O plano complexo

A unidade imaginária, ou $i$‍, é o número com as seguintes propriedades equivalentes:

Um número complexo é qualquer número que pode ser escrito como $a+bi$‍, sendo $i$‍ a unidade imaginária e $a$‍ e $b$‍ os números reais.

$a$‍ é chamado de parte $\text{real}$‍ do número, e $b$‍ é a parte $\text{imaginária}$‍ do número.

Assim como podemos usar a reta numérica para visualizar o conjunto de números reais, podemos usar o plano complexo para visualizar o conjunto de números complexos.

O plano complexo consiste em duas retas numéricas que se interceptam em um ângulo reto no ponto $(0,0)$‍.

A reta numérica horizontal (que conhecemos como o eixo $x$‍ no plano das coordenadas) é o eixo real.

A reta numérica vertical (o eixo $y$‍ do plano das coordenadas) é o eixo imaginário.

Todo número complexo pode ser representado por um ponto no plano complexo.

Por exemplo, considere o número $3-5i$‍. Este número, também expressado como $3+(-5)i$‍, tem uma parte real de $3$‍ e uma parte imaginária de $-5$‍.

A posição desse número no plano complexo é o ponto que corresponde a $3$‍ no eixo real e $-5$‍ no eixo imaginário.

Então, o número $3+(-5)i$‍ está associado ao ponto $(3,-5)$‍. Em geral, o número complexo $a+bi$‍ corresponde ao ponto $(a,b)$‍ no plano complexo.

Na época de Pitágoras, a existência de números irracionais foi uma descoberta surpreendente! Eles imaginaram como algo como $\sqrt{2}$‍ poderia existir sem uma expansão decimal precisa e completa.

A reta numérica real, contudo, ajuda-nos a lidar com esse dilema. Por quê? Porque $\sqrt{2}$‍ tem uma posição específica na reta numérica real, mostrando que ele é, de fato, um número real. (Se você pegar a diagonal de um quadrado unitário e colocar uma extremidade em $0$‍, a outra extremidade corresponde ao número $\sqrt{2}$‍).

Da mesma forma, todo número complexo de fato existe porque ele corresponde a uma posição exata no plano complexo! Talvez, sendo capazes de visualizar esses números, podemos entender que chamá-los de "imaginários" foi um infeliz equívoco.

Números complexos existem e são parte importante da matemática. A reta numérica real é simplesmente o eixo real do plano complexo, mas há muito mais além dessa única reta!