Professor, gostaria de saber qual é a diferença entre o teorema do resto e o teorema d'Alembert

Name: Teorema do resto: cálculo do resto da equação
Uploaded: 2014-11-25T21:00:46Z
Description: Neste vídeo, encontramos o resto de (-3x^3-4x^2+10x-7) dividido por (x-2) usando o TRP (Teorema do Resto Polinomial).

Teorema d'Alembert Se x=a é raiz de P(x) então P(x) é divisível por (x-a) Demonstração: Por hipótese, P(a)=0, pois x=a é raiz de P(x). Escrevendo: P(x)=Q(x).(x-a)+R, onde Q(x) é o quociente e R é o resto da divisão de P(x) por (x-a), temos: P(a)=Q(a).0+R=R. Como P(a)=0, temos R=0, como queríamos provar. Teorema do resto: Sejam P(x) e (x-a ). Então para a divisao polinomial P(x) / (x-a) tem-se que seu resto R(x)=P(a), isto é, seu resto é o mesmo que o polinomio P(x) quando x=a . Sal demonstra o teorema aqui: https://pt.khanacademy.org/math/algebra-home/alg-polynomials/alg-polynomial-remainder-theorem/v/polynomial-remainder-theorem-proof Logo, como você pôde ver o primeiro te permite saber que qualquer polinimio P(x) é divisivel por x-a se a é raiz de P(x). O que é feito da mesma maneira que para funções, ou seja, P(a) = 0 te mostra que a é raiz da mesma forma que f(a)= 0 te mostra que a é raiz de f(x). Por outro lado, O teorema do resto te permite obter o resto sem efetuar a divisão se a divisão é feita por x-a. Porque o resto será simplesmente P(a), dado exatamente por substituir a no lugar de x em P(x). Entretanto, perceba que há intima relação entre os dois. Se você aplicar o teorema do resto e o resultado for 0, então a é raiz de P(x) e, portanto, (x-a) é fator de P(x). Da mesma forma, se você sabe que a é raiz de p(x) você também sabe o resto, pois ele será igual a 0!! Espero ter ajudado. Bons estudos!

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Curso: Álgebra intermediária (parte 2) > Unidade 4

Lição 4: Teorema do Resto Polinomial

Teorema do resto: cálculo do resto da equação

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Marcos Meirelles
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Resposta
- Lucas De Oliveira
  Publicado há há 7 anos. Link direto para a postagem “Teorema d'Alembert Se x=...” de Lucas De Oliveira
  Teorema d'Alembert
  
  Se x=a é raiz de P(x) então P(x) é divisível por (x-a)
  
  Demonstração:
  
  Por hipótese, P(a)=0, pois x=a é raiz de P(x).
  
  Escrevendo:
  
  P(x)=Q(x).(x-a)+R,
  
  onde Q(x) é o quociente e R é o resto da divisão de P(x) por (x-a), temos:
  
  P(a)=Q(a).0+R=R.
  
  Como P(a)=0, temos R=0, como queríamos provar.
  
  Teorema do resto:
  
  Sejam P(x) e (x-a ). Então para a divisao polinomial P(x) / (x-a) tem-se que seu resto R(x)=P(a), isto é, seu resto é o mesmo que o polinomio P(x) quando x=a .
  
  Sal demonstra o teorema aqui:
  https://pt.khanacademy.org/math/algebra-home/alg-polynomials/alg-polynomial-remainder-theorem/v/polynomial-remainder-theorem-proof
  
  Logo, como você pôde ver o primeiro te permite saber que qualquer polinimio P(x) é divisivel por x-a se a é raiz de P(x). O que é feito da mesma maneira que para funções, ou seja, P(a) = 0 te mostra que a é raiz da mesma forma que f(a)= 0 te mostra que a é raiz de f(x). Por outro lado, O teorema do resto te permite obter o resto sem efetuar a divisão se a divisão é feita por x-a. Porque o resto será simplesmente P(a), dado exatamente por substituir a no lugar de x em P(x). Entretanto, perceba que há intima relação entre os dois. Se você aplicar o teorema do resto e o resultado for 0, então a é raiz de P(x) e, portanto, (x-a) é fator de P(x). Da mesma forma, se você sabe que a é raiz de p(x) você também sabe o resto, pois ele será igual a 0!!
  
