Valores trigonométricos de π/4

RKA - Pois bem, o que eu tenho desenhado aqui é um círculo cujo centro está no ponto A e este ponto B está bem sobre a borda do círculo, a circunferência desse círculo. Nós desenhamos uma perpendicular do ponto B até o ponto D, e o ponto D está sobre o eixo positivo do x. Então, esses três pontos formam o triângulo ABD. Além disso, o problema nos diz que este ângulo BAD mede π sobre 4 radianos. O que eu quero fazer neste vídeo é usar o nosso conhecimento de trigonometria e o nosso conhecimento de triângulos para que a gente descubra uma porção de coisas neste exercício. A primeira coisa que eu quero que você faça é que você descubra a medida desse ângulo aqui. Portanto, qual é a medida em radianos do nosso ângulo ABD? O ângulo ABD. Qual é essa medida? Na verdade, eu vou resolver isso primeiro antes de fazer as outras. Vou presumir que você já pausou este vídeo e tentou resolver. Vamos descobrir qual é essa medida do ângulo ABD. Bem, como nós sabemos dois ângulos desse triângulo, nós podemos descobrir o terceiro. Sim ou não? O que pode não ser familiar para você neste exercício é que nós sabemos que a medida dos três ângulos internos de um triângulo, se eu somar estes três ângulos, dá 180 graus. Mas agora eu quero essa medida em radianos. Portanto, como a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°. 180° em radianos equivalem a π radianos, ou seja, este ângulo mais este ângulo, mais este ângulo serão iguais a π. Então, vamos dizer que a medida do ângulo ABD mais este ângulo aqui, π/4, mais este ângulo de 90°. Em radianos, isso equivale a quanto? Ora, se 180° é π, 90° vai ser π/2. Então, mais π/2, certo? E quando eu somar estas três medidas, a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo vai ser igual a π radianos, que, como a gente já sabe, equivale a 180°. Agora a gente já pode resolver essa equação para descobrir a medida do ângulo ABD. Isso vai ser igual a π menos π/4 menos π/2. O que eu fiz aqui foi apenas subtrair os dois lados da equação por π/4 e π/2. Agora eu vou achar um denominador comum para esses três ângulos aqui. Vai ser 4, certo? Então, o π vai ser 4π/4 menos esse π, que não vai mexer com ele, pois o denominador já era 4, menos 2π/4, que é a mesma coisa que π/2. Portanto, 4π - π - 2π vai dar igual a π/4. E a medida do ângulo ABD vai ser igual à medida do BAD. Isso vai ser igual a π/4, certo? Portanto, este ângulo aqui é π/4. Agora, no que isso nos ajuda? Se a gente sabe que esse ângulo é π/4, esse é π/4 e e esse círculo é um círculo unitário raio 1, então, nós sabemos que a medida do segmento AB = 1, é o raio do círculo. O que mais nós podemos descobrir aqui? Podemos descobrir a medida do lado AD e do lado BD também, certo? Bem, como nós temos dois ângulos que têm a mesma medida, isso significa que seus lados correspondentes têm a mesma medida. Este lado aqui vai ter a mesma medida deste lado aqui. Na verdade, eu vou redesenhar este triângulo para que fique mais fácil você observar essa relação entre os dois lados. Vamos lá! Deixe eu redesenhar aqui. Esse ângulo aqui tem que ter um ângulo de 90°. Aqui está o ângulo de 90. Logo, aqui vai ser o ponto D e eu vou determinar que aqui vai ser o ponto B e esse aqui, o ponto A. Aqui, então, vai ser π/4 radianos, aqui também π/4 radianos. Quando os dois ângulos da base são iguais, nós sabemos que esse triângulo vai ser um triângulo isóceles. O fato de os três ângulos não serem todos iguais quer dizer que este triângulo não é equilátero. Portanto, este triângulo aqui é um triângulo isósceles, que não é equilátero. Logo, este lado aqui vai ser igual a este, que é a mesma medida, lados correspondentes. E como será que isso nos ajuda a descobrir a medida desses dois lados? Pois bem, se eu digo que esse lado aqui tem medida x, esse aqui também vai ter medida x. Logo, aqui é x, aqui é x também. E podemos fazer o quê? Usar o teorema de Pitágoras. Então, nós podemos dizer que esse x² + x² vai ser igual a hipotenusa ao quadrado. A hipotenusa vale 1, portanto 1². Então, nós podemos escrever que 2x² = 1. Ou, ainda, podemos escrever isso como x² = 1/2. Ou então, extraindo a raiz quadrada dos dois lados da igualdade, eu posso dizer que o x vai ser igual a 1 sobre √2. E como uma porção de gente não gosta de radicais no denominador, nós podemos racionalizar esse denominador multiplicando em cima e em baixo por √2. E agora, eu vou ter no numerador 1 vezes √2 , √2. E no denominador, √2 vezes √2, ou seja, √2². Isso vai ser a mesma coisa que 2. Fazendo isso, já descobrimos um monte de coisa legal. Descobrimos o ângulo ABD em radianos, descobrimos também a medida do segmento AD e a medida do segmento BD. E agora o que eu quero fazer é descobrir o seno, o cosseno e a tangente desse ângulo aqui, de π/4 radianos. Eu vou fazer mais aqui em baixo, em laranja. Vou calcular medida do seno de π/4. Só que antes de calcular, quero que você pause o vídeo e tente resolver. Você pode pensar na definição do círculo de raio unitário e então descobrir qual vai ser a medida do seno de π/4. E, bem, a definição dos ângulos no círculo unitário me diz que esse ângulo de π/4 é um ângulo positivo no eixo do x, então esse ponto aqui, a coordenada do x e do y nesse ponto, serão respectivamente o cosseno e o seno do ângulo de π/4. Portanto, as coordenadas deste ponto, como acabamos de falar, serão cosseno de π/4 e o próprio seno de π/4. E qual vai ser a coordenada no eixo y? Ora, vai ser isso aqui, vai ser a mesma medida deste lado do triângulo que, por acaso, mede x, que nós calculamos aqui. É igual a √2 sobre 2. E agora, qual é a medida do cosseno de π/4? Novamente eu te encorajo a pausar o vídeo e pensar um pouquinho sobre isso. O cosseno vai ser a coordenada do x. E o x é exatamente essa distância aqui, não é? E quanto vale o x, novamente? Calculamos aqui, é igual a √2/2. E, finalmente, qual vai ser a tangente de π/4? Pois bem, a tangente de π/4 vai ser igual ao seno de π/4 sobre o cosseno de π/4. Ora, como o seno e o cosseno de π/4 têm a mesma medida, ambos medem √2/2, quando eu divido duas coisas iguais, isso vai dar igual a 1. O que realmente faz sentido, porque a tangente vai ser a inclinação dessa reta aqui. Vou subir um pouquinho para a gente visualizar melhor. Como nós podemos ver, para cada x que nós nos movemos para a direita, nós movemos também x unidades para cima. Portanto, a nossa variação no x e a variação no y são a mesma. Logo, quando eu efetuar esta divisão, isso vai ser, essencialmente, igual a 1. Tranquilo? Ficou claro? Então, até o próximo vídeo!