Aprenda sobre as propriedades de logaritmos e saiba como usá-las para reescrever expressões logarítmicas. Por exemplo, expanda log₂(3a).
A regra do produtologb(MN)=logb(M)+logb(N)\large\log_b(MN)=\log_b(M)+\log_b(N)
A regra do quocientelogb(MN)=logb(M)logb(N)\large\log_b\left(\frac{M}{N}\right)=\log_b(M)-\log_b(N)
A regra da potêncialogb(Mp)=plogb(M)\large\log_b(M^p)=p\log_b(M)
(Essas propriedades se aplicam a quaisquer valores de MM, NN e bb para os quais o logaritmo é definido, que é MM, N>0N>0 e 0<b10<b\neq1.)
Lembre-se, para que um logaritmo seja definido, o argumento do logaritmo deve ser positivo e a base do logaritmo também deve ser positiva e diferente de 11.

Quais conceitos você deve conhecer antes de iniciar esta lição

Você deve saber o que são logaritmos. Caso você não saiba, confira nossa introdução aos logaritmos.

O que você vai aprender nessa lição

Logaritmos, assim como expoentes, têm muitas propriedades úteis que podem ser usadas para simplificar expressões logarítmicas e calcular equações logarítmicas. Esse artigo explora três dessas propriedades.
Vamos analisar cada propriedade individualmente.

A regra do produto: logb(MN)=logb(M)+logb(N)\log_b(MN)=\log_b(M)+\log_b(N)

Essa propriedade expressa que o logaritmo de um produto é a soma dos logs de seus fatores.
Claro! se M=4M=4, N=8N=8 e b=2b=2, então de acordo com a propriedade, log2(48)=log2(4)+log2(8)\log_2(4\cdot 8)=\log_2(4)+\log_2(8).
O trabalho abaixo mostra que a propriedade é de fato verdadeira nesse caso!
log2(48)=log2(4)+log2(8)log2(32)=log2(4)+log2(8)Como 48=325=2+3Calculando os logs5=5\begin{aligned}\log_2({4\cdot 8})&=\log_2(4)+\log_2(8)\\ \\ \log_2(32)&=\log_2(4)+\log_2(8)&&\small{\gray{\text{Como $4\cdot8=32$}}}\\ \\ 5&=2+3&&\small{\gray{\text{Calculando os logs}}}\\ \\ 5&=5\end{aligned}
Isso não é uma prova! Ao invés disso, podemos nos convencer de que essa propriedade é plausível e talvez ter algumas dicas do porquê ela é verdadeira.
Podemos usar a regra do produto para reescrever expressões logarítmicas.

Exemplo 1: como expandir logaritmos

Para o que queremos, expandir um logaritmo significa escrevê-lo como a soma de dois ou mais logaritmos.
Vamos expandir log6(5y)\log_6(5y).
Observe que os dois fatores do argumento do logaritmo são 5\blueD 5 e y\greenD y. Podemos aplicar diretamente a regra do produto para expandir o logaritmo.
log6(5y)=log6(5y)=log6(5)+log6(y)        Regra do produto\begin{aligned}\log_6(\blueD5\greenD y)&=\log_6(\blueD5\cdot \greenD y)\\ \\ &=\log_6(\blueD5)+\log_6(\greenD y)&&~~~~~~~~\small{\gray{\text{Regra do produto}}} \end{aligned}

Exemplo 2: como condensar logaritmos

Para o que queremos, comprimir uma soma de dois ou mais logaritmos significa escrevê-la como um único logaritmo.
Vamos condensar log3(10)+log3(x)\log_3(10)+\log_3(x).
Como os dois logaritmos têm a mesma base (base 33), podemos aplicar a regra do produto na direção inversa:
log3(10)+log3(x)=log3(10x)Regra do produto=log3(10x)\begin{aligned}\log_3(\blueD{10})+\log_3(\greenD x)&=\log_3(\blueD{10}\cdot \greenD x)&&\small{\gray{\text{Regra do produto}}}\\ \\ &=\log_3({10} x) \end{aligned}

Uma observação importante

Ao comprimir expressões logarítmicas usando a regra do produto, as bases de todos os logaritmos na expressão devem ser iguais.
Por exemplo, não podemos usar a regra do produto para simplificar uma expressão como log2(8)+log3(y)\log_2(8)+\log_3(y).

