Aprenda sobre a unidade imaginária i, sobre números imaginários e sobre as raízes quadradas de números negativos.
Em seus estudos na matemática, você deve ter percebido que algumas equações de segundo grau não têm soluções com números reais.
Por exemplo, tente o quanto quiser, mas você nunca vai encontrar uma solução com um número real para a equação x2=1x^2=-1. Isso porque é impossível tirar a raiz quadrada de um número real e obter um valor negativo!
Contudo, uma solução para a equação x2=1x^2=-1 existe em um novo sistema numérico chamado sistema dos números complexos.

A unidade imaginária

A espinha dorsal desse novo sistema numérico é a unidade imaginária, ou o número ii.
O que temos a seguir é verdade sobre o número ii:
  • i=1i=\sqrt{-1}
  • i2=1 i^2=-1
A segunda propriedade nos mostra que o número ii é de fato uma solução para a equação x2=1x^2=-1. A equação, anteriormente impossível de se resolver, agora pode ser resolvida com a adição da unidade imaginária!

Números imaginários puros

O número ii nunca está sozinho! Tirando múltiplos dessa unidade imaginária, podemos criar infinitos novos números reais imaginários.
Por exemplo, 3i3i, i5i\sqrt{5}, e 12i-12i são exemplos de números puramente imaginários, ou números na forma bibi, sendo bb um número real diferente de zero.
Elevar esses números ao quadrado nos dá alguma noção de como eles se relacionam com os números reais. Vamos investigar isso elevando 3i3i ao quadrado. As propriedades dos expoentes inteiros continuam as mesmas, então podemos elevar 3i3i ao quadrado como imaginamos.
(3i)2=32i2=9i2\begin{aligned}(3i)^2&=3^2i^2\\ \\ &=9{i^2}\\\\ \end{aligned}
Usando o fato de que i2=1i^2=-1, podemos simplificar mais um pouco, como mostrado.
(3i)2=9i2=9(1)=9\begin{aligned}\phantom{(3i)^2} &=9\goldD{i^2}\\\\ &=9(\goldD{-1})\\\\ &=-9 \end{aligned}
O fato de que (3i)2=9(3i)^2=-9 significa que 3i3i é uma raiz quadrada de 9-9.

Teste seu conhecimento

Dessa forma, podemos ver que números puramente imaginários são raízes quadradas de números negativos!

Simplificação de números imaginários puros

A tabela abaixo mostra exemplos de números puramente imaginários na forma simplificada e na forma não simplificada.
Forma não simplificadaForma simplificada
9\sqrt{-9}3i3i
5\sqrt{-5}i5i\sqrt{5}
144-\sqrt{-144}12i-12i
Mas como simplificamos esses números puramente imaginários?
Vamos analisar melhor o primeiro exemplo e ver se podemos pensar por meio da simplificação.
Equivalência originalProcesso de reflexão
9=3i\begin{aligned}\sqrt{-9} = 3i \end{aligned}A raiz quadrada de 9-9 é um número imaginário. A raiz quadrada de 99 é 33, então a raiz quadrada de 99 negativo é 3\textit 3 unidades imaginárias, ou 3i3i.
A propriedade a seguir explica o "processo de reflexão" acima em termos matemáticos.
Para a>0a>0, a=ia\Large\sqrt{-a}=i\sqrt{a}
Se juntarmos isso com o que já sabemos sobre a simplificação de radicais, podemos simplificar todos os números imaginários. Vamos ver um exemplo.

Exemplo

Simplifique 18\sqrt{-18}.

Solução

Primeiro, vamos ver que 18\sqrt{-18} é um número imaginário, já que ele é a raiz quadrada de um número negativo. Então, podemos começar reescrevendo 18\sqrt{-18} como i18i\sqrt{18}.
Em seguida, podemos simplificar 18\sqrt{18} usando o que já sabemos sobre a simplificação de radicais.
O trabalho é mostrado abaixo.
18=i18Para , a>0a=ia=i929  um fator quadrado perfeito de eˊ18=i92ab=ab quando a,b0=i329=3=3i2A multiplicaço  comutativaa˜eˊ\begin{aligned}\sqrt{-18}&=i\sqrt{18}&&\small{\gray{\text{Para $a>0$, $\sqrt{-a}=i\sqrt{a}$}}}\\\\ &=i\cdot\sqrt{9\cdot 2}&&\small{\gray{\text{$9$ é um fator quadrado perfeito de $18$}}}\\\\ &=i\sqrt{9}\cdot\sqrt{2}&&\small{\gray{\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b} \text{ quando } a, b\geq0}} \\\\ &=i\cdot 3\cdot \sqrt2&&\small{\gray{\sqrt{9}=3}}\\\\ &=3i\sqrt{2}&&\small{\gray{\text{A multiplicação é comutativa}}} \end{aligned}
Assim, temos que 18=3i2\sqrt{-18}=3i\sqrt{2}.

Vamos praticar com alguns problemas

Problema 1

Problema 2

Problema 3

Afinal, por que temos números imaginários?

A resposta é simples. A unidade imaginária ii nos permite encontrar soluções para muitas equações que não têm soluções com números reais.
Isso pode parecer estranho, mas na verdade é muito comum que equações não possam ser resolvidas em um sistema numérico mas possam ser resolvidas em outro, mais geral.
Temos aqui alguns exemplos com os quais você pode estar mais familiarizado.
  • Apenas com os números naturais, não podemos calcular x+8=1x+8=1; precisamos dos inteiros para isso!
  • Apenas com os números inteiros, não podemos calcular 3x1=03x-1=0; precisamos dos números racionais para isso!
  • Apenas com os números racionais, não podemos calcular x2=2x^2=2. Aqui entram os números irracionais e o sistema de números reais!
E então, apenas com os números reais, não podemos calcular x2=1x^2=-1. Precisamos dos números imaginários para isso!
Conforme você continua a estudar matemática, você começa a ver a importância desses números.
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