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Álgebra intermediária (parte 1)
Curso: Álgebra intermediária (parte 1) > Unidade 9
Lição 3: Introdução a progressões geométricas- Introdução às progressões geométricas
- Como estender progressões geométricas
- Estenda progressões geométricas
- Expansão de progressões geométricas: números negativos e frações
- Como usar fórmulas explícitas de progressões geométricas
- Como usar fórmulas recursivas de progressões geométricas
- Use fórmulas de progressão geométrica
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Introdução às progressões geométricas
Neste vídeo, apresentamos as progressões geométricas e suas características principais, o termo inicial e a razão comum. Versão original criada por Sal Khan.
Quer participar da conversa?
- O professor fez a multiplicação na calculadora do 0,6^12 por 3, e não por 36 aos. 8:46(58 votos)
- Bem observado Luzilton! O resultado correto da conta seria 0,07836, e não 0,00653!(25 votos)
- O que não aprendi na universidade aprendi aqui muito bem o detalhado sobre o que significa (n-1) obrigado(20 votos)
- houve um erro na digitação do professor na calculadora o que afetou o resultado ele digitou 3 ao invés de 36.(4 votos)
- Utilizando a equação 0,6^n x 36 para calcular o estiramento na queda 1, o valor seria nulo, pois o "n" neste caso seria "1" e todo número elevado 1 é igual a zero. Alguém poderia me explicar? Porque isso me deixou confuso.(3 votos)
- Carlos, você confundiu algumas propriedades da potenciação:
_todo número diferente de 0, elevado na potência 0 [n^0], é 1.
_qualquer número elevado na potência 1 [n¹] é ele mesmo.
Isso porque se você tem um número elevado a 1, quer dizer que está multiplicando esse número uma vez, por exemplo 2¹ é 2.
Para entender o porque um número elevado na potência 0, é 1, você pode assistir esse vídeo aqui:
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/exponents-radicals/World-of-exponents/v/raising-a-number-to-the-0th-and-1st-power
Também pode ser comprovado pela propriedade de divisão de potências de mesma base, que é explicado nesse vídeo aqui: https://www.youtube.com/watch?v=JKCoGUuWRpQ
Espero ter ajudado!(8 votos)
- Apesar do pequeno erro técnico a aula foi mt boa.(2 votos)
- De acordo com o livro "Fundamentos de Matemática Elementar - vol. 4" do Gelson Iezzi, a fórmiula do termo geral é (A1.q^n-1)... ou seja, na queda 1 o estiramento seria: 36.n^1-1 = 36.1 = 36m... estou confuso.(2 votos)
- A fórmula que descreves assemelha-se à progressão geométrica. Exemplo:
S={2, 4, 8, 16, 32...}. Fórmula="An = A1 * (R) ^ (n-1)." An é o termo que procura, A1 é o primeiro termo e R é a razão.
Você quer encontrar o sexto termo da progressão demonstrada acima:
A6 = 2 * ( 2 ) ^ 5 = 2 * 32 = 64.