Teste seu conhecimento

1) Expanda log2(3a)\log_2(3a).

Expandir log2(3a)\log_2(3a) significa escrever a expressão como a soma de dois logaritmos.
Podemos aplicar a regra do produto diretamente para expandir o log.
log2(3a)=log2(3a)=log2(3)+log2(a)Regra do produto\begin{aligned}\log_2(\blueD3\greenD a)&=\log_2(\blueD3\cdot \greenD a)\\ \\ &=\log_2(\blueD3)+\log_2(\greenD a) &&\small{\gray{\text{Regra do produto}}} \end{aligned}
2) Condense log5(2y)+log5(8)\log_5(2y)+\log_5(8).

Condensar log5(2y)+log5(8)\log_5(2y)+\log_5(8) significa escrever a expressão como um único logaritmo. Como as bases são iguais, podemos aplicar a regra do produto.
log5(2y)+log5(8)=log5(2y8)Regra do produto=log5(16y)\begin{aligned}\log_5(\blueD{2y})+\log_5(\greenD {8})&=\log_5(\blueD{2y}\cdot \greenD {8})&&\small{\gray{\text{Regra do produto}}}\\ \\ &=\log_5(16y) \end{aligned}

A regra do quociente: logb(MN)=logb(M)logb(N) \log_b\left(\dfrac{M}{N}\right)=\log_b(M)-\log_b(N)

Essa propriedade expressa que o log de um quociente é a diferença entre os logs do dividendo e do divisor.
Claro! Se M=81M=81, N=3N=3 e b=3b=3, então de acordo com a propriedade, log3(813)=log3(81)log3(3)\log_3\left(\dfrac{81}{3}\right)=\log_3(81)-\log_3(3).
O trabalho abaixo mostra que a propriedade é de fato verdadeira nesse caso!
log3(813)=log3(81)log3(3)log3(27)=log3(81)log3(3)Como 81÷3=273=41Calculando os logs3=3\begin{aligned} \\\log_3\left({\dfrac{81}{3}}\right)&=\log_3(81)-\log_3(3)\\ \\ \log_3(27)&=\log_3(81)-\log_3(3)&&\small{\gray{\text{Como $81\div 3=27$}}}\\ \\ 3&=4-1&&\small{\gray{\text{Calculando os logs}}}\\ \\ 3&=3\end{aligned}
Isso não é uma prova! Ao invés disso, podemos nos convencer de que essa propriedade é plausível e talvez ter algumas dicas do porquê ela é verdadeira.
Agora vamos usar a regra do quociente para reescrever expressões logarítmicas.

Exemplo 1: expansão de logaritmos

Vamos expandir log7(a2)\log_7\left(\dfrac{a}{2}\right), escrevendo-o como a diferença de dois logaritmos, aplicando a regra do quociente diretamente.
log7(a2)=log7(a)log7(2)Regra do quociente\begin{aligned}\log_7\left(\dfrac{\purpleC a}{\goldD 2}\right)&=\log_7(\purpleC a)-\log_7(\goldD 2) &\small{\gray{\text{Regra do quociente}}} \end{aligned}

Exemplo 2: como condensar logaritmos

Vamos condensar log4(x3)log4(y)\log_4(x^3)-\log_4(y).
Como os dois logaritmos têm a mesma base (base 44), podemos aplicar a regra do quociente na direção inversa:
log4(x3)log4(y)=log4(x3y)Regra do quociente\begin{aligned}\log_4(\purpleC{x^3})-\log_4(\goldD{y})&=\log_4\left(\dfrac{\purpleC{x^3}}{\goldD{y}}\right)&&\small{\gray{\text{Regra do quociente}}}\\ \\ \end{aligned}

Uma observação importante

Quando comprimimos expressões logarítmicas usando a regra do quociente, as bases de todos os logaritmos na expressão devem ser iguais.
Por exemplo, não podemos usar a regra do quociente para simplificar algo como log2(8)log3(y)\log_2(8)-\log_3(y).

