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Introdução às progressões

Progressões são listas de números ordenados (chamados de "termos"), como 2,5,8. Algumas progressões seguem um padrão específico que pode ser usado para estendê-las indefinidamente. Por exemplo, 2,5,8 segue o padrão "somar 3," e agora podemos continuar com a progressão. As progressões podem ter fórmulas que nos indicam como encontrar qualquer termo nelas. Por exemplo, 2,5,8,... pode ser representada pela fórmula 2+3(n-1). Versão original criada por Sal Khan.

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  • Avatar blobby green style do usuário anaeliziaria
    tenho aulas de matemática em inglês na minha escola, gostaria de poder assistir as aulas em inglês também. O que fazer?
    (6 votos)
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    • Avatar leafers tree style do usuário Vanessa Silva
      Há duas opções:

      Você pode entrar em configurações e alterar o idioma da sua conta, o que fará com que você veja todo o site em inglês (Para isso, entre em "Configurações" embaixo do seu nome, na parte superior direita ou em "Alterar o idioma" no canto inferior esquerdo.

      Ou então você pode ir para o site em inglês da sua página atual, indo no link lá em cima, no topo da página, e mudando o
      "https://pt.khan..."
      (de p or t uguês) por
      "https://en.khan..." 
      (de en glish); Se a página for de um vídeo, como esta em que estamos, você pode ir no final das perguntas e clicar no link "Você entende inglês? Clique aqui para ver mais debates na versão em inglês do site da KhanAcademy" , em cima das Tags.

      É isso! ;D
      (2 votos)
  • Avatar starky ultimate style do usuário Luiz Guilherme Franchim
    Eu não entendi qual a utilidade desse (k-1)
    (3 votos)
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    • Avatar leaf yellow style do usuário Luís Filipe Ribeiro
      O termo (k-1) tem na progressão uma função recorrente. Ou seja, (k-1) será sempre o termo anterior.
      Deve-se por sempre (k-1) por que senão o resultado será o termo depois do que se quer obter. Por exemplo : numa expressão a(k)=1,3,5,7 . a(1)=1 , a(2)=3 e por diante.
      Se se usar por exemplo : a(k)=1+2k então a(3)=1+2*3 =7. O que está errado por que esse é a(4).
      Mas se usarmos a(k)1+2(k-1) então a(3)=1+2(3-1)=5 e isso está correto!
      Espero que tenha ajudado!
      (6 votos)
  • Avatar marcimus orange style do usuário Rayane Oliveira
    Na parte de , o k da sequência infinita não seria k=3? Não entendi o porquê de k=1.
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    • Avatar leafers tree style do usuário Vanessa Silva
      Não, esse "k" não era o primeiro termo. Ele é a posição do termo na sequência, e ajuda a contar o número de termos na sequência (escritos como "a") e ajuda a calcular os seus valores "Ak" (Que poderia ser "Ax", "Ay"...) . Simplificando, o "k" representa a ordem do número na sequência. Por exemplo, na que era infinita:

      k=1 (o 1o termo) era o 3;
      k=2 (o 2o termo) era o 7;
      k=3 (o 3o termo) era o 11;

      Como a ordem na sequência influencia o resultado do "a", o "k" ajuda a calculá-lo.

      A fórmula geral da sequência é "A(k) = a1+ N (k-1)"; Sendo N o número que está sendo adicionado e que está gerando a progressão.

      Substituindo o a1 por 3, e o N por 4,
      a fórmula dessa sequência é "A(k) = 3 + 4 (k-1)";

      Essa fórmula nos ajuda a calcular termos mais distantes, olha só:

      --Qual é o 5o termo da sequencia?

      5o = 5 = k;

      A(k) = 3 + 4 (k-1) => A(5) = 3 + 4 (5-1) => A(5) = 3 + 4 . 4 = 3 + 16 = 19

      O 5o termo será o "19";

      Vamos fazer pelo outro método do Sal?

