Relação entre funções exponenciais e logaritmos: gráficos

RKA4JL - Então eu tenho aqui uma questão para nós resolvermos, que é a seguinte. Nós temos aqui um gráfico já plotado (já está desenhado, traçado), só que a função que nós temos aqui é uma função exponencial y igual a bˣ. Está aqui em cima. E a questão pede para que a gente agora desenhe, marque nesse gráfico, os três pontos da função y igual a logaritmo na base bˣ, ou seja, a gente vai ter que traçar os pontos, ou traçar o gráfico, de uma função logarítmica, sendo que a gente tem uma função exponencial. Então, para começar isso, eu vou fazer uma pequena tabela aqui ao lado. Eu vou pegar aqui um valor de x, vou colocar aqui, fazer uma relação com os valores de y, sendo que y é igual a bˣ. Então vou pegar aqui o nosso primeiro valor de x, que vai ser quando x é zero. Então se x é zero, quanto é b⁰? Bem, qualquer número desde que ele seja diferente de zero, elevado a zero vai ser igual a 1. Então isso aqui vai ser igual a 1, e é o valor que a gente tem aqui. Nosso y é 1, nosso x é zero. Então, por enquanto, está de acordo. Agora quando o nosso x for 1, nós vamos ter bˣ, ou seja, b¹, que é o nosso próprio b. Então o nosso b equivale a 4, só que não é isso o que a questão pede, mas aqui nós temos já desenhado no gráfico que no ponto... (deixe-me marcar aqui, vou colocar em outra cor. Essa cor é boa). Nós temos nesse ponto aqui que quando o nosso x é 1, nosso y equivale a 4. Então aqui eu já posso anotar que y equivale a 4. Então só vou apagar aqui para não confundir depois na hora de continuar a questão, mas já deu para entender. Agora vamos pegar o ponto quando x vai ser 2. Quando nosso x for 2, nosso y vai ser b². A gente já sabe que nosso b é 4, mas se não soubesse, a gente teria criado um gráfico. 4² é 16, e de qualquer forma o nosso y aqui também é 16. Aqui está 16 na mesma altura do ponto em que a gente está procurando. Ou seja, aqui vai ser 16. Ok, isso aqui a gente já sabia, essa tabela aqui a gente só reescreveu os dados que já tinha aqui, esses três pontos que a gente já tinha plotado nesse gráfico e agora a gente precisa continuar a questão. A gente tem que traçar os três pontos para a função y igual a logaritmo na base bˣ. O intuito dessa questão, o motivo pelo qual essa questão foi criada, digamos, é para mostrar para vocês que o logaritmo, a função logarítmica, é a função inversa de uma função exponencial, e vice-versa. Uma função exponencial também vai ser inversa de uma função logarítmica. Então se eu for fazer aqui outra tabela... Então vou fazer aqui tabela de x e vou fazer a tabela de y igual ao logaritmo na base bˣ. Então se a gente for fazer essa tabela aqui, eu quero que vocês percebam que por as duas serem funções inversas, o que estava no valor de x aqui vai parar aqui no valor de y e o que estava no valor de y vai parar no valor de x. Se você não entendeu porque eu posso fazer isso, é só lembrar que uma função inversa pega uma função que vai, por exemplo, de x até y, que é o nosso caminho convencional, e ela faz o caminho inverso de y até x. Por isso que a gente faz essa inversão de colunas aqui na nossa tabela. Vou apagar isso aqui para continuar. Então, agora, quando o nosso x for 1, vou colocar x igual a 1, nós vamos ter logaritmo na base bˣ e para um logaritmo em qualquer base dar zero, ele só pode ter sido elevado a zero, que é justamente o primeiro valor tem gente aqui: zero. Agora quando o meu x for 4, meu logaritmo na base b⁴ vai ter que ser 1, porque a gente já sabe que b é 4, então para chegar no valor 4 nós temos que elevar 4 a 1, porque é 4¹ é 4, então aqui fica 1, justamente o valor que nós temos aqui. A mesma coisa acontece para x igual a 16. Aqui vai ser 2 porque é o valor que nós já temos aqui. Agora, uma dica na hora de traçar esse gráfico, mas se não soubesse os pontos, mais ou menos a gente conseguisse se orientar, seria fazer uma reta aqui... Vou fazer uma reta daqui até aqui, é uma reta que corta o quadrante no meio, ela corta esse quadrado aqui, que a gente chama de primeiro quadrante, no meio, e a partir disso a função inversa vai ser simétrica a essa reta aqui. Então os pontos que a gente vai ter que traçar vão ser os pontos x = 1, y = zero, esse ponto aqui, x = 4, y = 1, esse ponto aqui, e também x = 16, bem longe, e y = 2. Aqui. Se a gente for calcular a distância (deixe-me fazer de outra cor) entre esses pontos aqui, a gente vai descobrir que a distância entre eles até essa reta que cortou todo o quadrante ao meio, essa distância aqui vai ser igual, o que é óbvio porque eles têm que ser simétricos em relação a essa reta. Então essa distância aqui (vamos chamar de d1, por exemplo) tem que ser igual a essa distância d2 aqui. E essa é nossa questão, sem complicação. Até a próxima, pessoal!