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Equação de uma parábola a partir do foco e da diretriz

Transcrição de vídeo

isso aqui que você desenhar em amarelo uma parábola e como nós já vimos vídeos anteriores uma parábola pode ser entendida como um conjunto de pontos que é equidistante de um ponto e de uma reta esse ponto aqui ó então ele é chamado de foco da parábola ea reta chamada de diretriz da parábola e eu quero fazer nesse vídeo aqui um pouquinho de álgebra cabeluda mas usando a definição é que acabei de idade parábola e sabendo desses pontos aqui o foco onde o y é igual a b x é igual a e essa reta diretrizes aqui o y igual a um carro qualquer tentar descobrir qual é a equação que determina essa parábola aqui ó através então do seu foco e da sua reta diretriz e essa equação então ela vai estar baseada em ais beijo e cais olha aí vamos fazer isso então então vamos pegar um ponto arbitrário que nesta parábola digamos esse ponto aqui ó que tem coordenadas x y e de acordo com a definição que nós temos para que esse ponto aqui esteja em cima da parábola ele tem que ser equidistante desse ponto dessa reta diretriz aqui isso significa que essa distância aqui ó até essa reta diretriz titan azul é exatamente igual à mesma distância que vou fazer aqui nessa cor em magenta aqui ó tem a mesma distância beleza e como você sabe para trás a distância de um ponto é uma reta eu traço aqui ó um segmento que é perpendicular à essa reta em relação a esse segmento que desenhei e aqui depois pagar um plus a distância desse ponto para esse aqui ó eu vou usar naquela forma da distância que nada mais é que o teorema de pitágoras e qual vai ser o valor dessa distância em azul a essas distâncias são iguais então vamos lá essa distância azul vai ser igual a esse valor y aqui - esse valor cá y - cá portanto posso escrever aqui em cima e y - cá só tome cuidado porque da maneira que desenha aqui ó o y é maior que o carro então se eu fizer y - carro tem um valor positivo aqui porém eu poderia muito bem ter essa parábola que um realidade para baixo e aí eu ter por exemplo o y menor que o capitão teria que tirar o módulo nesse valor aqui certo para ter um valor positivo distância é sempre um valor positivo mas eu posso também para esse problema seguinte maneira nada mais é que ele vai isso aqui é o quadrado né extrair ao mesmo tempo a raiz quadrada saque é a definição de módulo é a mesma coisa que tirar o módulo desse número então isso daqui vai ter que ser igual como você já sabe acabei de falar esse ponto x e y aqui para que esteja em cima da parábola a distância desse ponto para ter esse foco aqui ó é exatamente a mesma dessa distância que nós colocamos aqui certo e aí para calcular essa distância agora desse ponto até esse outro ponto aqui eu uso aquela forma da distância que basicamente anteriormente pitágoras ou seja é a minha avaliação aqui no eixo do x ou seja x - ale x - a isso tudo elevada ao quadrado mais a variação no y que vai ser então y - b então y - b elevada ao quadrado e aí a raiz quadrada de tudo isso aqui beleza e isso aqui o que nós acabamos de fazer é a equação de uma parábola parece meio estranho mas é assim a equação de uma parábola e pra gente ver isso daqui melhor é bom que a gente faça mais simplificações e se você estiver inspirado aí eu sugiro que você pausa o vídeo e você tem de fazer simplificações a gente vai usar como eu falei mal já era meio cabeluda mas nada demais é só fazer o que você vai ver que vai dar certo o que eu quero achar que a equação da parábola de maneira que eu tenho aqui um foco genérico e também uma reta diretriz genérica vamos lá então vamos simplificar isso daqui é a maneira mais simples a gente começar sempre ficar isso é elevar ambos os lados da equação ao quadrado então o quadrado mas sempre fica com a raiz eu vou ter aqui ó y - cá elevada ao quadrado certo e lá do outro lado eu vou ver o que vou cancelar a raiz com quadrado e eu vou ter x - a ao quadrado mais o y - bem ao quadrado agora o meu objetivo aqui o site y de um lado e do outro lado deixar o x1 ao bei o caneco pra fazer isso então vou expandir cada uma dessas expressões aqui e esse quadro da diferença quem azul vai ser a mesma coisa aqui y quadrado menos duas vezes o y vezes o k mais o ca elevada ao quadrado certo e isso vai ser igual então ó a esse outro lado aqui essa primeira eu vou deixar como tatá não vou precisar expandir neste momento não é que vai expandir só essa então não vou repetir x - a ao quadrado mas agora vai expandir esse outro quadrados a diferença aqui ó então vou te y quadrado em mato em vez de essa parte foi expandido menos duas vezes y