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Como encontrar os zeros dos polinômios (1 de 2)

Transcrição de vídeo

RKA - Vamos analisar essa questão. Nós temos um polinômio de grau 5, e ele pede que determine as raízes reais. O que significa isso? Quando P(x) é igual a 0. Quais são os valores de x que tornam essa função polinomial nula? Quantas interseções P(x) faz com o eixo das abscissas? Então, vamos dar uma olhada aqui... O que significa isso? Vamos desenhar um eixo... Aqui das ordenadas, o eixo das abscissas... Aqui é x, aqui é y. E vamos desenhar uma função qualquer. Você tem uma função qualquer, e... O que significa interseção com eixo das abscissas? São essas interseções. Uma, duas, três, quatro, cinco interseções. Cada interseção dessa significa que o y é 0. Esse ponto, onde ela cruza com o eixo x, é uma raiz da nossa função. Portanto, aqui é para uma função qualquer. Vamos ver para essa função polinomial. Vou tirar aqui para ocupar menos espaço. Bem, então, temos mais outra questão. Qual das interseções tem o menor valor de x? Muito bem. A primeira coisa que eu gostaria de salientar, é que, examinando esse polinômio P(x), x elevado à 5ª mais 9x à 3ª menos 2x à 3ª menos 18x... E agora nós vamos igualar ele a 0, porque nós queremos determinar as raízes... Você pode estar se perguntando por que não foi feita essa subtração aqui. Em um outro vídeo, vamos fazer essa subtração. Vamos mostrar por que não foi feita essa subtração para esse determinado polinômio. Um polinômio de grau 5 é de difícil resolução. A única forma que nós temos para facilitar o nosso trabalho é fatorar. O primeiro fator que nós podemos encontrar aqui é x. x é comum a todas as parcelas. Portanto, eu posso escrever: x vezes x à 4ª mais 9x à 2ª... Não vamos fazer essa subtração ainda. Menos 2x à 2ª menos 18, fecha o parêntese, igual a 0. Então, nós colocamos um fator x do lado de fora, que já é uma das nossas raízes. Nós queremos saber uma das raízes, o conjunto solução, que pertença aos reais. Pois nós podemos ter raízes complexas, e vamos ver raízes complexas em outro vídeo da Khan Academy. Então, uma das soluções é x igual a 0. Pois, se x for 0, todos esses membros aqui se tornam 0. Ou seja, a soma de todas essas parcelas será 0. E, obviamente, o polinômio será igual a 0. Ou seja, nós temos 0 aqui numa das soluções. Vamos botar aqui as soluções, lembrando que nós estamos tratando de soluções pertencentes aos reais. Agora vem a pergunta: por que nós não fizemos essa subtração? Quando nós vamos fazer evidenciações em polinômios para encontrar os fatores, para que facilite nossa vida, para que facilite achar as raízes, nós temos que adequar o polinômio a certas características para que fique evidenciado como nós vamos proceder para podermos fazer uma evidência e depois de ter sido feita uma evidência, podemos colocar uma outra evidência em cima da primeira. O que eu quero dizer é o seguinte: Nós temos esse termo aqui, x à 4ª mais 9x à 2ª. E temos esse segundo termo aqui, -2x à 2ª menos 18. O que eles têm em comum? 18 ou menos 18 é duas vezes 9. Não estou levando em consideração aqui o sinal... E -2 é duas vezes 1. Também não estou levando em consideração o sinal, apenas em valores absolutos. Então, isso é uma característica interessante. Ou seja, se eu colocar -2 em evidência, eu vou ter x ao quadrado mais 9 desse lado. Isso é importante, vamos colocar sempre igual a 0 no final. E aqui vamos colocar um parêntese, porque aqui no x tem um parêntese. Se nós quisermos ter esse fator, x ao quadrado mais 9, nós devemos colocar desse lado x ao quadrado em evidência, e ficamos com x ao quadrado mais 9. Ou seja, agora nós temos dois fatores que são iguais. Esses dois fatores que são iguais... Eu posso fazer uma segunda associação. Ou seja, eu posso colocar em evidência x ao quadrado mais 9. Coloquei em evidência x ao quadrado mais 9. Então, x ao quadrado mais 9 vezes x ao quadrado dividido por x ao quadrado mais 9, vai dar x ao quadrado. E, desse lado, temos -2 vezes x ao quadrado mais 9 dividido por x ao quadrado mais 9. Nós vamos ter -2. Isso tudo é igual a 0, e não esquecemos do x. Veja como ficou simples a resolução do nosso polinômio. Ou seja, a resolução das raízes do nosso polinômio. Uma eu sei que é 0. Pois, se eu colocar x igual a 0, todo esse polinômio vai ser zerado. Outras são as raízes complexas, imaginárias. Pois, um número muito negativo ao quadrado ou um número muito positivo ao quadrado... O menor que ele pode assumir é 0. E, somado com 9 nunca esse termo, nos números reais, vai dar 0. Ou seja, se eu tenho x ao quadrado mais 9 igual a 0, eu tenho x ao quadrado igual a -9, e x tem que ser igual à raiz quadrada de -9. E isso aqui não pertence ao conjunto dos reais. Nesse lado de cá, nós temos duas raízes. Nós temos x ao quadrado menos 2 igual a 0. Ou seja, x ao quadrado é igual a 2. E você se pergunta: "Quais são os números que, elevados ao quadrado, dão 2?". Ou seja, você não pode só tirar a raiz. Você tem duas raízes que satisfazem essa equação: Menos raiz de 2 e mais raiz de 2. Ou seja, se menos raiz de 2 for elevada ao quadrado, dá 2. Se mais raiz de 2 for elevada ao quadrado, dá 2. Ou seja, nós podemos escrever esse nosso fator, que representa nosso polinômio P(x)... Ou seja, nós vamos colocar aqui igual, igual, igual, igual. Como x ao quadrado mais 9, que não vamos considerar porque tem as raízes complexas e está pedindo apenas as raízes reais. Colocamos esse primeiro termo como x mais raiz de 2. Ou seja, se x for igual a menos raiz de 2... Menos raiz de 2 mais raiz de 2 dá... Esse termo se anula. Multiplicando por x menos raiz de 2. Ou seja, se x for igual a mais raiz de 2, esse termo aqui se anula. Respondendo às questões que foram feitas, o número de raizes é igual a 3. Nós temos menos raiz de 2 mais raiz de 2 e 0. Como raízes reais, temos mais um conjugado complexo que não estamos levando em consideração. E a menor raiz, ou seja, a menor interseção com o eixo x é quando x é igual a menos raiz de 2.