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Como verificar se funções são inversas por meio da composição

Transcrição de vídeo

digamos que temos a função efe definida por fdx igual à x + 7 elevado ao cubo menos um vamos assumir também que temos aqui outra função g definida por gtx igual a raiz cúbica de x + 1 - 7 o que eu quero agora é obter efe dg de x e também pretende obter gdf dx mais uma vez sugiro que você pausa o vídeo tem se bem e tente obter isto tudo sozinho bem vamos começar a obter efe de gt x a ideia é que se f dx é definida como x + 7 álcool -1 fdg dx quer dizer que no lugar do x que seria a entrada à qual estamos aplicando a função f1 vai ser substituído por toda aquela expressão do gd x e isso significa que o fdg dx vai ser igual à lino fdx onde eu tenho x vou substituir pela raiz cúbica de x + 1 - 7 que é o gx ficando então com raiz kubica x + 1 - 7 que é o gtx mais sete que já tinha na definição do f tudo elevado ao cubo menos um então mais uma vez eu peguei a definição da função f ii onde havia x eu troquei por aquilo que eu estou colocando no lugar de x que é toda a expressão do gd x naturalmente vamos simplificar isso tudo aqui - 7 mais 7 vai cancelar então até agora ficamos com a raiz cúbica de x mais um tudo é levado ao cubo e ainda menos um agora evidentemente esta raiz cúbica de x mais um quando elevada ao cubo vai ser cancelada e eu fico simplesmente com o x mais um e ainda temos o - um sempre ficando isso tudo temos simplesmente x ou seja efe do gd x é igual a simplesmente x vamos agora verificar o que conseguimos com gdf dx o gtx é raiz kubica x + 1 tudo menos 7 agora o gdf dx significa que eu vou copiar a expressão do gx entretanto substituir o x pela expressão do fmx vou fazer pagar novamente aqui para que você compreenda bem gdf dx então igual a raiz cúbica de fdx que o que vai no lugar do x entrada fdx mais um - 7 teremos então a raiz cúbica de o fx é tudo aquilo x + 7 elevado ao cubo menos um e temos ainda o mais um da expressão que define o g e ainda menos sete bem aqui temos sorte o menos 1 + 1 vão cancelar eo x mais sete que sobrou elevado ao cubo que na raiz vai cancelar com a raiz e temos somente x mais sete neste pedaço então toda esta parte simplifica para x + 7 e ainda temos o menos sete da expressão do g1 e agora cancelando mais 7 - certificamos simplesmente com um x o gdf dx é simplesmente igual à x e temos agora evidentemente algo muito interessante o fdg do x é igual à x eo gdf dx também é igual à x o que estamos fazendo então aqui é colocar o xis como entrada na função g obtendo gtx ea esse resultado que é o gtx aplicar à função f1 e vamos obter fdx que já vimos que é igual à x ou seja partimos do x como entrada e depois de tudo isso obtivemos o próprio x como resultado ea mesma coisa está acontecendo aqui no gdf de x ou seja se colocamos x como entrada na função efe eu vou conseguir uma saída que é o fx ou seja o f aplicado à x agora o fx vai ser entrada na função g vamos aplicar à função g ao fdx e hoje aplicado ao fdx nos dá novamente x ou seja fiz a ida ea volta temos aqui duas composições funções portanto duas funções compostas mas vamos olhar para isto de mais uma maneira colocando um diagrama aqui para representar neste primeiro círculo vou ter todas as possíveis entradas para uma das funções que seria justamente o domínio e no segundo círculo todos os possíveis resultados ou todas as possíveis saídas que seria justamente o conjunto da imagem vou representar primeiro esta é a nossa primeira situação eu tinha uma certa entrada x a qual eu apliquei a função g e o que eu vou obter lá no outro conjunto é o gd x e seu aplicar à função efe a este resultado ao gd x eu volto para o x que eu tinha originalmente no domínio e isso é o fdg de x e vice versa se você começa com um x e aplica o fdx antes ou seja tem um xis aqui vou aplicar à função efe e vou obter a saída fdx e agora seu aplicar à função g a esta saída ou seja hoje aplicado ao fdx eu vou voltar a obter o valor original x então aqui temos g&d fdx a função já é aplicada ao fdx das duas formas ou seja partindo de x aplicando primeira função efe depois a g ou partindo de x aplicando primeira função g e depois a função efe eu volto para o x isso significa que as funções fg neste exemplo são inversas com uma da outra e nós podemos escrever aqui fdx é igual ao inversa do gd x indicamos por g - um de she's a inversa do gx e vice-versa ou seja gtx é igual a inversa da função efe ou seja efe - um de x é isso aí até o próximo vídeo