Problema de modelo exponencial: solubilidade de medicamentos

RKA - Carlos tomou uma dose inicial de um medicamento prescrito. A relação entre o tempo decorrido, em horas, desde que tomou a primeira dose e a quantidade de medicação "M(t)", em miligramas, em sua corrente sanguínea é modelada pela seguinte função. Então, temos aqui a função, que é uma função exponencial. "M" igual a 20 vezes "e" elevado a "-0,8" vezes "t". Em quantas horas Carlos terá um miligrama, está em miligrama, então essa função está em miligrama, de medicamento restante em sua corrente sanguínea? Então, como queremos saber o tempo que leva para atingir 1 miligrama, vamos fazer o "M(t)" igual a 1, ou seja, você vai ter a seguinte expressão: 20 vezes "e" elevado a "-0,8t" igual a 1. Nós temos nossa incógnita aqui no expoente, então quando nós temos nossa incógnita no expoente, nós vamos usar logaritmo. Nós temos um 20 aqui multiplicando, é interessante nós nos livrarmos dele, como é que nós podemos fazer sem alterar a igualdade? Podemos passar para cá dividindo, ou seja, dividir ambos os termos por 20. Então, aqui nós vamos ficar apenas com "e" elevado a "-0,8t" igual a 1 sobre 20. Bem, nós temos agora 1 sobre 20. O que nós podemos fazer agora é tirar o logaritmo, e vamos tirar o logaritmo natural, o logaritmo neperiano, por quê? Porque aqui a gente tem o número "e", então você tem o logaritmo neperiano dos dois lados. Muito bem, então você, agora, com um logaritmo neperiano, o que significa log de "b" na base "a"? Significa que você quer saber qual é o número que você eleva a "a" para chegar em "b", ou seja, significa que "a" elevado a "x" vai ser igual a "b". Então, isso que significa o logaritmo. Então, o log natural de "e" elevado a "-0,8t" é o logaritmo na base "e" de "e" elevado a "-0,8t". Ora, qual é o número que você eleva a "e" para ter "e" elevado a "-0,8t"? É o próprio "-0,8t". Então esse logaritmo vai dar "-0,8t", que vai ser igual ao logaritmo neperiano de 1 sobre 20. Então, temos que o tempo vai ser igual a, vamos multiplicar por menos e passar o 0,8 dividindo. Então, você tem 1 menos 1/0,8 vezes o logaritmo neperiano de 1 sobre 20. Bem, então vamos fazer na calculadora: nós temos o inverso de 20, então 20 inverso, vamos tirar o logaritmo neperiano. Então, temos o logaritmo neperiano, vamos dividir por ponto 8. Vamos dividir por 0,8, o que vai dar 3,74 horas.