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Álgebra intermediária (parte 1)

Curso: Álgebra intermediária (parte 1) > Unidade 9

Lição 1: Introdução às progressões aritméticas
Matemática
Álgebra intermediária (parte 1)
Progressões
Introdução às progressões aritméticas
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Introdução às fórmulas de progressão aritmética

Google Sala de Aula
Familiarize-se com os conceitos básicos de fórmulas explícitas e recursivas de progressões aritméticas.
Antes de iniciar essa lição, tenha certeza de que você aprendeu o básico de progressões aritméticas e tem alguma experiência com cálculo de funções e domínio de funções.

O que é uma fórmula?

Normalmente, descrevemos progressões aritméticas da seguinte forma:
3, comma, 5, comma, 7, comma, point, point, point
Mas existem outras formas. Nesta lição, vamos aprender duas novas maneiras de representar progressões aritméticas: fórmulas recursivas e fórmulas explícitas. Fórmulas nos dão instruções sobre como encontrar qualquer termo de uma progressão.
Para permanecerem gerais, as fórmulas usam n para representar o número de qualquer termo e a, left parenthesis, n, right parenthesis para representar o n, start superscript, start text, e, with, \', on top, s, i, m, o, end text, end superscript termo da progressão. Por exemplo, aqui estão alguns dos primeiros termos da progressão aritmética 3, 5, 7, ...
na, left parenthesis, n, right parenthesis
(O número do termo)(O n, start superscript, start text, e, with, \', on top, s, i, m, o, end text, end superscript termo)
13
25
37
Mencionamos acima que as fórmulas nos dão instruções sobre como encontrar qualquer termo de uma progressão. Agora, podemos reescrever a frase assim: as fórmulas nos dizem como encontrar a, left parenthesis, n, right parenthesis para qualquer n possível.

Teste seu conhecimento

1) Calcule a, left parenthesis, 4, right parenthesis na progressão 3, 5, 7, ...
a, left parenthesis, 4, right parenthesis, equals
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

2) Para qualquer número de termo n, o que a, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis representa?
Escolha 1 resposta:

Fórmulas recursivas de progressões aritméticas

As fórmulas recursivas nos fornecem duas informações:
  1. O primeiro termo de uma progressão
  2. A regra padrão para se chegar a qualquer termo de uma progressão a partir do termo que vem antes dele
A seguir, temos a fórmula recursiva da nossa progressão 3, 5, 7,... juntamente com a interpretação de cada parte.
{a(1)=3←O primeiro termo eˊ treˆs.a(n)=a(n−1)+2←Some dois ao termo anterior.\begin{cases}a(1) = 3&\leftarrow\gray{\text{O primeiro termo é três.}}\\\\ a(n) = a(n-1)+2&\leftarrow\gray{\text{Some dois ao termo anterior.}} \end{cases}
Para encontrar o quinto termo, por exemplo, precisamos estender a progressão termo a termo:
a, left parenthesis, n, right parenthesisequals, a, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis, plus, 2
a, left parenthesis, 1, right parenthesisequals, start color #11accd, 3, end color #11accd
a, left parenthesis, 2, right parenthesisequals, a, left parenthesis, 1, right parenthesis, plus, 2equals, start color #11accd, 3, end color #11accd, plus, 2equals, start color #aa87ff, 5, end color #aa87ff
a, left parenthesis, 3, right parenthesisequals, a, left parenthesis, 2, right parenthesis, plus, 2equals, start color #aa87ff, 5, end color #aa87ff, plus, 2equals, start color #1fab54, 7, end color #1fab54
a, left parenthesis, 4, right parenthesisequals, a, left parenthesis, 3, right parenthesis, plus, 2equals, start color #1fab54, 7, end color #1fab54, plus, 2equals, start color #e07d10, 9, end color #e07d10
a, left parenthesis, 5, right parenthesisequals, a, left parenthesis, 4, right parenthesis, plus, 2equals, start color #e07d10, 9, end color #e07d10, plus, 2equals, 11
Legal! Esta fórmula nos dá a mesma progressão como descrita por 3, 5, 7,...

Teste seu conhecimento

Agora, é a sua vez de encontrar termos de progressões usando suas fórmulas recursivas.
Assim como usamos a, left parenthesis, n, right parenthesis para representar o n, start superscript, start text, e, with, \', on top, s, i, m, o, end text, end superscript termo da progressão 3, 5, 7, ..., podemos usar outras letras para representar outras progressões. Por exemplo, podemos usar b, left parenthesis, n, right parenthesis, c, left parenthesis, n, right parenthesis ou d, left parenthesis, n, right parenthesis.
3) Encontre b, left parenthesis, 4, right parenthesis na progressão dada por {b(1)=−5b(n)=b(n−1)+9\begin{cases}b(1)=-5\\\\ b(n)=b(n-1)+9 \end{cases}
b, left parenthesis, 4, right parenthesis, equals
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

4) Encontre c, left parenthesis, 3, right parenthesis na progressão dada por {c(1)=20c(n)=c(n−1)−17\begin{cases}c(1)=20\\\\ c(n)=c(n-1)-17 \end{cases}
c, left parenthesis, 3, right parenthesis, equals
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

5) Encontre d, left parenthesis, 5, right parenthesis na progressão dada por {d(1)=2d(n)=d(n−1)+0,4\begin{cases}d(1)=2\\\\ d(n)=d(n-1)+0{,}4 \end{cases}
d, left parenthesis, 5, right parenthesis, equals
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Fórmulas explícitas de progressões aritméticas

A seguir, apresentamos a fórmula explícita de 3, 5, 7, ...
a, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, 3, plus, 2, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis
Essa fórmula nos permite simplesmente inserir o número do termo no qual estamos interessados para obter o valor desse termo.
Para encontrar o quinto termo, por exemplo, precisamos inserir n, equals, 5 na fórmula explícita.
a(5)=3+2(5−1)=3+2⋅4=3+8=11\begin{aligned}a(\greenE 5)&=3+2(\greenE 5-1)\\\\ &=3+2\cdot4\\\\ &=3+8\\\\ &=11\end{aligned}
E vejam só, obtemos o mesmo resultado de antes!