      O termo anterior + o N => A(4) + 4 => 15 + 4 = "19"

      Espero ter ajudado! ;D
      (3 votos)
  • Avatar blobby green style do usuário Beatriz Gonçalves
    Explica e da uma breve introdução sobre a ''Progressão Aritmética'', sendo mais especifica, ele nos ensina sobre as sequências
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  • Avatar leaf green style do usuário Ingriid Nascimento
    Onde que dlfica as questoes de matematica pra responder?
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  • Avatar starky seedling style do usuário Gustavo Cerchiari
    Uma sequência pode ser finita ou infinita, e ele terá um razão, assim você monta sua sequência
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  • Avatar leaf red style do usuário Isabela Leonardo soares
    As progressões aritméticas tem a sequência finita que no caso em uma sequencia de {1,4,7,10} a constante é 3 e para saber os outros termos é só usar a fórmula: ak = 1+3.(k-1) ou pode só acrescentar 3. Já na sequência infinita, em uma sequência {3,7,11,15} a constante é 4 e para saber os outros termos é só usar a fórmula: ak = 3+4.(k-1) ou acrescentar 4 .
    Temos também a maneira recursiva que na sequencia finita que é representada por {ak} k começa em 1 e termina em 4 é feita pela fórmula: ak+1 = ak+3 e na sequência infinita que é representada por {ak} K começa em 1 e vai infinito é feita pela fórmula : ak+1 = ak+4
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  • Avatar marcimus pink style do usuário Jéssyca Araujo Arante
    Porque ao passar para a fórmula ele utilizou o k-1?
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  • Avatar starky seed style do usuário Nicole Monteiro
    Os videos me ajudou muito em relação a progressões aritméticas. Uma sequência pode ser finita ou infinita, e ele terá um razão, assim você monta sua sequência
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  • Avatar aqualine ultimate style do usuário Julio Tin
    Sei que vocês estão reclamando por causa do Goku, mas nós estamos aqui no Khan Academy para aprender, não para ficar ouvindo a voz dele. E eu acredito em vocês, com o Wendel, certas aulas ficavam mais faceis.
    (1 voto)
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Transcrição de vídeo

