Como fazer o gráfico de funções racionais de acordo com as assíntotas

RKA - Nós temos "f(x) = (3x² - 18x - 81)/(6x² - 54)". Agora, o que eu quero fazer nesse vídeo é encontrar as equações para as assíntotas horizontal e vertical. E eu encorajo você a pausar esse vídeo agora e tentar trabalhar nisso sozinho. Assumindo que você pelo menos tentou fazer, vamos pensar em relação a cada uma delas. Vamos pensar primeiro na assíntota horizontal. Veja que é pelo menos uma. A assíntota horizontal é, realmente... então qual é a linha? A linha horizontal que "f(x)" se aproxima quando o valor absoluto de "x" se aproxima de infinito? Ou nós poderíamos dizer: de que valor "f(x)" se aproxima quando "x" se aproxima do infinito e quando "x" se aproxima do infinito negativo? Há várias maneiras de pensar nisso, mas vamos somente reescrever a definição de "f(x)". Isso é "3x² - 18x - 81", isso tudo aqui sobre "6x² - 54" Agora, há duas maneiras de você pensar nisso. Você poderia dizer: "ok", quando "x"... quando o valor absoluto de "x" se torna maior, maior e maior, os termos de maior grau do numerador e do denominador irão dominar. (haha, denominador e numerador irão dominar; ficou engraçado isso). E quais são os termos de maior grau? No numerador, você tem "3x²", e no denominador, você tem "6x²". Então, quando "x" se aproxima... quando o valor absoluto de "x" se aproxima do infinito, esses dois termos irão dominar. "f(x)" irá se tornar aproximadamente "(3x²)/(6x²)". Esses outros termos importarão menos. Obviamente, -54 não irá crescer, e "-18x" irá crescer muito mais lentamente do que "3x²". Os termos de grau mais elevado serão os que dominarão. Se nós olharmos somente esses termos, então, nós podemos pensar em simplificá-los dessa forma. Logo, "f(x)" está ficando perto de 3/6 ou 1/2. E você poderia dizer que é uma assíntota horizontal em "y = 1/2". Mas, se você não gosta desse método, eu tenho um argumento um pouquinho mais completo. Um argumento um pouquinho mais completo do que esses dois termos dominarem é que nós podemos dividir o numerador e o denominador pelo maior grau, ou por "x" elevado à maior potência no numerador e no denominador. O termo de maior grau é "x²" no numerador, portanto, vamos dividir o numerador e o denominador... ou eu deveria ter dito que o termo de maior grau no numerador e no denominador é "x²"... então, vamos dividir o numerador e o denominador por isso. Se você multiplicar o numerador por "1/x²", e o denominador por "1/x²"... repare que isso não está mudando o valor da expressão, nós estamos apenas multiplicando por 1. Se nós assumirmos, claro, que "x" não é igual a zero. Daí, então, nós ficaremos com... o nosso numerador... vamos ver... "3x²" dividido por "x²" será 3... menos "18/x" menos "81/x²"... e tudo isso sobre... "(6²)‧(1/x²)", isso será 6... e, por fim, menos "54/x²". Então, o que está acontecendo se você quiser pensar em limites como alguma coisa que se aproxima do infinito? Se você quer dizer o limite de quando "x" se aproxima do infinito aqui, então, o que está acontecendo? Bem, isso, isso e isso estão se aproximando de zero. Logo, nós estamos nos aproximando de 3/6 ou 1/2. Agora, se você diz que isso se aproxima do infinito negativo, então, seria a mesma coisa. Esse, esse e esse se aproximam de zero e, mais uma vez, nos aproximamos de 1/2. Portanto, essa é a assíntota horizontal: "y = 1/2". Agora, vamos pensar nas assíntotas verticais. Deixe-me escrever isso bem aqui. Deixa eu chegar um pouquinho mais para cá. Assíntota vertical. Bom, ou possíveis assíntotas verticais, porque pode ser que a gente tenha mais de uma. E, talvez, seja muito tentador dizer: ok, você encontra uma assíntota vertical quando o denominador é igual a zero, o que tornaria essa expressão racional indefinida. E, como nós veremos, nesse caso, isso não está exatamente correto. Fazer com que o denominador seja zero não fará com que tenhamos uma assíntota vertical. Isso, definitivamente, será um lugar onde a função é indefinida, e não fará com que seja uma assíntota vertical. E vamos pensar nesse denominador aqui. Nós podemos fatorá-lo. Na verdade, vamos fatorar o numerador e o denominador. Nós podemos reescrever isso aqui como sendo "f(x)" é igual a... todos os termos do numerador são, claramente, divisíveis por 3. Logo, isso será "3‧(x² - 6x - 27)", e tudo isso sobre... cada termo do denominador pode ser dividido por 6. Então, "6‧(x² - 9)". E vamos ver se nós podemos fatorar ainda mais o numerador e o denominador. E isso será "f(x)", que é igual a 3 vezes... vamos ver... dois números cujo produto é -27 e sua soma é 6. 