Resolução de equações exponenciais usando logaritmos: base-2

RKA8JV Imagine que a gente tenha a seguinte função: "y" é igual a 5 vezes 2 elevado a "t", e alguém diz: "bom, que função que função interessante essa!" E realmente essa função é muito interessante. Mas essa pessoa também diz: ''eu gosto muito do número 1.111, e eu queria saber para que valor de 't' eu vou ter eu vou ter 'y' = 1.111." Ou seja, que valor eu vou colocar aqui para ''t'' para que o resultado da minha função dê 1111. Eu encorajo você a pensar nisso sozinho. Talvez você queira usar uma calculadora, caso você veja que precise, e assumindo que você pensou nisso, vamos lá. Vamos tentar resolver o problema. E o que nós queremos agora é que 5 vezes 2 elevado a ''t'' seja igual a 1.111. Então, vamos escrever isso. 5 vezes 2 elevado a ''t'', isso vai ser igual a 1.111. E o primeiro pensamento que vem à nossa cabeça é o pensamento algébrico, é o pensamento de isolar essa incógnita, então, nós vamos isolar essa incógnita ''t'' aqui. Como nós faremos isso? Bom, uma primeira ideia é dividir ambos os lados por 5. Então vamos dividir ambos os lados por 5 para que nós mantenhamos a igualdade da equação. Aqui nós podemos eliminar o 5, então vamos ficar com 2 elevado a ''t'', que é igual a 1.111 sobre 5, 1.111/5. E como nós conseguiremos resolver isso? Qual é o método que nós utilizaremos para resolver isso? Bom, precisamos de uma função que seja inversa à função exponencial, e essa função é a função logarítmica. Nós podemos definir um logaritmo assim: se eu disser que "a" elevado a ''b'' é igual a ''c'', então eu posso dizer que o log de ''c'' na base ''a'' é igual a ''b''. Mas o que significa isso? Dizer que ''a'' elevado a ''b'' é igual a ''c'', e que o log de ''c'' na base ''a'' é igual a ''b''. Quer dizer que para eu obter ''c'', eu tenho que pegar a base ''a''', elevar ao expoente ''b'' e assim eu vou obter ''c''. Essas duas igualdades aqui são equivalentes, querem dizer a mesma coisa, então essas duas igualdades são equivalentes. Agora, o que nós vamos fazer é tomar o logaritmo dos dois lados dessa equação aqui. Então, nós ficaremos com o log da base 2, de quem? De 2 elevado a ''t'', e isso vai ser igual a que? Isso vai ser igual ao log, também na base 2, de 1.111/5. O que é interessante aqui, é que se nós pegarmos esse primeiro lado, nós temos uma característica importante, que é o seguinte: se eu tenho 2 elevado a "t" na base 2, então eu quero uma potência que, elevado a 2, dê 2 elevado a "t". Mas a única possibilidade disso, é ser ''t''. Então, eu posso simplificar tudo isso aqui, e no lugar disso colocar apenas ''t''. Isso vai ser igual ao log da base 2 de 1.111/5, E uma dúvida que fica é como é que nós vamos calcular o log de 1.111/5 na base 2. E para isso nós vamos utilizar uma calculadora. Então, vamos pegar a nossa calculadora aqui e vamos fazer a conta com ela. Quando nós ligamos aqui a nossa calculadora nós temos um empecilho, porque nós não temos o log na base 2, então, nós temos que fazer uma adaptação em relação a isso. Eu vou mostrar como é que nós vamos adaptar isso. Então, vamos lá. Para essa adaptação nós utilizaremos uma propriedade de logaritmo, que diz o seguinte: que o log na base 2, bom, na verdade pode ser um log em qualquer base, pode ser o log na base ''a'', o log de ''c'' na base ''a''. Portanto, o logaritmo de ''c'' na base ''a'' será igual ao log de ''c'' na base ''x'', uma base ''x'' qualquer, sobre o log de ''a'' na base ''x''. Isso aqui, essa base, tem que ser exatamente a mesma, e repare que esse ''x'' aqui, ele pode ser qualquer valor. Então, isso é uma coisa que pode ajudar muito a gente, porque se eu colocar a base 10 eu consigo transformar a base 2 em base 10, apenas usando isso aqui. E o interessante disso é que nós podemos utilizar a função logaritmo da calculadora. Na verdade, a nossa calculadora tem duas funções, a função logaritmo e a função log neperiano, que é o logaritmo neperiano. Eu prefiro usar o logaritmo normal, o logaritmo de base 10. Então vamos lá, aqui nós teremos... podemos fazer isso daqui da seguinte maneira: log de 1.111 sobre 5, na base 10, sobre o log de 2 na base 10. Então, basta a gente calcular isso. Vamos pegar a nossa calculadora novamente e vamos fazer essa conta aqui. Vamos lá. Então vou pegar a minha função logaritmo e vou começar a fazer minhas contas, vou colocar aqui 1.111/5, vou fazer o logaritmo disso, que é isso aqui, e vou dividir isso pelo logaritmo de 2, que é isso aqui. Vou dividir isso pelo logaritmo de 2. E agora nós vamos ter o nosso resultado. Repare que nós não precisamos colocar a base 10, não precisamos indicá-la. Por quê? Porque a calculadora já reconhece automaticamente que a base é 10. Sempre que tratamos de log, sem a base, quer dizer que a base é 10, então, teremos como resultado 7,795 e mais uns quebrados. Eu vou arrendondar isso aqui para 7,796. Então, deixa eu colocar aqui, isso vai ser aproximadamente igual 7,796. E o que quer dizer isso? Quer dizer que se eu colocar no lugar de ''t'', 7,796, no meu resultado final, no valor de ''y''', eu terei 1.111. Espero que vocês tenham gostado, e até a próxima!