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Álgebra intermediária (parte 1)

Curso: Álgebra intermediária (parte 1) > Unidade 9

Lição 1: Introdução às progressões aritméticas
Matemática
Álgebra intermediária (parte 1)
Progressões
Introdução às progressões aritméticas
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Introdução às fórmulas de progressão aritmética

Google Sala de Aula
Familiarize-se com os conceitos básicos de fórmulas explícitas e recursivas de progressões aritméticas.
Antes de iniciar essa lição, tenha certeza de que você aprendeu o básico de progressões aritméticas e tem alguma experiência com cálculo de funções e domínio de funções.

O que é uma fórmula?

Normalmente, descrevemos progressões aritméticas da seguinte forma:
3,5,7,…
Mas existem outras formas. Nesta lição, vamos aprender duas novas maneiras de representar progressões aritméticas: fórmulas recursivas e fórmulas explícitas. Fórmulas nos dão instruções sobre como encontrar qualquer termo de uma progressão.
Para permanecerem gerais, as fórmulas usam n para representar o número de qualquer termo e a(n) para representar o nésimo termo da progressão. Por exemplo, aqui estão alguns dos primeiros termos da progressão aritmética 3, 5, 7, ...
na(n)
(O número do termo)(O nésimo termo)
13
25
37
Mencionamos acima que as fórmulas nos dão instruções sobre como encontrar qualquer termo de uma progressão. Agora, podemos reescrever a frase assim: as fórmulas nos dizem como encontrar a(n) para qualquer n possível.

Teste seu conhecimento

1) Calcule a(4) na progressão 3, 5, 7, ...
a(4)=
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/4
  • um número misto, como 1 3/4
  • um número decimal exato, como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi

2) Para qualquer número de termo n, o que a(n−1) representa?
Escolha 1 resposta:

Fórmulas recursivas de progressões aritméticas

As fórmulas recursivas nos fornecem duas informações:
  1. O primeiro termo de uma progressão
  2. A regra padrão para se chegar a qualquer termo de uma progressão a partir do termo que vem antes dele
A seguir, temos a fórmula recursiva da nossa progressão 3, 5, 7,... juntamente com a interpretação de cada parte.
{a(1)=3←O primeiro termo é três.a(n)=a(n−1)+2←Some dois ao termo anterior.
Para encontrar o quinto termo, por exemplo, precisamos estender a progressão termo a termo:
a(n)=a(n−1)+2
a(1)=3
a(2)=a(1)+2=3+2=5
a(3)=a(2)+2=5+2=7
a(4)=a(3)+2=7+2=9
a(5)=a(4)+2=9+2=11
Legal! Esta fórmula nos dá a mesma progressão como descrita por 3, 5, 7,...

Teste seu conhecimento

Agora, é a sua vez de encontrar termos de progressões usando suas fórmulas recursivas.
Assim como usamos a(n) para representar o nésimo termo da progressão 3, 5, 7, ..., podemos usar outras letras para representar outras progressões. Por exemplo, podemos usar b(n), c(n) ou d(n).
3) Encontre b(4) na progressão dada por {b(1)=−5b(n)=b(n−1)+9
b(4)=
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/4
  • um número misto, como 1 3/4
  • um número decimal exato, como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi

4) Encontre c(3) na progressão dada por {c(1)=20c(n)=c(n−1)−17
c(3)=
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/4
  • um número misto, como 1 3/4
  • um número decimal exato, como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi

5) Encontre d(5) na progressão dada por {d(1)=2d(n)=d(n−1)+0,4
d(5)=
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/4
  • um número misto, como 1 3/4
  • um número decimal exato, como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi

Fórmulas explícitas de progressões aritméticas

A seguir, apresentamos a fórmula explícita de 3, 5, 7, ...
a(n)=3+2(n−1)
Essa fórmula nos permite simplesmente inserir o número do termo no qual estamos interessados para obter o valor desse termo.
Para encontrar o quinto termo, por exemplo, precisamos inserir n=5 na fórmula explícita.
a(5)=3+2(5−1)=3+2⋅4=3+8=11
E vejam só, obtemos o mesmo resultado de antes!

Teste seu conhecimento

6) Encontre b(10) na progressão dada por b(n)=−5+9(n−1).
b(10)=
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/4
  • um número misto, como 1 3/4
  • um número decimal exato, como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi

7) Encontre c(8) na progressão dada por c(n)=20−17(n−1).
c(8)=
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/4
  • um número misto, como 1 3/4
  • um número decimal exato, como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi

8) Encontre d(21) na progressão dada por d(n)=2+0,4(n−1).
d(21)=
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/4
  • um número misto, como 1 3/4
  • um número decimal exato, como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi

Progressões são funções

Observe que as fórmulas que usamos nesta lição funcionam como funções: inserimos o número do termo n e a fórmula retorna o valor do termo a(n).
Progressões são, de fato, definidas como funções. Entretanto, n não pode ser qualquer número real. Não existe algo como o quinto termo negativo ou o 0,4o termo de uma progressão.
Isso significa que o domínio de uma progressão - ou seja, o conjunto de todas as entradas possíveis da função - é o conjunto dos números inteiros positivos.

Uma observação sobre notação

Nós escrevemos a(4), por exemplo, para representar o 4o termo, mas outras fontes às vezes escrevem a4.
Ambas as notações podem ser usadas. Preferimos a(4) porque essa notação enfatiza o fato das progressões serem funções.

Pergunta para reflexão

9) Qual tipo de fórmula é mais útil para encontrar rapidamente o 100o termo de uma progressão aritmética?
Escolha 1 resposta:

Desafio

10) A fórmula explícita de uma progressão aritmética é f(n)=3−4(n−1).
Qual termo da progressão é igual a -65?
Número do termo
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/4
  • um número misto, como 1 3/4
  • um número decimal exato, como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi
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