Número de soluções de sistemas de equações: preços de frutas (2 de 2)

RKA - Arbegla começa a se sentir bravo e envergonhado porque você o humilhou na frente do rei. Então, ele sai da sala o mais rápido possível. Alguns segundos depois, retorna e diz: "A culpa foi minha. Minhas desculpas! Agora sei qual foi o meu erro. Houve um erro de digitação no que eu escrevi. Na primeira semana, quando eles vão ao mercado e compram 2 kg de maçãs e 1 de bananas, o custo não era R$3,00; era R$5,00. Agora, como você e este pássaro são tão espertos, certamente, vão ser capazes de calcular o custo por kg das maçãs, e o custo por kg das bananas". Pense um pouco e responda. Qual é a solução? Vamos examinar o problema usando as variáveis. Você diz: "Se "a" é o custo das maçãs por kg, e "b" o custo das bananas, a primeira condição diz que 2 kg de maçãs vão custar "2a", pois são "a" reais por kg, e 1 kg de bananas seria "b" reais, pois 1 kg vezes "b" reais por kg custa, agora, R$5,00. Este é o número corrigido. E, neste último, exemplo verificamos que os dados não mudaram. 6 kg de maçãs serão "6a" (6 kg vezes "a" reais por kg) e 3 kg de bananas vão custar "3b" (3 kg vezes "b" reais por kg). O custo total de maçãs e bananas, nesta compra, vai ser R$15,00. Daí, dá para tentar resolver o problema por eliminação e, de novo, tentar cancelar os "a"s. Tenho "2a" aqui, e "6a" aqui. Se multiplicar o "2a" por "-3", isto vai se tornar "-6a"; e talvez isso seja o bastante para cancelar tudo. Então, vamos lá. Vamos multiplicar a equação inteira; não podemos multiplicar só um termo, tem que multiplicar a equação inteira por "-3" se quiser que a equação continue a ser verdadeira. Daí, vamos multiplicar por "-3"... "2a" vezes "-3" é igual a "-6a"... "b" vezes "-3" é igual a "-3b", e 5 vezes "-3" é igual a "-15". Agora, percebemos que tem algo meio estranho acontecendo porque, se somar o lado esquerdo desta equação em azul ao verde, tem "0"; tudo vai ser cancelado. E, no outro lado, 15 menos 15 também será "0". Chegamos em "0 = 0", que vai ser um pouco melhor do que a última vez que tentamos resolver. Na última vez, chegamos em "0 = 6". Mas "0 = 0" não diz nada sobre os valores de "x" e "y". Isto é verdade! E isto é verdadeiro no sentido que "0", com certeza, é igual a "0". Mas nada disso nos ajuda a chegar num "x" ou num "y". O pássaro sussurra no ouvido do rei e ele diz: "O pássaro disse que deveria fazer o gráfico para entender o que está acontecendo". Daí, você percebe que o pássaro, na verdade, é bem esperto! Vamos tentar fazer o gráfico das duas equações. Teremos um eixo "b" (este é o eixo "b") e um eixo "a"... (vou colocar as medidas... um, dois, três, quatro, cinco... e um, dois, três, quatro, cinco). Essa primeira equação, se subtrairmos "2a" dos dois lados, coloco direto na forma de equação reduzida da reta; e tem: "b = -2a + 5" (só subtraí "2a" dos dois lados). E, se fizesse o gráfico, a reta cruzaria "b" em "a = 0". "b = 5", que vai ser mais ou menos aqui. E o coeficiente angular vai ser "-2". Cada vez que somar 1 no "a" (se "a" for de 0 para 1), "b" vai descer 2 (então, vai descer 2). Esta primeira equação em branco vai ser assim se fizer gráfico. Esses são todos os preços de bananas e maçãs que satisfazem as equações. Agora, vamos fazer a segunda equação. Se subtrairmos "6a" dos dois lados, tem "3b = -6a + 15". E, se dividir os dois lados por 3... dividimos tudo por 3, e chegamos em "b = -2a + 5". Interessante! Elas vão ser muito semelhantes. Na verdade, exatamente iguais. "b" será cruzado no 5, e o coeficiente angular será "-2a". São, basicamente, a mesma reta. As duas equações são, basicamente, a mesma. Você começa a ficar meio confuso e diz: "Está bom, agora eu sei porque chegamos em '0 = 0'. Tem um número infinito de soluções. Para qualquer 'x', o 'y' correspondente para cada um pode ser a solução para estas equações". Então, tem um número infinito de soluções, e você começa a se perguntar: "por que isso acontece?" E o pássaro sussurra de novo no ouvido do rei, e o rei diz: "Na verdade, o pássaro diz 'isto aconteceu porque em cada ida ao mercado foram compradas maçãs e bananas na mesma proporção. Na viagem verde versus a viagem branca, foi comprada 3 vezes mais maçãs, 3 vezes mais bananas, e o custo foi 3 vezes maior'". Então, independente do preço das maçãs e bananas, você comprou 3 vezes o número de maçãs, 3 vezes o de bananas, e o custo total foi 3 vezes maior; mas isso seria verdadeiro para quaisquer preços. Então, tem consistência. Não podemos dizer que Arbegla está mentindo; só que ele não está dando as informações suficientes. Isto é o que chamamos de um sistema consistente; toda a informação é consistente. Vamos escrever, "é consistente". "0 = 0". Não há nada estranho acontecendo aqui, mas não temos informação suficiente. Esse sistema de equações é dependente (ele é "dependente"); daí, tem um número infinito de soluções. Qualquer ponto desta reta representará uma solução. Então, pode falar para Arbegla: "Bom, se realmente quer que cheguemos em um resultado, a gente precisa de mais informação e, preferivelmente, uma compra com uma proporção de maçãs para bananas diferente.