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Álgebra intermediária (parte 1)

Curso: Álgebra intermediária (parte 1) > Unidade 6

Lição 3: Resolução de sistemas de equações com eliminação

Revisão do método de eliminação (sistemas de equações lineares)

O método de eliminação é uma técnica para resolver sistemas de equações lineares. Este artigo revisa a técnica com exemplos e dá a você a oportunidade de experimentar o método por conta própria.

O que é o método de eliminação?

O método de eliminação é uma técnica para resolver sistemas de equações lineares. Vamos ver alguns exemplos.

Exemplo 1

Precisamos resolver este sistema de equações:

\begin{aligned} 2 y + 7 x & = - 5 \\ 5 y - 7 x & = 12 \end{aligned}

Percebemos que a primeira equação tem um termo

7 x

, e que a segunda equação tem um termo

- 7 x

. Esses termos serão cancelados se somarmos as equações, ou seja, vamos eliminar os temos

x

\begin{aligned} 2 y + 7 x & = - 5 \\ + 5 y - 7 x & = 12 \\ 7 y + 0 & = 7 \end{aligned}

Ao encontrar o valor de

y

, obtemos:

\begin{aligned} 7 y + 0 & = 7 \\ 7 y & = 7 \\ y & = 1 \end{aligned}

Inserindo esse valor de volta em nossa primeira equação, encontramos o valor da outra variável:

\begin{aligned} 2 y + 7 x & = - 5 \\ 2 \cdot 1 + 7 x & = - 5 \\ 2 + 7 x & = - 5 \\ 7 x & = - 7 \\ x & = - 1 \end{aligned}

A solução para o sistema é

x = - 1

y = 1

Podemos verificar nossa solução inserindo esses valores de volta nas equações originais. Vamos tentar com a segunda equação:

\begin{aligned} 5 y - 7 x & = 12 \\ 5 \cdot 1 - 7 (- 1) & \overset{?}{=} 12 \\ 5 + 7 & = 12 \end{aligned}

Uhu! A solução está correta.

Se ainda tiver dúvidas de como esse processo funciona, confira este vídeo de introdução para ver um passo a passo detalhado.

Exemplo 2

Precisamos resolver este sistema de equações:

\begin{aligned} - 9 y + 4 x - 20 & = 0 \\ - 7 y + 16 x - 80 & = 0 \end{aligned}

Podemos multiplicar a primeira equação por

- 4

para obter uma equação equivalente que tenha um termo

- 16 x

. Nosso novo (mas equivalente!) sistema de equações ficou assim:

\begin{aligned} 36 y - 16 x + 80 & = 0 \\ - 7 y + 16 x - 80 & = 0 \end{aligned}

Somando as equações para eliminar os termos

x

, obtemos:

\begin{aligned} 36 y - 16 x + 80 & = 0 \\ + - 7 y + 16 x - 80 & = 0 \\ 29 y + 0 - 0 & = 0 \end{aligned}

Ao encontrar o valor de

y

, obtemos:

\begin{aligned} 29 y + 0 - 0 & = 0 \\ 29 y & = 0 \\ y & = 0 \end{aligned}

Inserindo esse valor de volta em nossa primeira equação, encontramos o valor da outra variável:

\begin{aligned} 36 y - 16 x + 80 & = 0 \\ 36 \cdot 0 - 16 x + 80 & = 0 \\ - 16 x + 80 & = 0 \\ - 16 x & = - 80 \\ x & = 5 \end{aligned}

A solução para o sistema é

x = 5

y = 0

Quer ver outro exemplo de como resolver um problema complexo com o método da eliminação? Confira este vídeo.

Prática

Problema 1

Resolva o sistema de equações a seguir.

\begin{aligned} 3 x + 8 y & = 15 \\ 2 x - 8 y & = 10 \end{aligned}

x =

y =

Quer praticar mais? Confira esses exercícios:

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36 ROBERTO PEREIRA SOUZA
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