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Introdução às progressões geométricas

Transcrição de vídeo

RKA1JV Neste vídeo, pretendo apresentar a você a definição de progressão geométrica. Progressão geométrica é uma sequência de números, mas não é uma sequência de números quaisquer. Compare, por exemplo, com a sequência 1, 2, 3, 4, 5, é uma sequência de números, uma progressão, podemos dizer, mas não é uma progressão geométrica. O que precisamos para definir uma progressão geométrica é um termo inicial e saber que, a partir do segundo termo, nós o obtemos, multiplicando o anterior por um número fixo chamado razão. Deixe-me explicar o que eu quero dizer. Vamos admitir que eu tenho o termo inicial, o número 2, e eu vou multiplicá-lo por 3, 2 vezes 3, 6, 6 vezes 3, 18, 18 vezes 3, 54 e assim continuamos, multiplicando sempre pelo mesmo número chamado razão. Nesta progressão geométrica, o primeiro termo, vamos indicar por a₁. a₁ é igual a 2, que é o valor do primeiro termo. De um número para o próximo, de um termo para o próximo, multiplico sempre pela razão, que neste caso é 3, indicamos pela letra "q" a razão, "q" é igual a 3. É o que chamamos de razão da progressão geométrica. Comumente, a progressão geométrica é indicada simplesmente pelas letras "PG". Você pode ter uma outra situação em que é necessário escrever a progressão geométrica, dado que o primeiro termo seja 90 e que a razão seja -1/3. Vamos escrever alguns termos dessa progressão. O primeiro termo é 90, o segundo termo tem que ser o 90 multiplicado pela razão, que é -1/3, 90 vezes -1/3 dá um número negativo, 90 vezes 1/3, 30. O próximo termo vai ser -30 vezes -1/3, resultado positivo, 30 vezes 1/3, 10 positivo. O próximo termo, 10 vezes -1/3, então -10/3 já na forma irredutível. O próximo termo -10/3 vezes -1/3, negativo vezes negativo vai dar positivo, 10/9 e assim sucessivamente. É isso que quer dizer quando alguém fala sobre uma sequência geométrica ou progressão geométrica. Estes dois são exemplos de sequências chamadas progressões geométricas, mas são sequências, 2, 6, 18, 54, aqui 90, -30, 10, -10/3, 10/9, etc. Você pode já ter ouvido, pode vir a ouvir falar do termo série. Série é a soma dos termos de uma certa sequência, vamos estudar em particular a série geométrica. Série geométrica, que é a soma dos termos de uma progressão geométrica, por exemplo, olhando para esta progressão geométrica, para esta sequência, a série associada a ela para estes termos escrito seria o 90 mais o 30 negativo, mais o 10, mais o -10/3 e mais o 10/9. A palavra série está associada à soma de uma sequência, a soma dos termos de uma sequência, é importante que fique bem clara a diferença entre série e sequência, isso normalmente gera alguma confusão, principalmente à primeira vista. Vamos voltar um pouco, à ideia da sequência chamada progressão geométrica, analisando uma certa situação. Uma menina chamada Anne salta de bungee jump e a cada vez que ela chega lá embaixo, a corda se estica, ela volta para cima, torna a cair, a corda se estica novamente. Na primeira esticada, a corda chega a se esticar 36 metros, e nas próximas, ela vai sempre se esticando 60% do que ela havia esticado na vez anterior, na queda anterior. Organizando na forma de uma sequência, nós teríamos, pensando no quanto a corda estica a cada vez, o primeiro termo seria 36 metros. Nós podemos organizar na forma de uma tabela, a queda, tem várias quedas, vamos chamar assim, e o quanto a corda se estirou, vamos chamar de estiramento. Pode ser cientificamente o nome menos adequado, mas aqui, para ter uma ideia. Vamos considerar que quando ela chega lá embaixo, essa seria a queda número zero. E um