Teste seu conhecimento

3) Expanda logb(4c)\log_b\left(\dfrac{4}{c}\right).

Podemos escrever logb(4c)\log_b\left(\dfrac{4}{c}\right) como a diferença entre dois logaritmos aplicando diretamente a regra do quociente.
logb(4c)=logb(4)logb(c)Regra do quociente\begin{aligned}\log_b\left(\dfrac{\purpleC 4}{\goldD c}\right)&=\log_b(\purpleC 4)-\log_b(\goldD c) &&\small{\gray{\text{Regra do quociente}}} \end{aligned}
4) Condense log(3z)log(8)\log(3z)-\log(8).

Observe que não há base indicada nos logaritmos. Isso significa que a base é 1010, porque log(x)=log10(x)\log(x)=\log_{10}(x).
Como a base de cada logaritmo é a mesma, podemos aplica a regra do quociente.
log(3z)log(8)=log(3z8)\begin{aligned}\log(\purpleC{3z})-\log(\goldD{8})&=\log\left(\dfrac{\purpleC{3z}}{\goldD{8}}\right)\\ \end{aligned}
Claro, log10(3z8)\log_{10}\left(\dfrac{3z}{8}\right) também é uma resposta aceitável.

A regra da potência: logb(Mp)=plogb(M)\log_b(M^p)=p\log_b(M)

Essa propriedade diz que o logaritmo de uma potência é o expoente vezes o logaritmo da base da potência.
Claro! Se M=4M=4, p=2p=2, e b=4b=4, então de acordo com a propriedade, log4(42)=2log4(4)\log_4\left(4^2\right)=2\log_4(4).
O trabalho abaixo mostra que a propriedade é de fato verdadeira nesse caso!
log4(42)=2log4(4)log4(16)=2log4(4)Como 42=162=21Calculando os logs2=2 \begin{aligned} \\\log_4\left({4^2}\right)&=2\log_4(4)\\ \\ \log_4(16)&=2\log_4(4)&&\small{\gray{\text{Como $4^2=16$}}}\\ \\ 2&=2\cdot 1&&\small{\gray{\text{Calculando os logs}}}\\\\ \\ 2&=2 \end{aligned}
Isso não é uma prova! Ao invés disso, podemos nos convencer de que essa propriedade é plausível e talvez ter algumas dicas do porquê ela é verdadeira.
Agora vamos usar a regra da potência para reescrever expressões logarítmicas.

Exemplo 1: como expandir logaritmos

Para o que queremos nesta seção, expandir um único logaritmo significa escrevê-lo como um múltiplo de outro logaritmo.
Vamos usar a regra da potência para expandir log2(x3)\log_2\left(x^3\right).
log2(x3)=3log2(x)Regra da potnciaeˆ=3log2(x)\begin{aligned}\log_2\left(x^\maroonC3\right)&=\maroonC3\cdot \log_2(x)&&\small{\gray{\text{Regra da potência}}}\\ \\ &=3\log_2(x) \end{aligned}

Exemplo 2: como condensar logaritmos

Para o que queremos nesta seção, condensar um múltiplo de um logaritmo significa escrevê-lo como outro único logaritmo.
Vamos usar a regra da potência para condensar 4log5(2)4\log_5(2),
Quando condensamos uma expressão logarítmica usando a regra da potência, transformamos quaisquer multiplicadores em potências.
4log5(2)=log5(24)  Regra da potnciaeˆ=log5(16)\begin{aligned}\maroonC4\log_5(2)&=\log_5\left(2^\maroonC 4\right)~~&&\small{\gray{\text{Regra da potência}}}\\ \\ &=\log_5(16)\\ \end{aligned}

Teste seu conhecimento

5) Expanda log7(x5)\log_7(x^5).

log7(x5)=5log7(x)Regra da potnciaeˆ=5log7(x)\begin{aligned}\log_7\left(x^\maroonC5\right)&=\maroonC5\cdot \log_7(x)&&\small{\gray{\text{Regra da potência}}}\\ \\ &=5\log_7(x) \end{aligned}
6) Condense 6ln(y)6\ln(y).