  Espero ter ajudado. Bons estudos!
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Transcrição de vídeo

RKA – Então, aqui, eu tenho esse polinômio "-3x³ - 4x² + 10x - 7”, e eu quero saber o resto da divisão desse polinômio aqui por "x - 2". Se você não viu os vídeos anteriores (eu já falei sobre o teorema do resto polinomial), então, eu sugiro que você assista a esse vídeo, mas eu vou dar aqui uma ligeira dica para você, tá? Nesse vídeo, eu falei o seguinte: o que que diz o teorema do resto polinomial? Ora, ele me fala que, se eu pegar aqui um polinômio "p(x)", nesse caso... se eu pegar esse polinômio aqui e eu dividir por esse “x - 2”, mas só colocando de forma generalizada aqui, eu vou colocar "x - a". Então, se eu dividir um polinômio "p(x)" por "x - a", então, o resto dessa divisão vai ser igual a "p(a)". Ou seja, basta que eu plugue aquele valor "a" no polinômio, calcule o valor numérico para quando "x" for igual "a", e pronto, eu vou ter o resto; eu nem preciso efetuar a divisão. Eu posso, muito bem, pegar esse polinômio aqui dividir por “x - 2” (mas vai dar uma conta grande, eu vou perder tempo). Então, eu posso muito bem fazer esse caminho mais curto. E aí, então, como você pode verificar aqui, esse nosso "a", no caso do exercício, ele é igual a 2. Você está falando assim: ah, mas aqui está -2. Só que aqui é "x - a". Então, aqui é "x - 2". Logo, nosso "a" aqui, ele é igual a 2, beleza? Vamos lá, então. Vamos calcular o valor desse resto através da "p(2)" (nesse nosso caso aqui). Então, vou fazer tudo com essa cor aqui e vamos lá! Substituindo o "x" por 2, eu vou ter o seguinte: eu vou ter -3 vezes 8 (já que 2³ é igual a 8) menos 4 vezes 2² (que é 4), mais 10 vezes 2 menos 7. E isso aqui vai ser igual, então, a -24 (né? -3 vezes 8, -24)... menos 16 mais 20 menos 7. Vamos lá! Vamos ver quanto que dá isso aqui então. "-24 - 16" dá -40 (-40 aqui). E, aí, "-40 + 20" vai dar -20. E "-20 - 7" dá igual a -27, que é um resultado incrível. Eu não precisei efetuar aquela divisão para saber o resto da divisão desse polinômio por “x - 2”. Eu já sei que o resto vai dar -27. Então, você percebe, eu poderia, sim, fazer a divisão, mas daria muito mais trabalho, né? Eu poderia pegar aqui a minha "p(x)" dividir por aquele "x - a" ali, né? Então, eu poderia fazer essa divisão aqui. Eu teria um determinado quociente (né?), o resultado da minha divisão... aqui é o quociente, eu vou botar aqui uma "q(x)"... e, aí, quando eu fizesse essa divisão aqui, eu ia ter que subtrai... (bá bá bá, bá bá bá)... um monte de coisa, e achar um monte de resultados aqui até eu encontrar o resto. E esse resto aqui, obviamente, tem que ter um grau inferior a esse polinômio "x - a" que é de grau 1. Obviamente, vai ser uma constante porque o grau ligeiramente inferior ao “x¹” é o "x⁰", que é 1. Então, eu teria aqui uma constante, necessariamente, no final da conta. E, aí, como você sabe, se a gente fizer essa divisão toda aqui, todo esse trabalho, a gente chegaria num resto de -27. Porém, fazer dessa maneira aqui é muito, muito, muito mais fácil do que fazer esse monte de divisão. Até o próximo vídeo.