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Prova das propriedades do quociente do logaritmo e da potência do logaritmo

Transcrição de vídeo

RKA - Vamos ver se conseguimos formular outra propriedade logarítmica. Digamos que o "logₓ A"... é igual a "B", e equivale a dizer que "xᴮ" é igual a "A". Parece correto, certo? Então, quero ver. O que acontece se multiplicar essa expressão por outra variável? Vamos chamá-la de "C". É, vou multiplicar os dois lados desta equação por "C" (vou ficar trocando as cores para deixar as coisas mais interessantes). Isso não é um "x" é um "C" (talvez seja melhor fazer um ponto, né?), vezes "C". Assim, eu vou multiplicar os dois lados desta equação por "C". Obtenho "C" vezes "logₓ A" é igual a... (multiplicando os dois lados da equação)... é igual a "B" vezes "C". Tudo bem até aqui. Acho que perceberam que eu não fiz nada muito complicado, né? Mas vamos voltar. A gente disse que isto é igual a isto, então vamos experimentar com alguma coisa. Vamos elevar este lado à potência de "C". Vou elevar este lado à potência de "C". Esse é um tipo de sinal de potência. E, quando você digita expoentes, é isso que usa: um sinal de potência. Vou elevá-lo à potência de "C". Então, este lado é "(xᴮ)ᶜ = Aᶜ". Tudo o que fiz foi elevar os dois lados desta equação à potência de "C". O que acontece quando elevamos algo a um expoente e elevamos toda essa coisa a um outro expoente? Esta é uma regra simples de potenciação: o expoente do expoente. Basta multiplicar esses dois expoentes. Isto implica apenas que "xᴮ ͨ = Aᶜ". O que podemos fazer agora? Vamos colocar o logaritmo nos dois lados. Ou vamos só escrever... não, vamos colocar o logaritmo nos dois lados, vamos escrever como uma expressão logarítmica. A gente sabe que "x" elevado a "BC" é igual a "A" elevado a "C", e equivale a dizer que o "logₓ (Aᶜ)" é igual a "BC", certo? Porque tudo o que eu fiz foi reescrever como uma expressão logarítmica. E eu acho que já perceberam que aconteceu uma coisa interessante. Esse "BC", é claro, é igual a este "BC". Essa expressão deve ser igual a essa expressão. Acho que temos outra propriedade logarítmica, que se eu tiver algum tipo de coeficiente na frente do logaritmo, onde estou multiplicando o logaritmo, vou ter "C" vezes "logₓ A" (mas é "C" vezes logaritmo de "A" na base "x"), que é igual ao "logₓ (Aᶜ)". Dá para pegar este coeficiente e, em vez disso, torná-lo um expoente do termo dentro do logaritmo. Esta é uma outra propriedade logarítmica. Vamos, então, rever o que sabemos até agora. A gente sabe que, se escrever... (eu vou usar as letras que a gente usou até aqui, tá?) "C" vezes "logₓ A" é igual ao "logₓ (Aᶜ)". E sabemos (acabamos de aprender) que o "logₓ A" mais o "logₓ B" é igual ao logaritmo de "A vezes B" na base "x". Deixa eu fazer uma pergunta: o que acontece se, em vez de ter um sinal positivo aqui, a gente colocasse um sinal negativo? Talvez pudessem descobrir sozinhos, mas poderia fazer a mesma comprovação que fizemos no começo. Só que dessa vez, vamos fazer com o sinal negativo. Se eu disser que "logₓ A" é igual a "ℓ", digamos que "logₓ B" é igual a "m", digamos que "logₓ (A/B)" é igual a "n". Como podemos escrever todas essas expressões como potências? Bom, "x" elevado a "ℓ" é igual a "A" (vou trocar de cor, isso torna tudo mais interessante). Está dizendo apenas que "x" elevado a "m" é igual a "B", e está dizendo que "x" elevado a "n" é igual a "A/B". O que podemos fazer aqui? Qual é uma outra forma de escrever "A/B"? É igual a escrever "x" elevado a "ℓ" (porque é igual a "A") sobre "x" elevado a "m" (pois é igual a "B"). E, com base nas regras exponenciais, a gente sabe que também poderia ser escrito como "x" elevado a "ℓ" vezes "x" elevado a "-m", ou também é igual a "x" elevado a "ℓ - m". O que sabemos? Sabemos que "x" elevado a "n" é igual a "x" elevado a "ℓ - m". Portanto, os dois expoentes são iguais. Vou colocar o sinal de igual aqui. Sabemos, então, que "n" é igual a "ℓ - m". Qual é a outra forma de escrever "n"? Eu vou fazer aqui em cima, porque acho que chegamos a outra propriedade logarítmica. Qual é a outra forma de escrever "n"? Fiz isto logo aqui. Esta é a outra forma de escrever "n". Muito bem, vamos lá. O "logₓ (A/B)" é igual a "ℓ". "ℓ" é isto aqui. "logₓ A" é igual a "ℓ". "logₓ A" menos "m". Escrevi "m" aqui. "m" é igual a "logₓ B". Pronto. Provavelmente não precisava provar isto. Provavelmente daria para testar usando números. Eu espero que, agora, estejam convencidos de que temos esta nova propriedade logarítmica aqui. Na verdade, eu tenho mais uma propriedade logarítmica para mostrar para vocês, mas eu estou achando que não vai dar tempo de fazer isso aqui, nesse vídeo, agora. Então, vamos deixar para um próximo vídeo. A gente se vê lá. Espero que tenha achado isso útil. Fui.