6ln(y)=ln(y6)Regra da potnciaeˆ\begin{aligned}\maroonC6\ln(y)&=\ln\left(y^\maroonC 6\right)&&\small{\gray{\text{Regra da potência}}}\\ \end{aligned}

Desafios

Para resolver os problemas a seguir, você precisa aplicar várias propriedades em cada caso. Tente!
1) Qual das seguintes opções é equivalente a logb(2x35)\log_b\left(\dfrac{2x^3}{5}\right)?
Escolha 1 resposta:
Escolha 1 resposta:

Primeiro, aplique a regra do quociente.
logb(2x35)=logb(2x3)logb(5)               Regra do quociente\begin{aligned} \log_b\left(\dfrac{\blueD{2x^3}}{\greenD{5}}\right) &= \log_b(\blueD{2x^3})-\log_b(\greenD{5}) ~~~~~~~~~~~~~~~&&\small{\gray{\text{Regra do quociente}}}\\\\ \end{aligned}
Em seguida, observe que há um produto no primeiro termo. Use a regra do produto para escrever isso como a soma de dois logaritmos.
logb(2x35)=logb(2x3)logb(5)=logb(2)+logb(x3)logb(5) Regra do produto\begin{aligned}\phantom{\log_b\left(\dfrac{\blueD{2x^3}}{\greenD{5}}\right)} &=\log_b({\purpleC{2}\goldD {x^3}})-\log_b({5})\\\\ &= \log_b(\purpleC{2})+\log_b(\goldD {x^3})-\log_b(5)&&~\small{\gray{\text{Regra do produto}}} \\\\ \end{aligned}
Por fim, observe que ainda há uma potência na expressão. Podemos usar a regra da potência para remover esse expoente.
logb(x3yz2)=logb(2)+logb(x3)logb(5)=logb(2)+3logb(x)logb(5)Regra da potnciaeˆ\begin{aligned}\phantom{\log_b\left(\dfrac{\blueD{x^3y}}{\greenD{z^2}}\right)} &=\log_b( 2)+\log_b({x^\maroonC 3})-\log_b(5)\\\\ &=\log_b(2)+\maroonC 3\log_b(x)- \log_b(5)&&\small{\gray{\text{Regra da potência}}}\\ \\ \end{aligned}
Você sabe que uma expressão logarítmica está completamente expandida quando não há potências, produtos ou quocientes restando nos argumentos dos logaritmos.
Então, a forma expandida é logb(2)+3logb(x)logb(5)\log_b(2)+3\log_b(x)-\log_b(5).
2) Qual das seguintes opções é equivalente a 3log2(x)2log2(5)3\log_2(x)-2\log_2(5)?
Escolha 1 resposta:
Escolha 1 resposta:

Para condensar essa expressão logarítmica, primeiro vamos escrever os múltiplos dos logaritmos como expoentes usando a regra da potência.
3log2(x)2log2(5)=log2(x3)log2(52)=log2(x3)log2(25)\begin{aligned}\maroonD 3\log_2(x)-\maroonD2\log_2(5)&=\log_2(x^\maroonD 3)-\log_2(5^\maroonD 2)\\ \\ &=\log_2(x^3)-\log_2(25)\\ \end{aligned}
Em seguida, use a regra do quociente para escrever a expressão como um único logaritmo.
3log2(x2)2log2(5)=log2(x3)log2(25)=log2(x325)\begin{aligned}\phantom{\maroonD 3\log_2(x^2)-\maroonD2\log_2(5)}&=\log_2(\purpleC{x^3})-\log_2(\goldD{25})\\ \\ &=\log_2\left(\dfrac{\purpleC{x^3}}{\goldD{25}}\right)\\ \end{aligned}
A forma condensada é log2(x325)\log_2\left(\dfrac{{x^3}}{{25}}\right)
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