Exemplos com passo a passo, explicações e problemas práticos para aprender a encontrar e calcular funções compostas.
Dadas duas funções, podemos combiná-las de maneira que as saídas de uma função se tornem as entradas da outra. Isso define uma função composta. Vamos ver o que isso significa!

Calculando funções compostas

Exemplo

Se f(x)=3x1f(x)=3x-1 e g(x)=x3+2g(x)=x^3+2, então quanto é f(g(3))f(g(3))?

Solução

Uma forma de calcular f(g(3))f(g(3)) é fazer os cálculos de "dentro para fora". Em outras palavras, vamos calcular g(3)g(3) primeiro e então substituir esse resultado em ff para encontrar nossa resposta.
Vamos calcular g(3)g({3}).
g(x)=x3+2g(3)=(3)3+2                   Insira x=3.=29\begin{aligned}g(x)&=x^3+2\\\\ g(3)&=({3})^3 +2~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\small{\gray{\text{Insira }x={3.}}}\\\\ &={29}\end{aligned}
Como g(3)=29g(3)=29, então f(g(3))=f(29)f(g(3))=f(29).
Agora, vamos calcular f(29)f({29}).
f(x)=3x1f(29)=3(29)1               Insira x=29.=86\begin{aligned}f(x)&=3x-1\\\\ f( {{29}})&=3({29}) - 1~~~~~~~~~~~~~~~\small{\gray{\text{Insira }x= {29.}}}\\\\ &={86}\\\\ \end{aligned}
Temos que f(g(3))=f(29)=86f(g({3}))=f( {29})={86}.

Encontrando a função composta

No exemplo acima, a função gg levou de 33 para 2929, e então a função ff levou de 2929 para 8686. Vamos encontrar a função que leva 33 diretamente para 8686.
Para isso, precisamos compor as duas funções e encontrar f(g(x))f(g(x)).

Exemplo

Quanto é f(g(x))f(g(x))?
Como referência, lembre-se de que f(x)=3x1f(x)=3x-1 e g(x)=x3+2g(x)=x^3+2.

Solução

Se analisarmos a expressão f(g(x))f(\maroonD{g(x)}), veremos que g(x)\maroonD{g(x)} é a entrada da função ff. Então, vamos substituir g(x)\maroonD {g(x)} sempre que virmos x\blueE x na função ff.
f(x)=3x1f(g(x))=3(g(x))1\begin{aligned}f(\blueE x)&=3\blueE x-1\\\\ f(\maroonD{g(x)}) &= 3(\maroonD{g(x)})-1 \\ \end{aligned}
Como g(x)=x3+2{{g(x)}={x^3+2}}, podemos substituir x3+2{x^3+2} por g(x){g(x)}.
f(g(x))=3(g(x))1=3(x3+2)1=3x3+61=3x3+5\begin{aligned}{f(g(x))}&=3(g(x))-1 \\\\ &=3({x^3+2})-1 \\\\ &=3x^3+6-1\\\\ &=3x^3+5 \end{aligned}
Essa nova função deve levar 33 diretamente para 86{86}. Vamos verificar.
f(g(x))=3x3+5f(g(3))=3(3)3+5=86\begin{aligned} f( g(x))&= 3x^3+5\\ \\ f( g( 3))&= 3( 3)^3+5 \\\\ &= {86} \end{aligned}
Excelente!

Vamos praticar

Problema 1

f(x)=3x1f(x)=3x-1
g(x)=x3+2g(x)=x^3+2

Problema 2

m(x)=3x2m(x)=3x-2
n(x)=x+4n(x)=x+4

Funções compostas: uma definição formal

No exemplo acima, encontramos e calculamos uma função composta.
Em geral, para indicar a função ff composta com a função gg, podemos escrever fgf \circ g, que é lido como "ff composta com gg". Essa composição é definida pela seguinte regra:
(fg)(x)=f(g(x))(f\circ g)(x)=f(g(x))
O diagrama abaixo mostra a relação entre (fg)(x)(f\circ g)(x) e f(g(x))f(g(x)).
Agora, vamos ver outro exemplo com essa nova definição em mente.

Exemplo

g(x)=x+4g(x)=x+4
h(x)=x22xh(x)=x^2-2x
Encontre (hg)(x)(h\circ g)(x) e (hg)(2)(h\circ g)(-2).

Solução

Podemos encontrar (hg)(x)(h\circ g)(x) como visto a seguir:
(hg)(x)=h(g(x))Defina.=(g(x))22(g(x))Insira g(x) para x na funço a˜h.=(x+4)22(x+4)Substitua g(x) por x+4.=x2+8x+162x8Distribua.=x2+6x+8Combine termos semelhantes.\begin{aligned}(h\circ g)(x)&=h(g(x))&\small{\gray{\text{Defina.}}}\\\\ &=(g(x))^2-2(g(x))&\small{\gray{\text{Insira } g(x) \text{ para } x\text{ na função }h.}}\\\\ &=({x+4})^2 -2({x+4})&\small{\gray{\text{Substitua } g(x) \text{ por } x + 4.}}\\\\ &=x^2+8x+16-2x-8&\small{\gray{\text{Distribua.}}}\\\\ &=x^2+6x+8&\small{\gray{\text{Combine termos semelhantes.}}}\end{aligned}
Como agora temos a função hgh\circ g, podemos simplesmente substituir 2-2 por xx para encontrar (hg)(2)(h\circ g)(-2).
(hg)(x)=x2+6x+8(hg)(2)=(2)2+6(2)+8=412+8=0\begin{aligned}(h\circ g)(x)&=x^2+6x+8\\\\ (h\circ g)(-2)&=(-2)^2+6(-2)+8\\\\ &=4-12+8\\\\ &=0\\\\ \end{aligned}
Claro, também poderíamos ter encontrado (hg)(2)(h\circ g)(-2) calculando h(g(2))h(g(-2)). Isso é mostrado abaixo:
(hg)(2)=h(g(2))=h(2)        Como g(2)=2+4=2=0             Como h(2)=222(2)=0\begin{aligned}(h\circ g)(-2)&=h(g(-2))\\\\ &=h(2)~~~~~~~~\small{\gray{\text{Como }g(-2)=-2+4=2}}\\\\ &=0~~~~~~~~~~~~~\small{\gray{\text{Como }h(2)=2^2-2(2)=0}}\\\\ \end{aligned}
O diagrama abaixo mostra como (hg)(2)(h\circ g)(-2) se relaciona com h(g(2))h(g(-2)).
Aqui, podemos ver que a função gg leva de 2-2 para 22 e que a função hh leva de 22 para 00, embora a função hgh\circ g leve 2-2 diretamente para 00.

Agora, vamos praticar com alguns problemas

Problema 3

f(x)=3x5f(x)=3x-5
g(x)=32xg(x)=3-2x
Nos problemas 4 e 5, sejam f(t)=t2f(t)=t-2 e g(t)=t2+5g(t)=t^2+5.

Problema 4

Problema 5

Desafio

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