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Transcrição de vídeo

RKA - Em um vídeo anterior, quando trabalhamos com juros compostos, nós chegamos à expressão que é a seguinte: 1 mais 1/n (deixa eu pegar aqui, botar o "n" numa outra cor) elevado à enésima potência. Então, 1 mais 1/n elevado à enésima potência. E essa expressão aqui, ela foi deduzida de que maneira? Bom, esse 1 aqui seria os juros de 100%, beleza? E esse "n" aqui, ele seria, então, o período (quantas vezes esses juros aqui de 100% seriam divididos). Se eu for pegar, digamos, 1 real para pagar em um ano, então, esses juros de 100% iriam incidir apenas uma única vez; e, aí, aqui que seria 1, né? E, aí, seria 1 mais 1 elevado a 1. Então, nós pagaríamos o dobro. Se eu dividir esse empréstimo em duas vezes, esses juros aqui de 100% iriam ser divididos em duas vezes, então esse "n" seria igual a 2. Aí, eu teria aqui: 1 sobre 2 elevado ao quadrado. Logo, isso daqui daria 2,25; daria mais do que o dobro, beleza? E, se você continuasse aumentando, aumentando, aumentando cada vez mais esse "n", coisas interessantes acontecem. Então, o que eu quero ver aqui, com a minha calculadora, é o que aconteceria se nós prosseguíssemos com esses cálculos. Lá, no outro vídeo, a gente usou o maior valor para o "n" aqui; no caso, 365 se fosse dividido durante um ano inteiro. Então, vamos ver se com números aqui muito maiores, se aquele número realmente converge para um determinado número mágico que nós deduzimos na aula passada. Então, aqui é o seguinte: vamos fazer aqui esse "n" valendo 1 milhão. Então, aqui seria 1 mais 1 dividido por 1 milhão (1 milhão tem seis zeros... então, um, dois, três... um, dois, três; certo? 1 milhão), elevado aqui a esse "n", ou seja, 1 milhão de novo (então, um, dois, três... um, dois, três). Só que, agora, antes de apertar o “enter” aqui, vamos pensar no seguinte: o que que significa 1 sobre 1 milhão elevado aqui a 1 milhão? Bom, aqui é o seguinte: 1 sobre 1 milhão é um número muito, muito, muito pequeno, tá? Então, 1 mais esse número muito pequeno vai ser um número cada vez mais próximo de 1. E, aí, quando você eleva 1 a 1 milhão, isso daria igual a 1. Como eu sei que é um número ligeiramente maior que 1, vai dar um número aí... eu não sei muito bem como é que se comportaria. Vamos ver como vai ser isso daqui... “enter”. Então, deu 2,7182 e assim por diante, beleza? Então, deu esse número aqui. Mas, agora, eu quero ir além. Vamos fazer aqui, em vez de 1 milhão, vamos fazer 10 milhões. Então, seria 1 mais 1 dividido por 10 elevado a 7, só que eu vou colocar isso aqui na forma de notação científica. Então, 1 vez, aqui, 10.. nesse caso esse "e" significa "10 elevado a...", né? a esse 7 (à 7ª potência), beleza? Então, aqui, 1 vez 10 elevado à 7ª potência, que vai estar elevada aqui ainda à mesma coisa. 1 vezes "e" elevado a 7 aqui. Então, 1 vezes 10 elevado à 7ª potência, ou seja, 10 milhões. Aqui era 1 milhão; agora, 10 milhões. Vamos ver quanto isso daqui vai dar. Deu 2,718281... blá blá blá e assim por diante. Perceba que não aumentou muita coisa; então, está convergindo para esse número aqui. Nós vamos ainda além disso daqui, tá? Vamos aqui repetir. Ali, no lugar do 7, vamos colocar o 8, ou seja, 100 milhões, beleza? Então, aqui, vou botar 8, que vai dar aqui 100 milhões. Então, 1 sobre 100 milhões aqui, tudo elevado a 100 milhões. Então, 1 mais isso daqui elevado a 100 milhões, quanto que vai dar isso daqui? Vai dar 2,71828181487 etc. E, aí, você percebe que a gente está se aproximando cada vez mais desse número "e" aqui; "e" elevado a 1 vai me dar exatamente o valor do "e". Vamos ver isso daqui então. O "e" é a mesma coisa que 2,71828182846 etc. E, aí, você percebe que nós temos aqui... uma, duas, três, quatro, cinco, seis, sete.... 7 casas decimais já de precisão quando a gente eleva aqui a 100 milhões (quando a gente faz o "n" igual a 100 milhões aqui). Daí, o que nós vemos é que isso daqui (esse número aqui), o que acontece com ele? Quando a gente calcular aqui o limite quando o "n" tender ao infinito ("n" tendendo aqui ao infinito), isso daqui vai dar igual àquele número "e", beleza? Então, vai dar igual àquele número "e", que é aproximadamente (tá?)... esse número "e" é um número místico, como o π ( pi), por exemplo. Você lembra do π? π é a razão entre a circunferência de um círculo sobre o seu diâmetro. Ele vai dar uma constante matemática. Então, esse "e" também carrega a mesma carga mística do "i", digamos assim, né? E o "e" é a mesma coisa que 2,7182818 etc. É um número irracional também. E ele é irracional assim como o π também é irracional. Você lembra do π, né? Essas casas decimais aqui, elas nunca se repetem, não formam uma dízima periódica; são números irracionais. E, assim como o π é incrível, o "e" também é incrível por surgir aqui desse limite quando esse "n" tende ao infinito. E ele aparece aqui, no caso, nos juros compostos; dessa forma aqui como nós acabamos de explicar, beleza? Então, quando esse "n" aqui tender ao infinito, isso vai chegar cada vez mais próximo desse número "e". E, aí, o número "e" junto com o π, junto com a unidade imaginária, com o zero e com o 1, ele se relacionam numa equação belíssima da matemática, que a gente vai ver aí em outros vídeos da Khan Academy, beleza? Mas eles se relacionam numa equação, que é uma das equações mais belas da matemática. Mas você se lembra aqui do nosso número "e" (tá?), que se eu pegasse lá 1 real emprestado e cobrasse 100% de juros por ano, se eu pagasse em uma única vez aqui seria "n = 1”, certo? Se eu pagasse em 2 vezes aqui, o "n" seria igual a 2. E, aí, a cada vez que eu for aumentando esse valor do "n" aqui, então a gente está se aproximando cada vez mais desse primeiro "e". E, aí, o que acontece? Quando você capitaliza uma única vez, eu pago o dobro; vai dar exatamente igual a 2. Se eu capitalizar 2 vezes (em 2 períodos), daria 2,25 e assim por diante, cada vez se aproximando mais desse número aqui. E, no caso de o "n" tender ao infinito, isso significa que a gente está capitalizando, está cobrando juros compostos a cada... sei lá... bilionésimos, zilionésimos, digamos assim, de um segundo. Esse "n" ele está indo ao infinito. É ou não é? E, aí, quando você faz essas capitalizações, esses juros compostos, a cada micronésimo de segundo, você está cada vez se aproximando mais do número "e", tranquilo? Até o próximo vídeo.