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Introdução à divisão longa de polinômios

Transcrição de vídeo

esse vídeo vamos aprender divisão pollini ao e algumas vezes a chamada de divisão algébrica longa mas vocês vão ver sobre o que eu tô falando quando fizemos alguns exemplos digamos que apenas quero dividir 2x mais quatro dividir isso por dois não estamos realmente alterando o valor estamos apenas alterando como vamos expressar o valor portanto já sabemos como simplificar já fizemos isso antes podemos dividir o numerador e um denominador por dois isso seria igual à que isso seria igual à x mas dois de escrever assim será igual à se dividirmos por dois eles se tornam x dividindo 4 por dois teremos dois se dividirmos o dois por dois teremos um isso é igual à x mais dois que é bastante simples eu acho outra forma é que podemos faturar esse dois aqui depois seriam cancelados mas vou mostrar também como fazer isso usando divisão algébrica longa que é um pouco exagerado para esse problema mas só quero mostrar que não ensina nada de novo é um modo diferente de fazer as coisas mas é útil para problemas mais complicados podemos também escrever isso como 2 cabe em 2x mais quatro quantas vezes e fazemos isso da mesma forma que fazemos na divisão longa tradicional diremos dois sempre iniciamos com o termo de mais alto grau 2 vai caber no termo de mais alto grau ignoramos 142 cabo em 2x quantas vezes é bom cabe em 2x x vezes e colocamos o x no lugar do xx vezes 2 é 2 x exatamente como na divisão longa tradicional agora subtraímos 2x mais 4 - 2 x da quanto é 4 certo 2 cabem quatro quantas vezes cabe duas vezes duas vezes vamos colocar no local de constantes dos termos independentes de x 2 vezes 2 e 4 subtraímos restando 10 isso parece bastante simples para um problema que provavelmente a gente já sabe fazer e fazemos em poucas etapas vamos ver que esse é um processo generalizado a gente pode fazer isso para um polinia de qualquer grau dividindo por outro polinômios de conca grau vou mostrar sobre o que eu tô falando digamos que queremos dividir o polônio x + 1 x ao quadrado mais 3 x 1 mas seis por x + 1 x mais o que fazemos aqui ver o termo degrau mais alto aqui que é um x vamos ver o termo de mais alto grau aqui que é um x ao quadrado podemos ignorar todo o resto isso realmente simplifica o processo dizemos que x caen x ao quadrado quantas vezes bom x ao quadrado / x é apenas x certo x caen x ao quadrado x vezes colocamos no lugar do x esse é o lugar do xis aqui o lugar de x e levado à 1ª x vezes x + 1 enquanto o xv e xx é x ao quadrado x vezes um é x então é x ao quadrado mais x como fizemos aqui agora vamos subtrair e temos o que x ao quadrado mas 3x mais 6 - x ao quadrado vamos ter cuidado isso é menos x ao quadrado mais x quero ter certeza de que o sinal negativo apenas se aplica tudo isso x ao quadrado - fiz ao quadrado um câncer no outro 3 x isso vai ser um sinal de menos x vamos pôr esse sinal aqui isso é menos x ao quadrado - x para ser bem claro estamos subtraindo tudo 3 x - x é 2x depois descemos 16 ou 6 - era 6 portanto 2x mais seis agora veja o termo de maior grau 1 x 1 e 12 x quantas vezes x cabo em 2x cabe duas vezes 2 vezes x é 2 x 2 vezes um é 22 vezes um é igual a 2 então a gente tem 2 vezes x mais 12 x + 2 mas queremos subtrair isso disso aqui em cima então vamos subtrair em vez de escrever 2x mais dois a gente pode apenas escrever nos 2 x - dois depois somá los e se cancelam 6 -2 é 4 quantas vezes x cabem quatro podemos apenas dizer que a 0 vezes podemos dizer que quatro é o resto podemos dizer portanto que a divisão não foi exata se a gente quiser reescrever x ao quadrado mais 3 x mais seis sobre x mais um observe-se é o mesmo que fiz ao quadrado mais 3 x mais 6 / x mais um e isso dividido por isso podemos dizer que é igual à x + 2 x mas dois é igual à x mais o resto / x + 1 + 4 sobre x mais um isso aqui e isso aqui são equivalentes se quiser conferir se quiser chegar disso aquilo porque pode fazer é multiplicar isto por x + 1 sobre x + 1 e depois acrescentar 2 esse é o mesmo que a china mais dois ou apenas multiplicar isso vezes x + 1 sobre x mais um apenas multiplicamos isso por um depois acrescentamos 4 sobre x mais um fazendo isso temos o mesmo denominador comum quando fazemos esta adição aqui quando multiplicamos esses dois binômios acrescentamos 14 aqui em cima teremos x ao quadrado mais 3 x mais seis vamos fazer mais um e isso é bem legal digamos que a gente tem queremos simplificar x ao quadrado mas 5x mais quatro sobre x + 4 mais uma vez podemos fazer nossa divisão algébrica longa a gente pode dividir x + 4 desculpa x + 4 x ao quadrado mais 5 x mas quatro e mais uma vez exatamente o mesmo processo veja esses termos de grau mais alto nos 2 x cabense x ao quadrado quantas vezes cabe x vezes coloque isso no lugar de x esse é o lugar de xxx é x ao quadrado x vezes 4 é 4x e claro vamos me trair e se de si vamos colocar um sinal negativo aqui agora está cancelado 5x menos 4 x 4 - 0 é 4 x mais quatro e aí podemos ver isso acontecer digamos que x + 4 cabine x + 4 obviamente cabe apenas uma vez ou se não estivermos olhando para os termos constantes diremos exatamente a kibon x cabense x quantas vezes uma vez mais 11 vez xx 11 vezes 4 é 4 vamos subtrair os daqui depois se cancelam e não teremos resto isso aqui é simplificado a isso é igual à x + 1 a outras formas de fazer isso podíamos tentar faturar esse numerador x ao quadrado mas 5x mais quatro sobre x + 4 isso é igual a quando poderíamos ter faturado o numerador como x mais quatro vezes x + 14 vezes não é 44 mais 15 tudo sobre x + 4 este cancela e ficamos com um x mais um que qualquer forma teria funcionado mas essa divisão genérica longa sempre funciona mesmo se a gente não poder cancelar os fatores assim mesmo se ficar o resto nesta situação não tivemos portanto isso é igual à x mais um vamos fazer mais um desses só pra ter certeza de que realmente porque isso é uma habilidade muito muito útil para ter como ferramenta vamos supor que temos x ao quadrado deixou alterar aqui vamos supor que temos 2 x ao quadrado poderia inventar esses números na hora 2x ao quadrado menos 20 x mais 12 / na verdade vamos tornar isso mais interessante só para mostrar que sempre funciona eu quero ir além da quadrilha vamos supor que temos 3 x ao cubo menos 2 x ao quadrado mais 7 x - 4 e queremos dividir isso por x ao quadrado mas um acabei de inventar essa mas podemos fazer apenas a divisão algébrica longa para calcular quanto vai ser quanto vai ficar com a simplificação x ao quadrado mais 1 / isso aqui 3x ao cubo menos 2 x ao quadrado mais 7 x - quatro de novo veja o termo degrau mais alto x ao quadrado cada em 3x ao cubo quantas vezes vai caber 3x vezes multiplicamos 3x vezes isso e temos 3 x ao cubo vai caber 3x vezes temos que escrever 3x aqui nos termos x assim vai caber 3x vezes dessa forma vamos multiplicar 3x vezes x ao quadrado é 3x ao cubo certo 3x vezes ao quadrado mais 3 x vezes um agente tem 13 x aqui estou me segurando de que vai ficar no lugar de x queremos subtraídos temos o que o que temos quando fazemos isso esse cancelo temos 1 - 2 x ao quadrado 7 x - por que subtraiu 0 daqui 7 x - 3 x é mais 4 x e temos 1 - 4 mais uma vez vamos ver o termo degrau mais alto x ao quadrado e 1 - 2 x ao quadrado x ao quadrado cabe menos 2 x ao quadrado - duas vezes - 2 colocamos no lugar da constante menos 2 vezes ao quadrado é igual a menos 2 x ao quadrado menos 2 vezes um é menos dois agora queremos subtrair esses dali depois vamos multiplicar os pelo menos um eles se tornam positivos cancelamos esse saque 4 x menos 10 é vamos mudar as cores 4x menos 10 em 4x menos quatro mais 2 ou menos quatro mais dois é igual a menos 2 x ao quadrado agora têm um grau mais alto que 4 x é o grau mais alto aqui portanto vemos isso como o resto podemos escrever esta expressão como sendo igual a 3 x 1 - 2 esse é o 3 x 1 - 2 mas o nosso resto 4 x 1 - 2 tudo isso sobre x ao quadrado mais um espero que tenha achado isso tão divertido quanto eu achei fui