Aprenda o que são logaritmos e como calculá-los. 

Que conceitos você deve conhecer antes de iniciar essa lição

Você deve estar familiarizado com expoentes e, preferencialmente, com expoentes negativos.

O que você vai aprender nessa lição

Você aprenderá o que são logaritmos e saberá como calcular alguns logaritmos básicos. Isso vai prepará-lo para seu trabalho futuro com expressões e funções logarítmicas.

O que é um logaritmo?

Logaritmos são uma outra forma de pensar em expoentes.
Por exemplo, sabemos que 2\blueD2 elevado a 4a\greenE4^\text{a} potência é igual a 16\goldD{16}. Isso é expressado pela equação exponencial 24=16\blueD2^\greenE4=\goldD{16}.
Agora, suponha que alguém nos tenha perguntado, "2\blueD2 elevado a qual potência é igual a 16\goldD{16}"? A resposta seria 4\greenE4. Isso é expresso pela equação logarítmica log2(16)=4\log_\blueD2(\goldD{16})=\greenE4, lida como "log de dezesseis na base dois é igual a quatro".
24=16log2(16)=4\Large \blueD2^\greenE4=\goldD{16}\quad\iff\quad\log_\blueD2(\goldD{16})=\greenE4
Ambas as equações descrevem a mesma relação entre os números 2\blueD2, 4\greenE4 e 16\goldD{16}, em que 2\blueD2 é a base e 4\greenE4 é o expoente.
A diferença é que, enquanto a forma exponencial isola a potência, 16\goldD{16}, a forma logarítmica isola o expoente, 4\greenD 4.
Temos aqui mais exemplos de equações logarítmicas e exponenciais equivalente.
Forma logarítmicaForma exponencial
log2(8)=3\log_\blueD2(\goldD{8})=\greenD3\iff23=8\blueD2^\greenD3=\goldD8
log3(81)=4\log_\blueD3(\goldD{81})=\greenD4\iff34=81\blueD3^\greenD4=\goldD{81}
log5(25)=2\log_\blueD5(\goldD{25})=\greenD2\iff52=25\blueD5^\greenD2=\goldD{25}

Definição de logaritmo

Generalizar os exemplos acima leva à definição formal de um logaritmo.
logb(a)=cbc=a\Large\log_\blueD b(\goldD a)=\greenD c\quad \iff\quad \blueD b^\greenD c=\goldD a
As duas equações descrevem a mesma relação entre a\goldD a, b\blueD b e c\greenE c:
  • b\blueD b é a base\blueD{\text{base}},
  • c\greenE c é o expoente\greenE{\text{expoente}}, e
  • a\goldD a é chamado de argumento\goldD{\text{argumento}}.

Uma observação útil

Quando reescrevemos uma equação exponencial em forma de log, ou uma equação logarítmica na forma exponencial, é importante lembrar que a base do logaritmo é igual à base do expoente.

Teste seu conhecimento

Nos problemas a seguir, você vai fazer a conversão entre as formas exponencial e logarítmica das equações.

Cálculo de logaritmos

Ótimo! Agora que compreendemos a relação entre expoentes e logaritmos, vamos ver se conseguimos calcular os logaritmos.
Por exemplo, vamos calcular log4(64)\log_4(64).
Vamos começar igualando essa expressão a xx.
log4(64)=x\log_4(64)=x
Escrevendo isso como uma equação exponencial, temos o seguinte:
4x=644^x=64
44 elevado a qual potência é 6464? Bem, 43=64\blueD4^\greenD 3=\goldD{64}, então log4(64)=3\log_\blueD4(\goldD{64})=\greenD3.
Conforme você vai adquirindo mais prática, você pode se ver resumindo algumas dessas etapas e calculando log4(64)\log_4(64) apenas se perguntando: "44 elevado a qual potência é igual 6464?"

Teste seu conhecimento

Lembre-se, quando você calcula logb(a)\log_\blueD{b}(\goldD{a}), você pode se perguntar: "b\blueD b elevado a que potência é a\goldD a?"

Desafio

Restrições em variáveis

logb(a)\log_b(a) é definido quando a base bb é positiva—e diferente de 11—e o argumento aa é positivo. Essas restrições são um resultado da conexão entre logaritmos e expoentes.
RestriçãoRaciocínio
b>0b>0Em uma função exponencial, a base bb é sempre definida como positiva.
a>0a>0logb(a)=c\log_b(a)=c significa que bc=ab^c=a. Como um número positivo elevado a qualquer potência é positivo, ou seja bc>0b^c>0, então a>0a>0.
b1b\neq1Suponha por um momento que bb pudesse ser 11. Agora, considere a equação log1(3)=x\log_1(3)=x. A forma exponencial equivalente seria 1x=31^x=3. Mas isso não pode ser verdadeiro nunca, pois 11 elevado a qualquer potência é sempre 11. Portanto, b1b\neq1.

Logaritmos especiais

Embora a base de um logaritmo possa ter vários valores diferentes, há duas bases que são usadas com mais frequência do que outras.
De maneira específica, a maioria das calculadoras só tem botões para esses dois tipos de logaritmos. Vamos ver quais são.

O logaritmo comum

O logaritmo comum é um logaritmo cuja base é 1010 ("logaritmo de base 1010").
Ao escrever esses logaritmos matematicamente, nós omitimos a base. Entende-se que ela é igual a 1010.
log10(x)=log(x)\log_{10}{(x)}=\log(x)

O logaritmo natural

O logaritmo natural é um algoritmo cuja base é o número ee ("logaritmo de base ee").
Em vez de escrever a base como ee, indicamos o logaritmo com ln\ln.
loge(x)=ln(x)\log_e(x)=\ln(x)
Esta tabela resume o que precisamos saber sobre esses dois logaritmos especiais:
NomeBaseNotação regularNotação especial
Logaritmo comum1010log10(x)\log_{10}(x)log(x)\log(x)
Logaritmo naturaleeloge(x)\log_e(x)ln(x)\ln(x)
Embora a notação seja diferente, a ideia por trás do cálculo do logaritmo é exatamente a mesma!

Por que estamos estudando logaritmos?

Como você acabou de aprender, os logaritmos invertem os expoentes. Por isso, eles são muito úteis na resolução de equações exponenciais.
Por exemplo, o resultado de 2x=52^x=5 pode ser dado na forma de logaritmo, x=log2(5)x=\log_2(5). Você aprenderá a calcular essa expressão logarítmica nas próximas lições.
As expressões e funções logarítmicas também acabam sendo muito interessantes por sua vez e, na realidade, são muito comuns no mundo à nossa volta. Por exemplo, diversos fenômenos físicos são medidos com escalas logarítmicas.

E agora?

Saiba mais sobre as propriedades dos logaritmos que nos ajudam a reescrever expressões logarítmicas e sobre a regra da mudança de base, que nos permite calcular qualquer logaritmo que quisermos usando a calculadora.
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