Logo o sexto termo é 64. Pode conferir e verá que a formula atende aos resultados.(3 votos)
- Esse vídeo literalmente foi útil, mesmo eu já sabendo fazer o básico da Progressão Geométrica, esse vídeo serviu de muitíssima importância para eu aprender cada vez mais e melhorar e para todos os que assistiram melhorarem também!(2 votos)
- a Fórmula="An = A1 * (R) ^ (n-1) e o Resultado certo seria 0,07836, más calculou errado ali na parte do 36 colocou 3(1 voto)
- Vídeo muito bom, e pude esclarecer minhas dúvidas e erros que cometia.(1 voto)
- 36x0.6 elevado a 12= 0,07836, observei que vc calculou 3x0.6 elevado a 12(1 voto)
Transcrição de vídeo
RKA1JV Neste vídeo, pretendo apresentar a você a definição de progressão geométrica. Progressão geométrica é uma sequência de números, mas não é uma sequência de números quaisquer. Compare, por exemplo, com a sequência 1, 2, 3, 4, 5, é uma sequência de números, uma progressão, podemos dizer, mas não é uma progressão geométrica. O que precisamos para definir uma progressão geométrica é um termo inicial e saber que, a partir do segundo termo, nós o obtemos, multiplicando o anterior
por um número fixo chamado razão. Deixe-me explicar o que eu quero dizer. Vamos admitir que eu tenho o termo inicial,
o número 2, e eu vou multiplicá-lo por 3, 2 vezes 3, 6, 6 vezes 3, 18, 18 vezes 3, 54
e assim continuamos, multiplicando sempre pelo
mesmo número chamado razão. Nesta progressão geométrica, o primeiro termo, vamos indicar por a₁. a₁ é igual a 2, que é o valor do primeiro termo. De um número para o próximo,
de um termo para o próximo, multiplico sempre pela razão, que neste caso é 3, indicamos pela letra "q" a razão,
"q" é igual a 3. É o que chamamos de razão da progressão geométrica. Comumente, a progressão geométrica é indicada simplesmente pelas letras "PG". Você pode ter uma outra situação em que é necessário escrever a progressão geométrica, dado que o primeiro termo seja 90
e que a razão seja -1/3. Vamos escrever alguns termos dessa progressão. O primeiro termo é 90, o segundo termo tem que ser o 90
multiplicado pela razão, que é -1/3, 90 vezes -1/3 dá um número negativo,
90 vezes 1/3, 30. O próximo termo vai ser -30 vezes -1/3, resultado positivo, 30 vezes 1/3, 10 positivo. O próximo termo, 10 vezes -1/3, então -10/3 já na forma irredutível. O próximo termo -10/3 vezes -1/3,
negativo vezes negativo vai dar positivo, 10/9 e assim sucessivamente. É isso que quer dizer quando alguém fala sobre uma sequência geométrica ou progressão geométrica. Estes dois são exemplos de sequências chamadas progressões geométricas, mas são sequências, 2, 6, 18, 54, aqui 90, -30, 10, -10/3, 10/9, etc. Você pode já ter ouvido,
pode vir a ouvir falar do termo série. Série é a soma dos termos de uma certa sequência, vamos estudar em particular a série geométrica. Série geométrica, que é a soma dos termos
de uma progressão geométrica, por exemplo, olhando para esta progressão geométrica, para esta sequência, a série associada a ela para estes termos escrito
seria o 90 mais o 30 negativo, mais o 10, mais o -10/3 e mais o 10/9. A palavra série está associada à soma de uma sequência, a soma dos termos de uma sequência, é importante que fique bem clara
a diferença entre série e sequência, isso normalmente gera alguma confusão,
principalmente à primeira vista. Vamos voltar um pouco, à ideia da sequência
chamada progressão geométrica, analisando uma certa situação. Uma menina chamada Anne salta de bungee jump e a cada vez que ela chega lá embaixo, a corda se estica, ela volta para cima, torna a cair, a corda se estica novamente. Na primeira esticada, a corda chega a se esticar 36 metros, e nas próximas, ela vai sempre se esticando 60% do que ela havia esticado na vez anterior, na queda anterior. Organizando na forma de uma sequência, nós teríamos, pensando no quanto a corda estica a cada vez,
o primeiro termo seria 36 metros. Nós podemos organizar na forma de uma tabela, a queda, tem várias quedas, vamos chamar assim, e o quanto a corda se estirou,
