Introdução às fórmulas de progressão aritmética
Familiarize-se com os conceitos básicos de fórmulas explícitas e recursivas de progressões aritméticas.
Antes de iniciar essa lição, tenha certeza de que você aprendeu o básico de progressões aritméticas e tem alguma experiência com cálculo de funções e domínio de funções.
O que é uma fórmula?
Normalmente, descrevemos progressões aritméticas da seguinte forma:
Mas existem outras formas. Nesta lição, vamos aprender duas novas maneiras de representar progressões aritméticas: fórmulas recursivas e fórmulas explícitas. Fórmulas nos dão instruções sobre como encontrar qualquer termo de uma progressão.
Para permanecerem gerais, as fórmulas usam para representar o número de qualquer termo e para representar o termo da progressão. Por exemplo, aqui estão alguns dos primeiros termos da progressão aritmética 3, 5, 7, ...
(O número do termo) | (O |
Mencionamos acima que as fórmulas nos dão instruções sobre como encontrar qualquer termo de uma progressão. Agora, podemos reescrever a frase assim: as fórmulas nos dizem como encontrar para qualquer possível.
Teste seu conhecimento
Fórmulas recursivas de progressões aritméticas
As fórmulas recursivas nos fornecem duas informações:
- O primeiro termo de uma progressão
- A regra padrão para se chegar a qualquer termo de uma progressão a partir do termo que vem antes dele
A seguir, temos a fórmula recursiva da nossa progressão 3, 5, 7,... juntamente com a interpretação de cada parte.
Para encontrar o quinto termo, por exemplo, precisamos estender a progressão termo a termo:
Legal! Esta fórmula nos dá a mesma progressão como descrita por 3, 5, 7,...
Teste seu conhecimento
Agora, é a sua vez de encontrar termos de progressões usando suas fórmulas recursivas.
Assim como usamos para representar o termo da progressão 3, 5, 7, ..., podemos usar outras letras para representar outras progressões. Por exemplo, podemos usar , ou .
Fórmulas explícitas de progressões aritméticas
A seguir, apresentamos a fórmula explícita de 3, 5, 7, ...
Essa fórmula nos permite simplesmente inserir o número do termo no qual estamos interessados para obter o valor desse termo.
Para encontrar o quinto termo, por exemplo, precisamos inserir na fórmula explícita.
E vejam só, obtemos o mesmo resultado de antes!
Teste seu conhecimento
Progressões são funções
Observe que as fórmulas que usamos nesta lição funcionam como funções: inserimos o número do termo e a fórmula retorna o valor do termo .
Progressões são, de fato, definidas como funções. Entretanto, não pode ser qualquer número real. Não existe algo como o quinto termo negativo ou o termo de uma progressão.
Isso significa que o domínio de uma progressão - ou seja, o conjunto de todas as entradas possíveis da função - é o conjunto dos números inteiros positivos.
Uma observação sobre notação
Nós escrevemos , por exemplo, para representar o termo, mas outras fontes às vezes escrevem .
Ambas as notações podem ser usadas. Preferimos porque essa notação enfatiza o fato das progressões serem funções.
Pergunta para reflexão
Desafio
Quer participar da conversa?
- Tem dois erros na última questão. Do passo número 2 para o passo número 3 os valores deveriam ser:
Ou 4(n+1) = 68
Ou -4(n-1) = 68
Ou outro erro é do passo 3 para o passo 4.
4(n-1) = 68 deveria ser resolvido:
4n-4 = 68
4n = 68 + 4
4n = 72
n = 72 / 4
n = 18(0 votos)- Na verdade os passos da questão estão corretos. A sua primeira observação está ERRADA, muito cuidado, ao multiplicar os dois lados da equação por (-1) nós temos:
(-1)*(-68)=[-4(n-1)]*(-1) - Aqui o "-4(n-1)" representa um termo de 2 fatores e quando multiplicamos o termo inteiro por (-1) mudamos sinal apenas do termo. Então temos:
68=4(n-1) *Pense no "-4(n-1)" como se fosse "-4x" se multiplicarmos por (-1) temos 4x
A sua segunda observação é apenas um outro método de se resolver o restante da questão.
4(n-1)=68 - Dividindo os dois lados da equação por 4, nós temos: *4(n-1)/4=n-1
n-1=17 - Somando-se 1 aos dois lados da equação, nós temos:
n=18(16 votos)
- muito bacana, imagino que seja muito util em computação.(3 votos)
- progressão aritimética tem outra formula?(2 votos)
- A fórmula da progressão aritmética propriamente dita consiste nestas duas: a explícita e a recursiva.
Porém, há outras formulas que estão englobadas no conteúdo da P.A, como por exemplo: a soma dos termos de uma progressão aritmética.
Espero ter ajudado!(2 votos)
- apesar de estar conseguindo acertas pelo menos metade das questões ainda confundo recursiva e explícita(2 votos)
- Em 03.07.23, gostaria que se mostrasse todos os passos da explicação, pois não consegui entender. Obrigada!(2 votos)
- Qual o nome que se a regra padrão de um termo? E como ela é representada nas formulas? Pois aqui ela já foi inserida e as formulas não foram generalizadas.(2 votos)