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Revisão de sistemas equivalentes de equações

Dois sistemas de equações são equivalentes quando eles têm as mesmas soluções. Este artigo revisa o modo como sabemos se dois sistemas são equivalentes.
Sistemas de equações que têm a mesma solução são chamados de sistemas equivalentes.
Dado um sistema de duas equações, podemos gerar um sistema equivalente substituindo uma equação pela soma das duas equações, ou substituindo uma equação por um múltiplo dela.
Por outro lado, podemos ter certeza de que dois sistemas de equações não são equivalentes quando sabemos que a solução de uma não é a solução da outra.
Observação: esta ideia de sistemas equivalentes de equações aparece novamente em álgebra linear. Entretanto, os exemplos e explicações deste artigo são voltados para aulas de nível básico de álgebra para o Ensino médio.

Exemplo 1

Temos dois sistemas de equações e precisamos descobrir se eles são equivalentes.
Sistema ASistema B
12x+9y=79x12y=6\begin{aligned}-12x+9y=7\\\\9x-12y=6\end{aligned}12x+9y=73x4y=2\begin{aligned}-12x+9y=7\\\\3x-4y=2\end{aligned}
Se multiplicarmos a segunda equação no Sistema B por 3, obteremos:
3x4y=23(3x4y)=3(2)9x12y=6\begin{aligned} 3x-4y&=2 \\\\ 3(3x-4y)&=3(2) \\\\ 9x-12y&=6 \end{aligned}
Substituindo a segunda equação do Sistema B por essa nova equação, obtemos um sistema equivalente:
12x+9y=79x12y=6\begin{aligned}-12x+9y=7\\\\9x-12y=6\end{aligned}
Uau! Olhe só! Este sistema é igual ao Sistema A, o que significa que o sistema A é equivalente ao Sistema B.
Quer saber mais sobre sistemas equivalentes de equações?Confira este vídeo.

Exemplo 2

Temos dois sistemas de equações e precisamos descobrir se eles são equivalentes.
Sistema ASistema B
9x4y=52x+5y=4\begin{aligned}-9x-4y&=5\\\\2x+5y&=-4\end{aligned}7x+y=12x+5y=4\begin{aligned}-7x+y&=1\\\\2x+5y&=-4\end{aligned}
É interessante notar que, se somarmos as equações do Sistema A, obteremos:
9x4y=5+ 2x+5y=47x+y=1\begin{aligned} -9x-4y&=5 \\ +~2x+5y&=-4\\ \hline\\ -7x+y &=1 \end{aligned}
Substituindo a primeira equação no Sistema A por esta nova equação, obtemos um sistema equivalente ao Sistema A:
7x+y=12x+5y=4\begin{aligned}-7x+y&=1\\\\2x+5y&=-4\end{aligned}
Pasmem! Esse é o Sistema B, o que significa que o Sistema A é equivalente ao Sistema B.

Exemplo 3

Recebemos dois sistemas e temos que provar que eles não são equivalentes encontrando uma solução de um que não seja uma solução do outro.
Sistema ASistema B
4x+10y=11x2y=3\begin{aligned}-4x+10y&=1\\\\-1x-2y&=-3\end{aligned}9xy=81x2y=4\begin{aligned}-9x-y&=8\\\\-1x-2y&=4\end{aligned}
Observe como os coeficientes de x e y nas segundas equações dos dois sistemas são os mesmos. Entretanto, os termos constantes nas duas equações são diferentes!
Qualquer par de valores para x e y que torne o Sistema A verdadeiro tornará o Sistema B falso, e vice-versa.
Por exemplo, x, equals, 1, y, equals, 1 é uma solução para a segunda equação do Sistema A, mas não é uma solução para a segunda equação do Sistema B.
Os Sistemas A e B não são equivalentes.
Quer saber mais sobre sistemas não equivalentes de equações? Confira este vídeo

Prática

Problema 1
  • Atual
A professora de Elza e Olavo deu a eles um sistema de equações lineares para resolver. Cada um deles seguiu etapas que resultaram nos sistemas mostrados na tabela abaixo.
Professora
5, x, plus, 3, y, equals, minus, 1
4, x, minus, 9, y, equals, 8
ElzaOlavo
4, x, minus, 9, y, equals, 815, x, plus, 9, y, equals, minus, 3
9, x, minus, 6, y, equals, 74, x, minus, 9, y, equals, minus, 5
Qual deles chegou a um sistema que é equivalente ao sistema da professora?
Lembre-se de que dois sistemas lineares são "equivalentes" se tiverem a mesma solução.
Escolha 1 resposta:

Quer praticar mais? Confira este exercício.

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