vezes b mais o bê elevada ao quadrado vamos ver se a gente consegue sempre fica alguma coisa aqui o percebi que eu tenho sou um quadrado de um lado y ao quadrado do outro então se um subtrair em ambos os lados por y ao quadrado simplifico esses dois termos e agora eu posso subtrair cal quadrado também de um lado subtrai local quadrado do outro desta maneira conseguiu simplificar esse call quadrado aqui e também ó eu vou pegar eu vou somar 2 yb em ambos os lados porque para que eu tenha todos exibições lado esquerdo então mais dois yb aqui agora como estou ficando um pouco espaço aqui eu vou colocar a continuação do lado da então vamos lá o que eu vou ter aqui então ó quando eu simplificar isso aqui vai sobrar só o que vai sobrar menos dois locais mais dois yb então posso escrever isso daqui assim o 2 yb -2 yk só que você percebe que eu consigo colocar 12 y em evidência são fatores em comum aqui então vamos lá 1 fazer isso colocar o veículo em evidência mas vou colocar dessa maneira aqui ó duas vezes b - cá vezes o y certo posso fazer muito bem isso daqui e portanto essa parte que eu fiz exatamente essa parte aqui certo daqui já simplifiquei então beleza e lá do lado direito da igualdade que eu voltei então olha só ora eu vou ter um x - ao quadrado ali né escreveu ele x - ao quadrado esse tema aqui simplificou eu vou ter o qb ao quadrado - cal quadrado portanto isso aqui vou escrever aqui mais o bê ao quadrado - o cal quadrado e bom como eu quero apenas o y ali do lado esquerdo né eu vou dividir tudo aqui por 2 x 1 então devido tudo por dois biênios ficar aqui e também devido a cni esse lado a votar então isso aqui / 2 x - cá isso aqui também o indivíduo por dois que multiplica bem menos ficar assim desse jeito então aquele lado simplifica eu fico apenas com y é tanta que bateu o y igual a conta aqui eu posso colocar um quilo é como se tivesse x 1 então vou colocar assim um sobre 2 x - kaká que está multiplicar aquilo ali ainda é x - ao quadrado x - a quadrado e agora basta você se lembrará que esse bebê nos cá mas é exatamente a diferença entre esse valor de b e esse valor de caqui no então vai dar à distância desse ponto aqui do foco até essa reta diretriz passando exatamente aqui pelo vértice da parábola só continuando acabei apagando quadrado aqui uma elevada ao quadrado né e se você souber o que é o bem o que é o ca você vai ter apenas um valor constante aqui na frente já que vai ser um número né e você vai ter então a x - a elevada ao quadrado x um número então está começando a parecer com aquela parábola que você se lembra da época de escola é ou não é se é que por algum motivo você se lembra de parábola joga a sua infância né mas vamos lá agora repare aqui eu posso também uma simplificar após simplificar esse bebê ao quadrado - cal quadrado com esse bebê não está aqui porque bem ao quadrado - ao quadrado é uma diferença de quadrados ou seja isso é a mesma coisa que b mais k que multiplica bem menos cá então eu posso simplificar esse bem menos km sobre o que o bebê mas cá certo então posso colocar aqui ó o fim os tambores agora olha só então foi ter metade nenhum sobre dois que multiplica o que bem mas cá olha aí não me machucar aqui e aí nós finalizamos olha aí ó então dado um ponto que é o nosso vértice ali e essa reta diretriz eu consegui deduzir a fórmula a equação dessa parábola aqui ó essa é a equação da nossa parábola então dessa maneira aqui ó por exemplo e que poderia fazer isso daqui lá se eu tivesse aqui digamos um foco no ponto digamos 1 e 2 e uma reta diretriz aqui ó uma equação digamos y igual a -1 qual seria a equação da parábola que seria formada aqui no caso dos pontos e que distantes desse ponto aqui em relação a essa reta diretriz aqui vamos lá bem a equação seria y igual a 1 sobre duas vezes o bê - cá o b2 o cae - 12 - menos um e se menos conhecimento vai dar mais estão voltando a ter 2 mais um para três né então duas vezes 3 aqui ó tudo isso aqui multiplicando x - a elevada ao quadrado nesse caso o nosso a vale uma então vou ter aqui um x - um elevada ao quadrado somado ainda com um sobre dois que multiplica bem mas cá nosso bebê vale 2 nosso cavalo - um então vou ter dois mais menos um ou seja 2 - 1 que dá exatamente igual né então um sobre duas vezes um aqui então né beleza então o que está aqui vai simplificar ora isso aqui vai ser y igual a um sexto até 2 vezes três das seis chances - um quadrado x - um elevada ao quadrado mais um sobre dois meses um é o próprio 1 sobre dois então aqui nós finalizamos essa é a equação da parábola que tem como foco ponto 1 e 2 ea diretriz a reta y igual a -1 espero que tenha gostado até o próximo vídeo