Sistemas de equações com substituição: moedas

RKA - Como presente de aniversário, Zoey deu a sua sobrinha um cofre eletrônico que mostra o total de dinheiro no cofre e o número total de moedas. Após depositar algumas moedas de 5 e de 25 centavos, logo, temos apenas moedas de 5 e 25 centavos, o display mostra: total 2 reais e número de moedas, 16. Quantas moedas de 5 e de 25 centavos Zoey colocou no cofre? Vamos achar algumas incógnitas aqui. "n' será o número de moedas de 5 centavos. E vamos, deixa eu escrever, vamos usar "q" para o número de moedas de 25 centavos. Temos quantas moedas? Esse será o número de moedas de 5 centavos mais o número de moedas de 25 centavos. O total das moedas de 5 centavos mais as moedas de 25 centavos tem que ser igual a, qual é o total? Bom, temos 16 moedas no total. Se somarmos o total de moedas de 5 com o de 25, temos 16 moedas. Então, essa é uma das equações. Temos quanto em dinheiro? Bom, seja lá quantas moedas de 5 a gente tenha, podemos multiplicar esse número por 0,05 e isso nos dirá qual o valor que temos com moedas de 5 centavos. 0,05 vezes as moedas de 5, mais o total de moedas de 25. Isso será 25 centavos por moeda, ou 0,25 de 1 real. Deixa eu escrever aqui. 0,25 vezes o número de moedas de 25. Por exemplo, se tivesse quatro moedas de 25 e nenhuma de 5, teria 4 vezes 25 centavos, que é R$ 1,00, e nada em moedas de 5. Logo, é o número de moedas de 5 centavos vezes 0,05, e o número de moedas de 25 centavos vezes 0,25. Esse é o total de dinheiro que temos, e o cofre dela nos diz que é R$ 2,00, isso é igual a R$ 2,00. Temos duas equações em um sistema que podemos resolver com "n" e "q", faremos isso por substituição, o método mais fácil que podemos usar aqui. Vamos achar o "q", "n" mais "q" igual a 16. Vamos subtrair "n" dos dois lados da equação. "n" mais "q", igual a 16. Se subtrairmos "n" dos dois lados, teremos "q" igual a 16 menos "n". Tudo o que eu fiz foi reescrever essa primeira equação aqui. Como essa primeira equação nos diz que "q", o número de moedas de 25, deve ser 16 menos o número de moedas de 5. Na segunda equação, em todo lugar que a gente vir um "q", que a gente vir uma moeda de 25, vamos substituí-lo por 16 menos "n". Então, vamos lá! Na segunda equação, onde faremos a substituição, vai ficar 0,05n mais 0,25. No lugar de "q", vou escrever 16 menos "n". 16 menos "n", isso é o que a primeira equação nos diz, que "q" é 16 menos "n". Isso vai ser igual a R$ 2,00. Vamos resolver o sistema por substituição e vou ver se consigo simplificar isso. 0,05n mais, vamos fazer a distributiva de 0,25 vezes 16 e 0,25 vezes "-n". 0,25 vezes 16 é o mesmo que 1 quarto vezes 16, que dá 4. E 0,25 vezes "-n" é -0,25n, e tudo isso é igual a R$ 2,00. Vou abaixar a tela um pouco, continuando. Vou abaixar a tela mais um pouquinho. Olha, se temos 0,05n menos 0,25n, então, temos 0,05 menos 0,25, vamos juntar esses termos. Se tenho 0,05 e alguma coisa e subtraio de 0,25 e alguma coisa, vai dar menos 0,20 dessa coisa. Se eu juntar esses dois termos, vou ter -0,20n. É claro, o mais 4, mais 4 é igual a R$ 2,00. Ou, podemos escrever 2 aqui. Agora, podemos isolar o "n" no lado esquerdo subtraindo 4 dos dois lados, daí subtrai 4 dos dois lados e ficamos com o lado esquerdo negativo. Eu posso escrever aqui, -0,20n é igual a 2 menos 4, que é -2. Então, é igual a -2. Podemos dividir os dois lados por -0,2. Ao dividir os dois lados por -0,2, podemos escrever -0,20. É a mesma coisa. Não podemos ir muito fundo na divisão desse número, ou estaremos pressupondo que a gente tem precisão infinita em tudo. Então, -2 dividido por -0,2. Esses aqui se cancelam e ficamos com "n" é igual a, os negativos se cancelam, agora é 2 dividido por 0,2 que é 10. "n" é 10 e a gente sabe que "q" é igual a 16 menos "n" da primeira equação, "q" igual a 16 -n, que é 10 e que resulta em 6. Zoey depositou 10 moedas de 5 centavos, e ela colocou 10 moedas, vou fazer de outra cor, ela colocou 10 moedas de 5 e 6 moedas de 25 no cofre. Vamos verificar. Obviamente ela tem 16 moedas, essa parte está correta.10 moedas de 5, 6 moedas de 25, ou seja, 16 moedas, isso também está certo. Podemos verificar se o total de dinheiro está certo. 10 moedas de 5 são 50 centavos. 10 vezes 5 é 50. Então, são 50 centavos, e são 6 moedas de 25. 6 moedas de 25 são R$ 1,50. O total de dinheiro que ela tem é 50 centavos mais R$ 1,50, que dá R$ 2,00. Então, está certinho.