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Transcrição de vídeo

RKA - Acho que vocês já estão familiarizados com as escalas lineares. Normalmente, você vê as escalas nas aulas de matemática. Agora, para ter certeza de que está entendendo o que eu estou falando, eu vou desenhar uma escala numérica linear. Vamos começar com zero. E eu vou... olha! Se eu me mover, se eu avançar nessa distância para a direita, equivale a somar 10. Se eu começar em zero e somar 10, obviamente chegarei a 10. Se avançar de novo para a direita, somo 10 mais uma vez, o que nos levaria a 20. Obviamente, a gente poderia continuar fazendo isso e chegar em 30, 40, 50, enfim... Olhando também para o que fizemos aqui, se a gente for na outra direção, se começar aqui e mover essa mesma distância para a esquerda, estaremos claramente subtraindo 10. "10 - 10" é igual a zero. E, se nos mover essa distância para a esquerda de novo, devemos chegar a -10. Se fizer isso mais uma vez, chegaremos a -20. Portanto, a ideia geral é que independentemente de quantas vezes avançamos essa distância, basicamente estamos somando, ou independentemente de quantas vezes avançamos essa distância para a direita, estamos basicamente somando esse múltiplo de 10. Se fizer duas vezes, estaremos somando 2 vezes 10, e isso não funciona apenas para números inteiros; funciona também para frações. Onde estaria o 5? Para chegar ao 5 só tem que multiplicar 10. Ou, acho que uma maneira de pensar sobre isso, é que 5 é a metade de 10. Se quiser mover apenas a metade de 10, teremos que mover metade dessa distância. Se mover metade dessa distância, vai nos levar a 1/2 vezes 10; nesse caso, seria 5. Se mover para a esquerda, nos levaria para -5. E não há nada... (vou desenhar um pouco mais centrado, -5)... não há realmente nada de novo aqui, estamos apenas pensando sobre isso de uma forma um pouco diferente, que será útil quando começar a pensar nos logaritmos. Mas essa é apenas uma escala linear numérica que já conhecem. Se quisesse colocar aqui 1, a gente avançaria 1/10 da distância, porque 1 é 1/10 de 10. Então, seria 1, 2, 3, 4... e para ser sincero colocar qualquer número aqui. Essa é uma situação onde somamos 10 ou subtraímos 10, mas é completamente legítimo ter um modo alternativo de pensar no que fazemos quando avançamos essa distância. Digamos que tenho outra escala numérica. Acho que já perceberam que esta vai ser uma escala numérica de logaritmos... (vamos arranjar algum espaço)... e vamos começar essa escala numérica de logaritmos no 1. Depois do vídeo, quero que pensem em por que não comecei do zero. E, se começar no 1, ainda vou definir que andaremos essa mesma distância por vez, mas, em vez de dizer que estou somando 10 quando avanço essa distância, quando me movo para a direita, vou dizer que, quando me movo para a direita essa distância na nova escala numérica que criei, ela será multiplicada por 10. Quando avanço essa distância, começo em 1 e multiplico por 10; isso me leva até o 10. E, se multiplicar por 10 de novo, se avançar essa distância novamente, estou multiplicando por 10 mais uma vez e chegaria, agora, no 100. Acho que já percebeu a diferença entre as duas escalas. E o que aconteceria se eu avançasse essa distância para a esquerda? Já dá para ver o que vai acontecer, porque se começar aqui, em 100, e avançar para a esquerda essa distância, o que vai acontecer? Bom, dividimos por 10. 100 dividido por 10 me leva para 10. 10 dividido por 10 me leva a 1. Se eu avançar essa distância para a esquerda de novo, vou dividir mais uma vez por 10 e chegar em 1/10. E, se avançar essa distância para a esquerda mais uma vez, vou chegar em 1/100. A ideia geral é que, independentemente de quantas vezes avance essa distância para a direita, eu esteja multiplicando o número inicial por 10. Por exemplo, quando avançamos essa distância duas vezes (toda essa distância aqui, avancei duas vezes), é vezes 10 vezes 10. O que equivale a fazer vezes 10². Na verdade, estamos elevando 10 ao número pelo qual multiplicamos. Será equivalente a multiplicar por 10 elevado a um certo expoente de acordo com o número de vezes que estou avançando para a direita. Acontece o mesmo se eu avançar para a esquerda. Se eu percorrer essa distância duas vezes para a esquerda... (vou usar uma cor nova)... vai ser a mesma coisa que dividir por 10 duas vezes. Dividindo por 10, dividindo por 10, que é a mesma coisa que multiplicar por uma maneira de pensar sobre (1/10)², ou dividir por 10² (é uma outra forma de pensar sobre isso). E, assim, pode tornar tudo um pouco intuitivo, espero eu. E já pode ver porque é útil. Nessa escala numérica, podemos traçar um espectro muito mais amplo de coisas do que nessa escala numérica. A gente pode avançar todo o caminho até 100 e depois até obtermos um bom nível de detalhes (se descer para 1/10 e 1/100). Aqui não tem esse nível de detalhe em pequenas escalas e também não chegamos aos números muito altos. Se percorrer mais uma pequena distância, chegaremos a 1.000 e depois a 10.000, e assim por diante. Portanto, a gente pode cobrir um espectro muito mais amplo com essa escala aqui. Mas o que também é interessante é que, quando avançamos uma distância fixa, portanto, quando avançamos uma distância fixa nessa escala numérica linear, estamos somando ou subtraindo esse valor. Se avançar essa distância fixa, estaremos somando dois à direita. Se for para a