Aprenda a simplificar qualquer potência da unidade imaginária i. Por exemplo, simplifique i²⁷ como -i.
Sabemos que i=1i=\sqrt{-1} e que i2=1i^2=-1.
Mas e quanto a i3i^3? i4i^4? Outras potências inteiras de ii? Como podemos calculá-las?

Como calcular i3i^3 e i4i^4

As propriedades dos expoentes podem nos ajudar aqui! De fato, quando calculamos potências de ii, podemos aplicar as propriedades de expoentes que sabemos que são verdadeiras no sistema de números reais, contanto que os expoentes sejam inteiros.
Com isso em mente, vamos calcular i3i^3 e i4i^4.
Sabemos que i3=i2ii^3=i^2\cdot i. Mas como i2=1{i^2=-1}, vemos que:
i3=i2i=(1)i=i\begin{aligned} i^3 &= {{i^2}}\cdot i\\ \\ &={ (-1)}\cdot i\\ \\ &= \purpleD{-i} \end{aligned}
De forma semelhante, i4=i2i2i^4=i^2\cdot i^2. Novamente, usando o fato de que i2=1{i^2=-1}, temos o seguinte:
i4=i2i2=(1)(1)=1\begin{aligned} i^4 &= {{i^2\cdot i^2}}\\ \\ &=({ -1})\cdot ({-1})\\ \\ &= \goldD{1} \end{aligned}

Mais potências de ii

Vamos continuar! Vamos encontrar as próximas 44 potências de ii usando um método semelhante.
i5=i4i     Propriedades dos expoentes=1iComo i4=1=i\begin{aligned} \Large i^5 &= {i^4\cdot i}~~~~~&&\small{\gray{\text{Propriedades dos expoentes}}}\\ \\ &=1\cdot i&&\small{\gray{\text{Como $i^4=1$}}}\\ \\ &= \blueD i \end{aligned}
i6=i4i2Propriedades dos expoentes=1(1)Como  e i4=1i2=1=1\begin{aligned}\Large i^6 &= {i^4\cdot i^2}&&\small{\gray{\text{Propriedades dos expoentes}}}\\ \\ &=1\cdot (-1)&&\small{\gray{\text{Como $i^4=1$ e $i^2=-1$}}}\\ \\ &=\greenD{-1} \end{aligned}
i7=i4i3Propriedades dos expoentes=1(i)Como  e i4=1i3=i=i\begin{aligned}\Large i^7 &= {i^4\cdot i^3}&&\small{\gray{\text{Propriedades dos expoentes}}}\\ \\ &=1\cdot (-i)&&\small{\gray{\text{Como $i^4=1$ e $i^3=-i$}}}\\ \\ &=\purpleD{-i} \end{aligned}
i8=i4i4    Propriedades dos expoentes=11Como  i4=1=1\begin{aligned}\Large i^8 &= {i^4\cdot i^4~~~~}&&\small{\gray{\text{Propriedades dos expoentes}}}\\ \\ &=1\cdot 1&&\small{\gray{\text{Como $i^4=1$ }}}\\ \\ &=\goldD 1 \end{aligned}
Os resultados estão resumidos na tabela.
i1i^1i2i^2i3i^3i4i^4i5i^5i6i^6i7i^7i8i^8
i\blueD i1\greenD{-1}i\purpleD{-i}1\goldD 1i\blueD i1\greenD{-1}i\purpleD{-i}1\goldD 1

Um padrão emergente

Olhando para a tabela, parece que as potências de ii são um ciclo que forma a sequência i\blueD i, 1\greenD{-1}, i\purpleD{-i} e 1\goldD1.
Usando esse padrão, podemos calcular i20i^{20}? Vamos tentar!
A lista a seguir mostra os primeiros 2020 números na sequência de repetição.
\quadi\blueD i, 1\greenD{-1}, i\purpleD{-i}, 1\goldD 1, i\blueD i, 1\greenD{-1}, i\purpleD{-i}, 1\goldD 1, i\blueD i, 1\greenD{-1}, i\purpleD{-i}, 1\goldD 1, i\blueD i, 1\greenD{-1}, i\purpleD{-i}, 1\goldD 1, i\blueD i, 1\greenD{-1}, i\purpleD{-i}, 1\goldD 1
De acordo com essa lógica, i20i^{20} deve ser igual a 1\goldD 1. Vamos ver se conseguimos manter isso usando expoentes. Lembre-se, podemos usar as propriedades dos expoentes aqui da mesma forma que fazemos com números reais!
i20=(i4)5Propriedades dos expoentes=(1)5i4=1=1Simplifique\begin{aligned} i^{20} &= (i^4)^5&&\small{\gray{\text{Propriedades dos expoentes}}}\\ \\ &= (1)^5 &&\small{\gray{i^4=1}}\\\\ &= \goldD 1 &&\small{\gray{\text{Simplifique}}}\end{aligned}
De qualquer forma, vemos que i20=1i^{20}=1.

Potências maiores de ii

Suponha que agora queiramos calcular i138i^{138}. Poderíamos listar a sequência i\blueD i, 1\greenD{-1}, i\purpleD{-i}, 1\goldD 1,... até o 138o138^\text{o} termo, mas isso levaria muito tempo!
Observe, contudo, que i4=1i^4=1, i8=1i^8=1, i12=1i^{12}=1, etc., ou, em outras palavras, que ii elevado a um múltiplo de 44 é 11.
Podemos usar esse fato junto com as propriedades dos expoentes para nos ajudar a simplificar i138i^{138}.

Exemplo

Simplifique i138i^{138}.

Solução

Embora 138138 não seja um múltiplo de 44, o número 136136 é! Vamos usar isso para nos ajudar a simplificar i138i^{138}.
i138=i136i2Propriedades dos expoentes=(i434)i2136=434=(i4)34i2Propriedades dos expoentes=(1)34i2i4=1=11i2=1=1\begin{aligned} i^{138} &=i^{136}\cdot i^2 &&\small{\gray{\text{Propriedades dos expoentes}}}\\\\ &=(i^{4\cdot 34})\cdot i^2&&\small{\gray{136=4\cdot 34}} \\\\ &=(i^{4})^{34}\cdot i^2&&\small{\gray{\text{Propriedades dos expoentes}}} \\\\ &=(1)^{34}\cdot i^2 &&\small{\gray{\text{$i^4=1$}}}\\\\ &=1\cdot -1&&\small{\gray{\text{$i^2=-1$}}}\\\\ &=-1 \end{aligned}
Então, i138=1i^{138}=-1.
Agora você pode perguntar por que escolhemos escrever i138i^{138} como i136i2i^{136}\cdot i^2.
Bem, se o expoente original não for um múltiplo de 44, então encontrar o múltiplo de 44 mais próximo que seja menor a ele nos permite simplificar a potência para ii, i2i^2, ou i3i^3 simplesmente usando o fato de que i4=1i^4=1.
Esse número é fácil de encontrar se você dividir o expoente original por 44. Ele é simplesmente o quociente (sem o resto) vezes 44.

Vamos praticar com alguns problemas

Problema 1

Problema 2

Problema 3

Desafio

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