9 e -3 parecem funcionar. Então, você poderia colocar "3‧(x - 9)‧(x + 3)". E esses são os fatores do numerador... sobre o denominador. E isso aqui é uma diferença de quadrados. Isso seria "6‧(x - 3)‧(x + 3)". Então, quando o denominador vai ser igual a zero? O denominador vai ser igual a zero quando "x" for igual a +3 ou "x" for igual a -3. Agora, eu encorajo você a pausar esse vídeo novamente por um segundo e pensar sobre isso. Ambas são assíntotas verticais? Bem, você pode perceber que o numerador também é igual a zero quando "x = -3", logo, o que nós podemos fazer é, na verdade, simplificar um pouquinho e, por fim, se tornará um pouco mais claro onde está a nossa assíntota vertical. Nós poderíamos dizer "f(x)"... nós poderíamos, essencialmente, dividir o numerador por "(x + 3)". E, se nós queremos manter a função idêntica à original, nós temos que manter a impossibilidade que a função tem de estar definida quando "x = -3", o que, definitivamente, faria com que tivéssemos que dividir por zero. Nós temos que nos lembrar disso, mas nós simplificaremos essa expressão. Exatamente essa mesma função será... se nós dividirmos o numerador e o denominador por "(x + 3)", isso será "f(x)" que é igual a "3‧(x - 9)/6‧(x - 3)", para "x" diferente de -3. Repare que essa é uma definição idêntica à definição da nossa função original. E eu tenho que dar um destaque nisso aqui porque a nossa função é indefinida em "x = -3". "x = -3" não faz parte do domínio da nossa função original. Então, se nós retirarmos o "(x + 3)" do numerador e o "(x + 3)" do denominador, nós temos que nos lembrar disso. Se nós simplesmente deixarmos assim, isso não seria a mesma função, porque, nessa configuração, o -3 está definido, mas nós queremos ter exatamente a mesma função. Na verdade, nós temos um ponto de descontinuidade bem aqui; e, agora, nós podemos pensar sobre a assíntota vertical. Agora, a assíntota vertical será um ponto que faz com que o denominador seja zero, mas não faz o numerador ser zero. "x = 3" faz com que ambos sejam zero. Logo, nossa assíntota vertical... vou fazer isso aqui com verde... ou seria azul... bom, a nossa assíntota vertical está em "x = 3". Isso é o que faz com que o denominador seja zero, mas, não o numerador. Deixe-me escrever isso aqui. Então, a assíntota vertical é quando "x = +3". Com esses dois pontos de informação, acredito que, com o que nós calculamos até aqui, seja possível construir o gráfico. Você pode começar a tentar esboçar o gráfico. Isso aqui sozinho, não seria suficiente. Você talvez queira também desenhar alguns pontos para ver o que acontece, acredito que no entorno das assíntotas, quando nós nos aproximamos das duas diferentes assíntotas. E isso pode ser mais fácil se nós olharmos para o gráfico. Vamos fazer isso só por diversão. Vamos completar a figura sozinhos. Parecerá com algo como isso aqui. Então, eu tenho aqui (eu não vou fazer isso... fora de escala)... então, eu tenho aqui o 1 e aqui está 1/2. Bem aqui está o 1/2. Então, a nossa assíntota horizontal vai passar por aqui, em 1/2. Então, aqui está a nossa assíntota horizontal. Então, é por aqui que ela vai passar. Então, a nossa assíntota horizontal está aqui em "y = 1/2", e nós temos uma assíntota vertical em "x = +3". Nós temos um, dois... deixa eu escrever isso aqui de azul... um, dois, três positivo. E, mais uma vez, eu não desenhei isso em escala (ou, se você preferir, o eixo "x" e o eixo "y" não estão na mesma escala), então, nós temos uma assíntota vertical parecida com essa aqui. Deixa eu completar para baixo aqui também. Então, essa vai ser a nossa assíntota vertical. Ela está passando pelo ponto (3, 0) em "x = 3". E, somente olhando isso, nós não sabemos exatamente como a função se parece. Então, como não sabemos exatamente como a nossa função se parece, ela poderia parecer com algo como isso, e isso; ou, em vez disso, isso aqui. Enfim, poderia também ser um pouco diferente. Poderia ser assim, poderia ser assim, ou poderia ser assim. Enfim, eu espero que você tenha uma ideia aqui, e calcule como é isso. Na verdade, você poderia querer tentar alguns pontos. A outra coisa que nós queremos que esteja bem clara é que a função "f(x)" não está definida para "x = -3". Então, nós vamos ter que colocar isso aqui também. Então, deixa eu fazer aqui "x = -3". Então, um, dois, três... -3 está bem aqui. Então, a função, mais uma vez, talvez pareça... bom, eu não testei nenhum desses pontos; então, todos eles são um esboço. Então, poderia ser algo assim. Ops, deixa eu colocar aqui que "f(x)" não está definida em "x = -3". Então, a "f(x)" não está definida em "x = -3". Então, isso poderia ser algo parecido com isso aqui... poderia ser assim e assim... ou, ela poderia estar aqui na parte de cima. Lembrando que a função não está definida em "x = -3". E aqui é uma assíntota, então, ela está chegando cada vez mais perto e perto... poderia ser aqui também, ou ainda poderia ser aqui... enfim, mais uma vez, para decidir qual dessas aqui será na verdade, você teria que experimentar alguns valores. Eu encorajo você, após esse vídeo, a tentar isso sozinho. E tentar mostrar com que o gráfico disso aí parece. Espero que vocês tenham gostado. E até um próximo vídeo!