Introdução à combinação de funções

Familiarize-se com a ideia de que podemos somar, subtrair, multiplicar ou dividir duas funções para criar uma nova função.
Assim como podemos somar, subtrair, multiplicar e dividir números, também podemos somar, subtrair, multiplicar e dividir funções.

A soma de duas funções

Parte 1: Criando uma nova função por meio da soma de duas funções

Vamos somar f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, plus, 1 e g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x para criar uma nova função.
Vamos chamar essa nova função de h. Então, temos:
h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis, plus, g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, x, plus, 1

Parte 2: Calculando uma função combinada

Também podemos calcular funções combinadas para entradas específicas. Vamos calcular a função h acima para x, equals, 2. Abaixo, há duas formas de fazer isso.
Método 1: Substitua x, equals, 2 na função combinada h.
h(x)=3x+1h(2)=3(2)+1=7\begin{aligned}h(x)&=3x+1\\\\ h(2)&=3(2)+1\\\\ &=\greenD{7} \end{aligned}
Método 2: Encontre f, left parenthesis, 2, right parenthesis e g, left parenthesis, 2, right parenthesis e some os resultados.
Como h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis, plus, g, left parenthesis, x, right parenthesis, também podemos encontrar h, left parenthesis, 2, right parenthesis por meio da soma f, left parenthesis, 2, right parenthesis, plus, g, left parenthesis, 2, right parenthesis.
Primeiro, vamos encontrar f, left parenthesis, 2, right parenthesis:
f(x)=x+1f(2)=2+1=3\begin{aligned}f(x)&= {x + 1}\\\\ f(2)&=2+1 \\\\ &=3\end{aligned}
Agora, vamos encontrar g, left parenthesis, 2, right parenthesis:
g(x)=2xg(2)=22=4\begin{aligned}g(x)&={2x}\\\\ g(2)&=2\cdot 2 \\\\ &=4\end{aligned}
Então, f, left parenthesis, 2, right parenthesis, plus, g, left parenthesis, 2, right parenthesis, equals, 3, plus, 4, equals, start color greenD, 7, end color greenD.
Observe que substituir x, equals, 2 diretamente na função h e encontrar f, left parenthesis, 2, right parenthesis, plus, g, left parenthesis, 2, right parenthesis nos dá a mesma resposta!

Agora, vamos tentar resolver alguns problemas.

Nos problemas 1 e 2, sejam f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, x, plus, 2 e g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, minus, 3.

Problema 1

Encontre f, left parenthesis, x, right parenthesis, plus, g, left parenthesis, x, right parenthesis.

Problema 2

Calcule f, left parenthesis, minus, 1, right parenthesis, plus, g, left parenthesis, minus, 1, right parenthesis.
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, p, i ou 2, slash, 3, space, p, i

Temos aqui algumas formas de encontrar a resposta.
Método 1: Encontre f, left parenthesis, minus, 1, right parenthesis e g, left parenthesis, minus, 1, right parenthesis separadamente. Então, some as duas.
Primeiro, vamos encontrar f, left parenthesis, minus, 1, right parenthesis:
f(x)=3x+2f(1)=3(1)+2=1\begin{aligned} f(x) &=3x+2\\\\ f(-1)&= 3(-1)+2\\\\ &= -1\end{aligned}
Agora, vamos encontrar g, left parenthesis, minus, 1, right parenthesis:
g(x)=x3g(1)=13=4\begin{aligned} g(x) &=x-3\\\\ g(-1)&= -1-3\\\\ &= -4\end{aligned}
Então, f, left parenthesis, minus, 1, right parenthesis, plus, g, left parenthesis, minus, 1, right parenthesis, equals, minus, 1, plus, left parenthesis, minus, 4, right parenthesis, equals, start color greenD, minus, 5, end color greenD
Método 2: Encontre f, left parenthesis, x, right parenthesis, plus, g, left parenthesis, x, right parenthesis primeiro, e então calcule essa expressão quando x, equals, minus, 1.
Quando x, equals, minus, 1, essa expressão é igual a 4, left parenthesis, minus, 1, right parenthesis, minus, 1 ou start color greenD, minus, 5, end color greenD.

Uma conexão gráfica

Também podemos entender o que significa somar duas funções olhando para os seus gráficos.
Os gráficos de y, equals, m, left parenthesis, x, right parenthesis e y, equals, n, left parenthesis, x, right parenthesis são mostrados abaixo. No primeiro gráfico, observe que m, left parenthesis, 4, right parenthesis, equals, 2. No segundo gráfico, observe que n, left parenthesis, 4, right parenthesis, equals, 5.
Seja p, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, m, left parenthesis, x, right parenthesis, plus, n, left parenthesis, x, right parenthesis. Agora, olhe para o gráfico de y, equals, p, left parenthesis, x, right parenthesis. Observe que p, left parenthesis, 4, right parenthesis, equals, start color blueD, 2, end color blueD, plus, start color maroonD, 5, end color maroonD, equals, start color purpleD, 7, end color purpleD.
Desafie-se a ver que p, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, m, left parenthesis, x, right parenthesis, plus, n, left parenthesis, x, right parenthesis para todo valor de x olhando para os três gráficos.

