Como construir modelos exponenciais: variação percentual

RKA - Emily é uma ecologista que estuda a mudança da população de narvais no Oceano Ártico ao longo do tempo. Ela observou que a população diminui 5,6% a cada 2,8 meses. A população de narvais pode ser modelada por uma função, "N", que depende do tempo em meses. O modelo dela é de 2,8 meses e nós vamos ter que modelar em meses. Vamos ver como fazemos isso: quando Emily começou seu estudo, existiam 89 mil narvais no Oceano Ártico. Escreva uma função que modele a população de narvais em função de "t" em meses, desde o início do estudo da Emily. Então, a Emily, a unidade de tempo da Emily, é de 2,8 meses. Então, nós colocamos o "N" da Emily, 2,8 como índice, porque não é o modelo que nós queremos. E, em primeiro lugar, vamos ver no tempo "0", obviamente vai começar com 89 mil, mas vamos analisar o que significa uma diminuição de 5,6%. Quando você diminui 5,6%, significa que você tinha 100% e subtraiu de 100%, 5,6%, ou seja, você ficou com 94,4%. Esse é o fator multiplicativo da Emily, ou seja, ela multiplicou por 0,944. Lembre-se que 0,944 é 94,4%. 94,4% é 94,4 sobre 100, que é 0,944. Então, a Emily partiu de 89 mil narvais, é a medição inicial, e multiplicou pelo fator de 0,944, elevado a "t", ou seja, esse "t" não é o tempo em meses, é o tempo da Emily de 2,8 em 2,8 meses, ou seja, é um período de 2,8 meses. Então, o modelo dela está bem distante de ser modelo nosso mensal. Quando passa 2,8 meses, para ela passou apenas um período, no modelo dela ficou sendo 89 mil vezes 0,944 elevado a 1, porque para ela passou apenas um período de 2,8 meses. Então, o fator multiplicativo dela, que é 0,944, é de 2,8 em 2,8 meses, portanto, no modelo dela pegamos o fator multiplicativo e elevamos a 1, que é o período de 1, de 2,8 meses, é um período de 2,8 meses. Se nós passarmos para outro período de 2,8 meses, segundo período, para 5,6 meses, vamos ter 89 mil vezes 0,944 elevado à segunda, porque está no segundo período da Emily. O fator multiplicativo de 0,944 é de 2,8 em 2,8 meses. Nós não queremos modelar dessa forma, queremos modelar mensalmente, então temos que ver qual é a correspondência entre nosso modelo e o modelo dela. O nosso modelo, vamos colocar o tempo e o nosso modelo agora mensal e ver qual é a correspondência entre os dois modelos. No tempo igual a "0" vai ser a mesma coisa, vai começar com 89 mil narvais, porque é o início do estudo, então para os dois modelos nós vamos ter o mesmo valor inicial de 89 mil narvais. Agora qual é o fator multiplicativo? Quando passa um mês para gente, nosso período é 1 período de 1 mês, em relação ao de Emily, não é um mês, porque o período dela é de 2,8 meses, portanto, para passar para nosso tipo de período, que é de 1 mês, o nosso período é o período dela dividido por 2,8. Ou seja, para sabermos quanto é 1 mês, nós pegamos o fator multiplicativo dela e elevamos a "t" ou 1, no caso, sobre 2,8. E com isso nós temos o nosso fator mensal. Nosso fator mensal vai ser: 0,944 elevado a 1 sobre 2,8. E, agora, nós podemos escrever nosso modelo mensal, que é 89 mil vezes o nosso fator elevado ao tempo. O nosso fator é 0,944 elevado a 1 sobre 2,8 e vamos ter que, no início, temos 89 mil e depois nós temos o nosso tempo, que está em meses, dividido por 2,8. E veja, se nós colocarmos o tempo igual a 2,8, vai ficar 2,8 sobre 2,8(1), que volta a ser o modelo da Emily. Nós queremos um modelo mensal, portanto, nosso fator é esse: 0,944 elevado a 1 sobre 2,8. O modelo fica 89 mil vezes o nosso o fator que é 0,944 elevado a "t" sobre 2,8. Pronto. E esse é o nosso modelo mensal, Esse daqui é o nosso modelo mensal e vamos mostrar que esse é o melhor modelo mensal que podemos representar, porque você poderia pensar: pera aí, eu posso botar o 1 sobre 2,8 para dentro do parênteses e calcular qual é o fator. Tudo bem, você pode calcular, mas vamos ver a inconveniência de fazer dessa forma. Você, o outro modelo é, o modelo mensal seria: N(ₜ) = 89 mil vezes 0,944 elevado a 1 sobre 2,8, que é nosso fator mensal e tudo elevado ao tempo, o tempo mensal. Aí nós temos que calcular quanto é 0,944 elevado a 1 sobre 2,8, então temos aí 0,944 elevado a 1 sobre 2,8. E vamos ter um fator de 0,9979 e se a gente botar mais casas decimais, você vê que é uma casa decimal muito grande e quando você restringe a casa decimal e você tem uma função exponencial, esse arredondamento, no final das contas vai te prejudicar muito, porque vai te dar uma diferença muito grande lá no final. Porque você está arredondando um fator que está sendo elevado ao tempo e o tempo vai passando e essa diferença vai aumentando drasticamente. Portanto, o outro modelo que você pode desenhar, é com o fator arredondado. Tudo bem, se você não quiser um modelo muito preciso. Então, fica 89 mil vezes 0,998 elevado ao tempo, ou seja, esse tempo dado em meses. Esse modelo está correto, mas não está tão preciso quanto o primeiro, ou seja, qual o melhor? Qual o melhor modelo? Entre os dois modelos, é preferível o primeiro, porque você tem a taxa dividida por 2,8 e o 0,944 é um valor que a gente calculou como sendo subtraído de 5,6, ou seja, é um valor exato. Quando você calculou esse 0,998, é um valor arredondado, quando você coloca esse valor arredondado na expressão e é uma função exponencial, vai te dar um prejuízo muito grande no final. Portanto, a expressão melhor para representar o nosso modelo em meses é a primeira que é o "N(ₜ)" igual a 89 mil vezes 0,944 elevado a "t" sobre 2,8.