RKA1JV O objetivo deste vídeo é familiarizar você com a ideia de sequência. O que é uma sequência em Matemática? Como lidar com ela? Vamos pegar um exemplo, uma sequência que começa com o número 1 e vou adicionando 3 para obter o próximo termo. 1 mais 3, 4, 4 mais 3, 7, 7 mais 3, 10 e eu quero que esta sequência pare por aqui. Por ter o primeiro e último termos bem definidos, só quatro termos, eu digo que esta é uma sequência finita. Por outro lado, se eu definir esta outra sequência começando em 3 e adicionando 4 para obter o próximo termo, 3 mais 4 são 7 que mais 4, 11, que mais 4, 15, assim infinitamente. Mais 4, mais 4, mais 4 sem fim. Eu tenho uma sequência que eu chamo de sequência infinita. Muito bem, a ideia é descrever com símbolos matemáticos cada uma destas sequências, nós dizemos que esta sequência é composta por vários termos. O primeiro termo é este e nós vamos dizer que ele é representado pela letra "a" com o subíndice 1, a₁. Este é o segundo termo, que seria a₂, este é o terceiro termo a₃, este aqui é o quarto termo que seria a₄. O símbolo a com índice "k" para representar todos estes termos. Mas com o "k" começando em 1, primeiro termo, indo até 4, quarto termo, é o que simbolicamente representa os termos dessa função, escritos um por um aqui. Nós podemos usar uma outra notação para representar todos esses termos da sequência por meio da ideia de função. Teremos o seguinte: estamos falando da sequência com os termos aₖ com "k" começando em 1 e indo até 4. Definidos da seguinte forma: o aₖ é igual a um certo cálculo com índice "k". Que cálculo seria esse? O primeiro termo é 1, então, eu vou usar aqui 1, e a partir dele eu obtenho os outros termos. Para obter o segundo termo, eu devo adicionar 3 uma vez. Para obter o terceiro termo, eu devo, a partir do primeiro, adicionar 3 duas vezes. Para obter o quarto termo, eu devo adicionar 3, três vezes. Então para obter um termo qualquer, eu parto do primeiro termo e adiciono uma quantidade de vezes que é "k - 1", por exemplo, para o quarto termo. 3 vezes "k - 1" vezes, eu fui adicionando sempre 3, então, "k - 1" vezes 3. Esta seria a forma explícita de representar os termos dessa função aₖ. Eu posso usar também a notação mais tradicional de função. Seria a(k) igual a 1 mais 3 vezes o "k - 1". Neste caso, o domínio da função seria os possíveis valores de "k" que são os inteiros de 1 a 4. Como descrever esta outra sequência então? Estamos falando de uma sequência de termos que eu vou indicar por "aₖ", claro que poderia usar outra letra. Com o "k" iniciando em 1 para representar aqui o primeiro termo, que é a₁, o segundo termo, que é o a₂ e vai infinitamente, então "k" vai de 1 a "infinito", esse infinito é uma ideia, e a sequência é formada dessa forma. Agora, eu quero representar, quero descrever esta sequência por meio da ideia de função. Eu teria aₖ, com "k" indo de 1 infinitamente. Com, agora vamos lá, aₖ igual, seguindo a mesma ideia do anterior, eu poderia observar que do 3, que é o primeiro termo, eu vou obtendo os outros termos, o primeiro termo é 3 e a ele vou adicionando uma quantidade de vezes o número 4, veja. Para obter o segundo termo, adiciono uma vez o número 4, para obter o terceiro termo, adiciono duas vezes o número 4, para obter o quarto termo, adiciono três vezes o número 4. Novamente, a mesma ideia, para um certo termo, eu uso o índice subtraindo uma unidade, vezes o 4, que é o número que eu estou adicionando de um termo para obter o próximo. Aqui nós descrevemos de maneira explícita, ou explicitamente, duas sequências. Mas que outra maneira existe para descrever uma sequência? Muito bem. Existe uma outra maneira chamada recursiva, em que nós colocamos aqui aₖ no caso da primeira sequência, com "k" indo de 1 até 4. Nós vamos definir o primeiro termo, que é o a₁, que vale 1, primeiro termo. Definimos a partir do próximo termo com relação ao anterior, quero dizer, o próximo termo depois do aₖ vai ser o a(k + 1) que é o anterior que é o aₖ, somado de 3. Por exemplo, o segundo termo é o primeiro somado de 3, então, aₖ + 3. Se eu falar do terceiro termo, pego o segundo e adiciono 3, e assim por diante. Da mesma forma, eu posso fazer a definição recursiva da outra sequência que temos aqui. Eu teria então aₖ com "k" de 1 a infinito. Com, o primeiro termo a₁ é 3, o valor do primeiro termo é 3. E o aₖ+₁ um termo seguinte é obtido a partir do anterior aₖ, adicionado de 4, neste caso. Podemos verificar que isso funciona direitinho, colocando valores para "k", por exemplo. Se eu quiser obter o valor do segundo termo, o segundo termo é o a₂, o a₂ seguindo esta ideia aqui, vamos entender. No lugar do 2, eu tenho aqui o "k + 1". Para que isto seja 2, o "k" tem que ser 1. Em outras palavras, o aₖ+₁ que está definido ali acima seria a₂ igual a "a", no lugar do "k", tenho 1 mais 4. O a₁ quanto é? É 3. Então, 3 mais 4 igual a 7, que é o valor do segundo termo, que bate certinho com o que temos aqui. Da mesma forma, poderíamos escrever o a₃. O a₃ seria, isso tudo é 3, então isso aqui é 2, a₂ o termo anterior, mais 4, quanto é o a₂? a₂ é o 7, 7 mais 4 é igual a 11. É exatamente o que temos aqui para o a₃. Esta é a maneira recursiva, ou seja, descrevemos recursivamente uma sequência. Estas sequências que nós estudamos aqui são chamadas progressões aritméticas, estudaremos em breve em detalhes. Elas podem ser descritas recursivamente ou explicitamente, entretanto, tem que ficar claro que não é toda sequência que tem essas duas opções para serem descritas. Há sequências que não podem ser descritas de uma ou de ambas as maneiras. Neste momento, terminamos algo sobre a sequência, esse estudo continua. Estude bastante, e até o próximo vídeo!