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Álgebra intermediária (parte 1)
Curso: Álgebra intermediária (parte 1) > Unidade 9
Lição 3: Introdução a progressões geométricas- Introdução às progressões geométricas
- Como estender progressões geométricas
- Estenda progressões geométricas
- Expansão de progressões geométricas: números negativos e frações
- Como usar fórmulas explícitas de progressões geométricas
- Como usar fórmulas recursivas de progressões geométricas
- Use fórmulas de progressão geométrica
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Como usar fórmulas recursivas de progressões geométricas
Cálculo do 4º termo da progressão cuja fórmula recursiva é a(1)=-⅛, a(i)=2a(i-1).
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- Para que seria proveitoso aprender a forma recursiva se pra mim funciona melhor a explícita?
O que a recursiva pode fazer que a explícita não pode?(1 voto)- lembre-se que há sequências que não podem ser escritas pela forma explícita.(2 votos)
- o "an" não deveria ser elevado na (n-1)? está meio estranha a representação(1 voto)
- se não diz, se é uma PG/PA a única maneira de resolver é recurssivamente?(1 voto)
Transcrição de vídeo
RKA - Aqui nós temos uma progressão geométrica
que é dada pela fórmula recursiva. Ou seja, dá o primeiro termo e, os outros
termos são calculados a partir do termo anterior. Então, se queremos achar "a₄", temos que achar "a₃". E "a₄" vai ser "a₃" vezes o termo que
está sendo multiplicado. Cada termo que está sendo
multiplicado, ele está sendo multiplicado por 2. O termo posterior é o termo anterior,
vezes 2. Ou seja, nossa razão geométrica é 2. Portanto, vezes 2. Quem é nosso "a₃"? "a₃" vai ser "a₂ × 2".
E quem vai ser nosso "a₂"? "a₂" vai ser igual "a₁ × 2".
Ora, nós sabemos quanto vale "a₁". "a₁" é -1/8. Então, -1/8 × 2. Ou seja, nosso "a₂" vai ser -1/4. Quem vai ser o nosso "a₃"?
Nosso "a₃" vai ser o "a₂" que é -1/4, que já calculamos, vezes 2 que vai ser -2/4, que vai dar -1/2. E, finalmente, quem vai ser nosso "a₄"? Nosso "a₄" vai ser -1/6 × 2 que vai ser -1. Será que teria outra forma da gente resolver essa expressão? Chegar nesse resultado? Chegar no resultado -1?
Vamos ver. Cada termo posterior é o termo anterior vezes dois. Ou seja, eu posso dizer que "a₄" vai ser igual a₁ × 2ⁿ¯¹ termos. Ou seja, nosso "a₄" vai ser igual a "a₁" que é -1/8 × 2ⁿ, que no caso é 4 que nós queremos calcular, -1 = 3.
2³ é 8, dividido por 8, vai dar -1. Faz sentido para os outros termos? Vamos ver. O a₃ é igual a -1/8 × 2ⁿ¯¹ É "a₃", "n-1" vai dar, 3 - 1 = 2 Ou seja, 4 ÷ 8 vai ficar 1/2. Então, vai ficar -1/2. E bateu com nosso "a₃", calculado anteriormente. E finalmente nosso "a₂". Nosso "a₂" seria
-1/8, "2ⁿ", "n" que é 2 menos 1, 2 - 1 = 1. então 2¹. E nós teríamos -1/8 × 2
que daria -1/4 que também bate com o que calculamos inicialmente. De uma forma genérica, nós podemos calcular isso. Nós podemos dizer, o
"a₄" é igual "a₃" vezes a nossa razão. Vamos chamar nossa razão de "q".
O "a₃" é igual o "a₂" vezes a nossa razão "q". O"a₂" é igual "a₁" vezes a nossa razão "q". Se nós multiplicarmos de ambos os lados, vamos ter "a₄ × a₃ × a₂" e, desse lado de cá, Vamos ter "a₃ × q", vamos ter "a₂ × q", e vamos ter "a₁ × q". "a₃" eu posso simplificar com "a₃".
"a₂" posso simplificar com "a₂". Então, eu tenho que "a₄" vai ser igual,
apenas restou o nosso "a₁". E quantos "q" restaram?
Ora, apenas 3 porque nós contamos "n-1" termos.
Só começamos a contar do 2 até o 4. Então, "qⁿ¯¹". Então você tem o "a₄" será o "a₁" que é -1/8, vezes o "q" que é 2, o "n" é 4, então 4 -1 = 3.
E nós temos 2³ = 8 dividido por 8.
Vamos ter -1 como resposta. E dessa forma você não gasta
tanto papel quanto você gastaria. Você já imaginou se o termo fosse o termo 20 e você tivesse que calcular o 19, 18, 17
e assim por diante? Ou seja, existe um termo genérico, e vamos ver nos outros vídeos, que você resolve de maneira mais simples para números bem maiores.