esquerda, estaremos subtraindo dois. Quando fazemos o mesmo numa escala numérica de logaritmo, e vale para qualquer escala numérica de logaritmos, iremos multiplicar por um fator fixo. E uma maneira de pensar sobre o que é este valor fixo é essa ideia de expoentes. Assim, se quisesse saber onde estaria o 1 nessa escala numérica, bastaria pensar: bom, se eu me perguntar onde estaria o 100 nessa escala numérica... na verdade, esse pode ser um ponto melhor para começar. Se eu dissesse... se ainda não tivesse traçado e perguntasse onde está o 100 nessa escala numérica, diria: quantas vezes teria que multiplicar 10 por ele mesmo para chegar a 100? É o número de vezes que preciso avançar nessa distância. Basicamente, estou perguntando: 10 elevado a que potência é igual a 100? E obteria que o ponto de interrogação é igual a 2. Depois, avançaria esse número de espaços para traçar o 100. Outra forma de expressar essa mesma ideia é que o "log₁₀ 100" é igual ao ponto de interrogação. Esse ponto de interrogação é claramente igual a 2, e diz que preciso traçar o 100 duas distâncias para a direita. Para descobrir onde vou traçar o 2, faço exatamente a mesma coisa. Perguntaria: 10 elevado a que potência é igual a 2? Ou "log₁₀ 2" é igual a quê? Vamos pegar nossa calculadora e, na maioria das calculadoras, se houver um log sem a base especificada, eles pressupõem a base 10. Então, o "log 2" é igual a, aproximadamente, "0,3"... "0,301". Isso é igual a "0,301". Daí, a gente precisa mover essa fração da distância para chegar ao 2. Se movêssemos essa distância toda, é mais ou menos como se multiplicássemos por 10¹, mas considerando que queremos apenas chegar ao 10 elevado a "0,301", queremos percorrer apenas "0,301" dessa distância. E vai ser, aproximadamente, 1/3 disso. Na verdade, um pouco menos do que 1/3... "0,3", não "0,33". O 2 vai estar localizado... (vou mover um pouco mais para a direita)... logo aqui. Agora, o que acho interessante sobre isso é que essa distância, em geral, nessa escala numérica de logaritmo, significa multiplicar por 2. Se avançar essa mesma distância mais uma vez, chegaremos a 4. Se multiplicar essa distância de novo, vamos multiplicar por 4; e, se percorrer essa distância de novo, chegaremos a 8. Agora, pergunto: onde a gente traçaria o 5? Onde traçaria o 5 nessa escala numérica? Bom, tem várias formas de fazer. Dá para, literalmente, calcular quanto é o logaritmo de 5 na base 10, e descobrir onde ele está localizado na escala numérica. Ou, pode falar que, se começar em 10, se avançar essa distância para a esquerda, estarei dividindo por 2; assim, se avançar essa distância para a esquerda, vou dividir por 2. Sei que está ficando um pouco confuso aqui. Se começar no 10 e avançar essa mesma distância para a esquerda, vou dividir por 2; daí, seria 5. Agora, a próxima pergunta é: Bom, onde eu traço o 3? A gente poderia fazer exatamente a mesma coisa que fizemos com o 2. Nos perguntamos: a que potência eu devo elevar 10 para chegar a 3? Para isso, vamos usar novamente a calculadora. O "log₁₀ 3" é igual a "0,477"; é quase no meio do caminho. Ele estará quase na metade desta distância, e metade desta distância parece que será aqui. 3 estará logo aqui. A gente pode calcular um logaritmo. Vejamos, estão faltando o 6, 7 e 8. Já tem o 8, está faltando o 9. Para obter o 9, só tem que multiplicar novamente por 3. Então, é 3. E, se avançar essa mesma distância, multiplicamos por 3 de novo. 9 estará espremidinho logo aqui. Se quiser obter 6, tem apenas que multiplicar por 2; e já sabemos a distância para multiplicar por 2, é isso aqui. Quando multiplicamos por 2, fazemos essa mesma distância e chegaremos ao 6. E, se quisesse saber onde está o 7, teria que calcular de novo o logaritmo. Se calcular o logaritmo de 7, ele será... "0,8"; aproximadamente, "0,85". O 7 estará espremido mais ou menos aqui. Acho que já aprenderam algumas coisas bacanas aqui. Uma delas é que dá para colocar mais coisas nessa escala de logaritmos. E, como já fiz em outro vídeo, percebemos muitas coisas com as escalas de logaritmos. Essa é uma boa forma para até compreender um pouco a percepção humana. Mas outra coisa realmente interessante é que, quando avançamos uma distância fixa nessa escala de logaritmos, estamos multiplicando por uma constante fixa. A única coisa meio estranha que pode ter percebido é que não vemos os números alinhados da forma como normalmente encontramos. Existe um grande salto de 1 para 2, e depois um salto menor de 3 para 4. E, depois desse salto menor do 3 para o 4, tem um salto ainda menor do 4 para o 5, seguido de um salto ainda menor do 5 para o 6 e depois para o 7, 8, 9... E o 7 vai estar logo aqui. Os números vão ficando em espaços cada vez menores, apertadinhos, até chegarmos ao 10. E tem aqui um outro grande salto, porque mais uma vez, se quiser chegar ao 20, só tem que multiplicar por 2. Assim, essa distância nos leva ao 20. Se percorrer essa distância, vai chegar a 30 porque estamos multiplicando por 3. Esse é 3 vezes a distância. Se fizer de novo, se percorrer essa distância, chegaremos então ao 30. Estamos multiplicando por 3. Depois, podemos traçar tudo novamente. Mas espero que tenham entendido melhor por que as escalas numéricas de logaritmos têm esta aparência ou por que as escalas de logaritmo são da forma que são. Por último, espero que tenham entendido por que elas são úteis. Nos vemos no próximo vídeo!