Teste seu conhecimento

6) Encontre b, left parenthesis, 10, right parenthesis na progressão dada por b, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, minus, 5, plus, 9, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis.
b, left parenthesis, 10, right parenthesis, equals
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

7) Encontre c, left parenthesis, 8, right parenthesis na progressão dada por c, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, 20, minus, 17, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis.
c, left parenthesis, 8, right parenthesis, equals
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

8) Encontre d, left parenthesis, 21, right parenthesis na progressão dada por d, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, 2, plus, 0, comma, 4, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis.
d, left parenthesis, 21, right parenthesis, equals
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Progressões são funções

Observe que as fórmulas que usamos nesta lição funcionam como funções: inserimos o número do termo n e a fórmula retorna o valor do termo a, left parenthesis, n, right parenthesis.
Progressões são, de fato, definidas como funções. Entretanto, n não pode ser qualquer número real. Não existe algo como o quinto termo negativo ou o 0, comma, 4, start superscript, start text, o, end text, end superscript termo de uma progressão.
Isso significa que o domínio de uma progressão - ou seja, o conjunto de todas as entradas possíveis da função - é o conjunto dos números inteiros positivos.

Uma observação sobre notação

Nós escrevemos a, left parenthesis, 4, right parenthesis, por exemplo, para representar o 4, start superscript, start text, o, end text, end superscript termo, mas outras fontes às vezes escrevem a, start subscript, 4, end subscript.
Ambas as notações podem ser usadas. Preferimos a, left parenthesis, 4, right parenthesis porque essa notação enfatiza o fato das progressões serem funções.

Pergunta para reflexão

9) Qual tipo de fórmula é mais útil para encontrar rapidamente o 100, start superscript, start text, o, end text, end superscript termo de uma progressão aritmética?
Escolha 1 resposta:

Desafio

10) A fórmula explícita de uma progressão aritmética é f, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, 3, minus, 4, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis.
Qual termo da progressão é igual a -65?
Número do termo
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
.

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  • Avatar male robot donald style do usuário João Victor Pereira Lamego
    Publicado há há 2 anos. Link direto para a postagem “muito bacana, imagino que...” de João Victor Pereira Lamego
    muito bacana, imagino que seja muito util em computação.
    (1 voto)
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  • Avatar blobby green style do usuário gisagjg.rios15
    Publicado há há 2 anos. Link direto para a postagem “apesar de estar conseguin...” de gisagjg.rios15
    apesar de estar conseguindo acertas pelo menos metade das questões ainda confundo recursiva e explícita
    (1 voto)
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  • Avatar blobby green style do usuário tatiana silva
    Publicado há há 5 anos. Link direto para a postagem “Qual o nome que se a regr...” de tatiana silva
    Qual o nome que se a regra padrão de um termo? E como ela é representada nas formulas? Pois aqui ela já foi inserida e as formulas não foram generalizadas.
    (1 voto)
    Avatar Default Khan Academy avatar do usuário
  • Avatar blobby green style do usuário Denise Layza
    Publicado há há 4 anos. Link direto para a postagem “progressão aritimética te...” de Denise Layza
    progressão aritimética tem outra formula?
    (1 voto)
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  • Avatar aqualine ultimate style do usuário Moizés
    Publicado há há 6 anos. Link direto para a postagem “Tem dois erros na última ...” de Moizés
    Tem dois erros na última questão. Do passo número 2 para o passo número 3 os valores deveriam ser:
    Ou 4(n+1) = 68
    Ou -4(n-1) = 68

    Ou outro erro é do passo 3 para o passo 4.
    4(n-1) = 68 deveria ser resolvido:
    4n-4 = 68
    4n = 68 + 4
    4n = 72
    n = 72 / 4
    n = 18
    (0 votos)
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    • Avatar starky tree style do usuário Álvaro Sena
      Publicado há há 6 anos. Link direto para a postagem “Na verdade os passos da q...” de Álvaro Sena
      Boa resposta
      Na verdade os passos da questão estão corretos. A sua primeira observação está ERRADA, muito cuidado, ao multiplicar os dois lados da equação por (-1) nós temos:
      (-1)*(-68)=[-4(n-1)]*(-1) - Aqui o "-4(n-1)" representa um termo de 2 fatores e quando multiplicamos o termo inteiro por (-1) mudamos sinal apenas do termo. Então temos:
      68=4(n-1) *Pense no "-4(n-1)" como se fosse "-4x" se multiplicarmos por (-1) temos 4x
      A sua segunda observação é apenas um outro método de se resolver o restante da questão.
      4(n-1)=68 - Dividindo os dois lados da equação por 4, nós temos: *4(n-1)/4=n-1
      n-1=17 - Somando-se 1 aos dois lados da equação, nós temos:
      n=18
      (13 votos)
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