vamos chamar de estiramento. Pode ser cientificamente o nome menos adequado,
mas aqui, para ter uma ideia. Vamos considerar que quando ela chega lá embaixo, essa seria a queda número zero. E um estiramento, nesse caso, seria de 36 metros, estiramento aqui, em metros. E nas próximas quedas, o estiramento vai ser 60% do estiramento anterior. Temos o primeiro termo que é 36 metros de uma sequência, e a razão desta sequência é 0,6, lembre-se de que 60% pode ser escrito como 0,6, que multiplica o termo anterior, 60% do termo anterior. Ou seja, quando ela estava lá embaixo,
o estiramento era de 36 metros, voltou, caiu novamente,
vamos considerar esta a queda número 1, o estiramento vai ser de 0,6, 60% vezes o termo anterior, 36 metros. Depois, voltou, queda seguinte, esticou a corda quanto? 60%, ou 0,6, vezes,
0,6 é 60% de? O que eu tinha no termo anterior,
que era 0,6 vezes 36, isto tudo aqui era o termo anterior. No terceiro momento, ela vai esticar 0,6 de tudo isso
que estava no termo anterior. 0,6 vezes 0,6, vezes 36, nós podemos generalizar essa ideia
por meio de uma fórmula. Como nós escreveríamos o estiramento na enésima queda? Lembrando que, considerando o início
como a queda número zero. Queda número zero, estiramento inicial, 36 metros, depois, só vamos introduzindo o fator 0,6
em cada termo, multiplicando o anterior. Na queda número 1, você tem 0,6¹ vezes 36, na queda número 2 é 0,6 vezes 0,6,
seria o 0,6² vezes o 36, na queda número 3, teríamos 0,6³ vezes 36. Seguindo assim, você percebe que,
na queda número 10, nós vamos ter 0,6¹⁰ vezes 36. Então, o estiramento na enésima queda,
na queda número "n", vai ser 0,6ⁿ vezes o estiramento inicial,
que era de 36 metros. É mais comum escrevermos 36 vezes 0,6ⁿ, este é o termo geral desta sequência, que é geométrica, porque a cada termo, nós multiplicamos o anterior por um número fixo chamado razão, que é o 0,6 neste caso. Observe agora que e se nós precisássemos saber
qual seria o estiramento na queda número 12? Vamos fazer os cálculos a partir desta fórmula,
do termo geral desta progressão. Para obter o estiramento na queda número 12, número 12, ora, nós vamos precisar desta fórmula,
trocando o "n" pelo 12. Teríamos 36 metros vezes 0,6¹². Claro que vamos precisar do auxílio
de uma calculadora. Deixe-me abrir uma aqui. Muito bem. Digitando 36 vezes 0,6¹², nós teríamos 0,0065 metros de estiramento. 0,0065 metros de estiramento na queda número 12. Observe que era esperado, imaginando a situação do bungee jump, que a cada estirada da corda, a nova estirada é menor que a anterior. Houve energia que se dissipou. Veja que começamos com 36 metros de estiramento, e agora, nós temos menos do que
1 centímetro de estiramento. É uma redução considerável e é justamente
o que esta progressão mostra. Um termo é 60% do anterior,
então, ele é menor que o anterior. É importante, neste momento, observar também, que a escolha dos índices que eu fiz aqui me ajudaram a ter uma relação com a fórmula de maneira mais fácil. Quero dizer o seguinte: queda zero, eu poderia ter começado
pela queda número 1, eu escolhi começar pela queda zero porque aqui
o 0,6 apareceria elevado a zero. Na 1, 0,6¹,
na 2, 0,6² e na queda "n",
0,6ⁿ, vezes 36, isso facilita bastante a escrita da fórmula,
a interpretação, seu uso e os cálculos que vêm na sequência. Você poderia escolher de outras maneiras. Por exemplo, se eu falasse que aqui era queda 1,
aqui era queda 2, aqui era queda 3, queda 4 etc, na fórmula, eu teria que colocar o 36 vezes 0,6ⁿ⁻¹ porque na queda 4,
0,6 aparece três vezes. Na queda 3, ele apareceria só duas vezes,
uma unidade a menos, então, seria possível fazer as contas,
seria correto usar essa ideia, entretanto, facilita se uma escolha for propositadamente mais adequada à nossa situação. Eu espero que você tenha aproveitado bastante,
que isso tenha sido interessante para você. Até o próximo vídeo!