estiramento, nesse caso, seria de 36 metros, estiramento aqui, em metros. E nas próximas quedas, o estiramento vai ser 60% do estiramento anterior. Temos o primeiro termo que é 36 metros de uma sequência, e a razão desta sequência é 0,6, lembre-se de que 60% pode ser escrito como 0,6, que multiplica o termo anterior, 60% do termo anterior. Ou seja, quando ela estava lá embaixo, o estiramento era de 36 metros, voltou, caiu novamente, vamos considerar esta a queda número 1, o estiramento vai ser de 0,6, 60% vezes o termo anterior, 36 metros. Depois, voltou, queda seguinte, esticou a corda quanto? 60%, ou 0,6, vezes, 0,6 é 60% de? O que eu tinha no termo anterior, que era 0,6 vezes 36, isto tudo aqui era o termo anterior. No terceiro momento, ela vai esticar 0,6 de tudo isso que estava no termo anterior. 0,6 vezes 0,6, vezes 36, nós podemos generalizar essa ideia por meio de uma fórmula. Como nós escreveríamos o estiramento na enésima queda? Lembrando que, considerando o início como a queda número zero. Queda número zero, estiramento inicial, 36 metros, depois, só vamos introduzindo o fator 0,6 em cada termo, multiplicando o anterior. Na queda número 1, você tem 0,6¹ vezes 36, na queda número 2 é 0,6 vezes 0,6, seria o 0,6² vezes o 36, na queda número 3, teríamos 0,6³ vezes 36. Seguindo assim, você percebe que, na queda número 10, nós vamos ter 0,6¹⁰ vezes 36. Então, o estiramento na enésima queda, na queda número "n", vai ser 0,6ⁿ vezes o estiramento inicial, que era de 36 metros. É mais comum escrevermos 36 vezes 0,6ⁿ, este é o termo geral desta sequência, que é geométrica, porque a cada termo, nós multiplicamos o anterior por um número fixo chamado razão, que é o 0,6 neste caso. Observe agora que e se nós precisássemos saber qual seria o estiramento na queda número 12? Vamos fazer os cálculos a partir desta fórmula, do termo geral desta progressão. Para obter o estiramento na queda número 12, número 12, ora, nós vamos precisar desta fórmula, trocando o "n" pelo 12. Teríamos 36 metros vezes 0,6¹². Claro que vamos precisar do auxílio de uma calculadora. Deixe-me abrir uma aqui. Muito bem. Digitando 36 vezes 0,6¹², nós teríamos 0,0065 metros de estiramento. 0,0065 metros de estiramento na queda número 12. Observe que era esperado, imaginando a situação do bungee jump, que a cada estirada da corda, a nova estirada é menor que a anterior. Houve energia que se dissipou. Veja que começamos com 36 metros de estiramento, e agora, nós temos menos do que 1 centímetro de estiramento. É uma redução considerável e é justamente o que esta progressão mostra. Um termo é 60% do anterior, então, ele é menor que o anterior. É importante, neste momento, observar também, que a escolha dos índices que eu fiz aqui me ajudaram a ter uma relação com a fórmula de maneira mais fácil. Quero dizer o seguinte: queda zero, eu poderia ter começado pela queda número 1, eu escolhi começar pela queda zero porque aqui o 0,6 apareceria elevado a zero. Na 1, 0,6¹, na 2, 0,6² e na queda "n", 0,6ⁿ, vezes 36, isso facilita bastante a escrita da fórmula, a interpretação, seu uso e os cálculos que vêm na sequência. Você poderia escolher de outras maneiras. Por exemplo, se eu falasse que aqui era queda 1, aqui era queda 2, aqui era queda 3, queda 4 etc, na fórmula, eu teria que colocar o 36 vezes 0,6ⁿ⁻¹ porque na queda 4, 0,6 aparece três vezes. Na queda 3, ele apareceria só duas vezes, uma unidade a menos, então, seria possível fazer as contas, seria correto usar essa ideia, entretanto, facilita se uma escolha for propositadamente mais adequada à nossa situação. Eu espero que você tenha aproveitado bastante, que isso tenha sido interessante para você. Até o próximo vídeo!