Vamos praticar.

Problema 3

Os gráficos de y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis e y, equals, g, left parenthesis, x, right parenthesis são mostrados abaixo.
Qual é a melhor aproximação para f, left parenthesis, 3, right parenthesis, plus, g, left parenthesis, 3, right parenthesis?
Escolha 1 resposta:
Escolha 1 resposta:

Podemos usar os gráficos de y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis e y, equals, g, left parenthesis, x, right parenthesis para encontrar f, left parenthesis, 3, right parenthesis e g, left parenthesis, 3, right parenthesis.
O gráfico abaixo mostra que f, left parenthesis, 3, right parenthesis, equals, 6.
O gráfico abaixo mostra que g, left parenthesis, 3, right parenthesis, equals, 3.
Então, f, left parenthesis, 3, right parenthesis, plus, g, left parenthesis, 3, right parenthesis, equals, 6, plus, 3, equals, 9.

Outras formas de combinar funções

Todos os exemplos que vimos até agora criam uma nova função por meio da soma de duas funções, mas você também pode subtrair, multiplicar e dividir duas funções para criar outras novas!
Por exemplo, se f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, plus, 3 e g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, minus, 2, então podemos não apenas encontrar a soma, mas também...
... a diferença.
f(x)g(x)=(x+3)(x2)       Substitua.=x+3x+2             Distribua o sinal negativo=5                                  Combine os termos semelhantes.\begin{aligned}f(x)-g(x)&=(x+3)-(x-2)~~~~~~~\small{\gray{\text{Substitua.}}}\\\\ &=x+3-x+2~~~~~~~~~~~~~\small{\gray{\text{Distribua o sinal negativo}}}\\\\ &=5~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\small{\gray{\text{Combine os termos semelhantes.}}}\end{aligned}
... o produto.
f(x)g(x)=(x+3)(x2)            Substitua.=x22x+3x6        Distribua.=x2+x6                   Combine os termos semelhantes.\begin{aligned}f(x)\cdot g(x)&=(x+3)(x-2)~~~~~~~~~~~~\small{\gray{\text{Substitua.}}}\\\\ &=x^2-2x+3x-6~~~~~~~~\small{\gray{\text{Distribua.}}}\\\\ &=x^2+x-6~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\small{\gray{\text{Combine os termos semelhantes.}}}\end{aligned}
... o quociente.
f(x)÷g(x)=f(x)g(x)=(x+3)(x2)                     Substitua.\begin{aligned}f(x)\div g(x)&=\dfrac{f(x)}{g(x)} \\\\ &=\dfrac{(x+3)}{(x-2)}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\small{\gray{\text{Substitua.}}} \end{aligned}
Feito isso, acabamos de criar três novas funções!

Desafio

p, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, t, plus, 2
q, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, t, minus, 1
r, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, t
Calcule p, left parenthesis, 3, right parenthesis, dot, q, left parenthesis, 3, right parenthesis, dot, r, left parenthesis, 3, right parenthesis, minus, p, left parenthesis, 3, right parenthesis.
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, p, i ou 2, slash, 3, space, p, i

Primeiro, vamos encontrar p, left parenthesis, 3, right parenthesis, q, left parenthesis, 3, right parenthesis, e r, left parenthesis, 3, right parenthesis substituindo t, equals, 3 em cada uma das fórmulas.
Primeiro, vamos encontrar p, left parenthesis, 3, right parenthesis:
p(t)=t+2p(3)=3+2=5\begin{aligned}p(t) &=t+2\\\\ p(3)&= 3+2\\\\ &=\blueD5\end{aligned}
Em seguida, vamos encontrar q, left parenthesis, 3, right parenthesis:
q(t)=t1q(3)=31=2\begin{aligned} q(t) &=t-1\\\\ q(3)&= 3-1\\\\ &=\purpleC2\end{aligned}
Por fim, vamos encontrar r, left parenthesis, 3, right parenthesis:
r(t)=tr(3)=3=3\begin{aligned} r(t) &=t\\\\ r(3)&= 3\\\\ &=\goldD3\end{aligned}
Agora, podemos encontrar p, left parenthesis, 3, right parenthesis, dot, q, left parenthesis, 3, right parenthesis, dot, r, left parenthesis, 3, right parenthesis, minus, p, left parenthesis, 3, right parenthesis da seguinte forma:
p(3)q(3)r(3)p(3)=5235=305=25\begin{aligned} p(3) \cdot q(3) \cdot r(3) - p(3)&= \blueD5\cdot \purpleC2\cdot \goldD3-\blueD5 \\\\ &= 30-5 \\\\ &= 25 \end{aligned}
Também poderíamos encontrar p, left parenthesis, t, right parenthesis, dot, q, left parenthesis, t, right parenthesis, dot, r, left parenthesis, t, right parenthesis, minus, p, left parenthesis, t, right parenthesis primeiro, e então encontrar o valor dessa expressão quando t, equals, 3. Contudo, isso seria mais complicado, já que o resultado seria um polinômio de terceiro grau!