Introdução à simetria de funções

RKA - Existem algumas funções que têm propriedades especiais e é muito bom reconhecer essas propriedades especiais porque elas podem ser muito úteis depois em algumas questões, ou em alguns problemas que a gente tenta resolver. E eu vou tentar, nesse vídeo, falar sobre três casos de funções especiais; que são, no caso, as funções pares (eu vou fazer do lado esquerdo da tela as funções pares), as funções ímpares (que eu vou fazer no lado direito da tela; ímpares), e, depois, se sobrar tempo, eu vou falar sobre as funções que não são nem pares, nem ímpares. Então, para começar a falar das funções pares, eu poderia direto dar aqui a definição formal matemática; só que eu acho que fica muito mais difícil de entender do que que se trata. Então, para tentar explicar isso de uma maneira mais fácil, eu vou primeiro desenhar aqui um eixo "y" e um eixo "x", vou desenhar um gráfico cartesiano aqui para vocês, então eu vou tentar representar graficamente o que uma função par é. Deixa eu fazer reto, assim e assim. Então, aqui vai ser o meu eixo "y = f(x)" e aqui vai ser meu eixo "x". Então, o que que é uma função par? Uma função par, por exemplo, eu vou escolher... uma função qualquer eu vou escolher... que é uma função par, para analisar nesse caso. Eu vou escolher a função "f(x) = x²". Eu vou representar isso daqui graficamente aqui nesse gráfico e vocês já vão entender do que que uma função par se trata. Então, vamos lá. Vai ser mais ou menos assim para esse lado... essa é a função "f(x) = x²". E, no outro lado, eu vou tentar fazer igual, mas acho que não vai ficar muito simétrico aqui. Essa função... ficou mais ou menos simétrico aqui, mas dá a entender que os dois lados são iguais... essa função é uma função par, justamente, porque, como vocês podem perceber aqui, existe essa simetria entre o que está à direita do gráfico e o que está à esquerda do gráfico. Esses dois lados são simétricos; é como se eu pegasse esse lado aqui e, simplesmente, girasse-o através de um espelho, e ele fosse ficar igualzinho desse lado aqui. Não é a definição formal, não é nada bonito matematicamente falar isso, só que é como se esse eixo "y" fosse uma espécie de espelho e, para analisar se uma função é par ou ímpar, a gente justamente usa esse espelho para ver se as duas funções são simétricas em relação a ele. Então, para mostrar... eu vou escolher, agora, um valor qualquer; vamos escolher 2, eu vou escolher "x = 2". Vai ser mais ou menos por aqui. E qual que vai ser o valor de f(x), que no caso é "x²", quando "x" for 2? Vai ser 4. Então, quando "x" for igual a 2, f(x) vai ser igual a 4. E, aí, que entra a parte interessante matemática do que faz uma função ser par ou não. Quando a gente for calcular o f(-2), vocês também... vai ser mais ou menos por aqui... vocês também vão poder notar que o valor dele vai ser igual a 4. E eu poderia começar direto pela prova matemática, pela definição formal disso, só que seria muito mais difícil de vocês perceberem. Então, o que realmente faz essa função ser par é a seguinte condição: uma função só é par se, e somente se, f(x) for igual a f(-x). No caso que eu escolhi, da função "x²", vamos fazer com o "x = 2". f(2) tem que ser igual a f(-2). Então, 2² é igual a 4. (2² é igual a 4). E, ao mesmo tempo, (-2)² é igual a 4 também. Ou seja, essa função é par porque ela satisfaz essa condição daqui. Eu posso também fazer outros exemplos de funções pares, por exemplo... deixa eu escolher uma função aqui. Vou fazer outro gráfico aqui. Vou tentar fazê-lo o mais reto possível; aqui. Então, aqui eu tenho o eixo "y = f(x)", e aqui eu tenho o eixo "x" (assim como no exemplo em cima). Eu poderia, por exemplo, pegar uma função que não tem nada a ver com número elevado ao expoente; até porque isso é uma coisa interessante de notar que as pessoas fazem uma seguinte assimilação: funções pares são elevadas a expoentes pares. Isso não é uma coisa bem correta (na verdade, isso vai ser tema do próximo vídeo), então, não vão muito por isso porque o exemplo que eu vou mostrar agora aqui embaixo de uma função trigonométrica cosseno mostra que isso daqui... que dizer que uma função par é sempre elevada a um expoente par não é muito... muito seguro para se identificar a função. Então, se eu fosse agora analisar a função cosseno... (ou melhor, deixa eu escrever em outra cor aqui... eu escrevi em amarelo)... se eu fosse analisar "f(x) = cos(x)", a gente veria um gráfico mais ou menos assim. Assim, ele continua aqui para esse lado, e assim e continua aqui para esse lado. Vamos de novo usar a técnica do espelho que eu falei ali em cima e vamos fingir que esse eixo "y" aqui, que eu estou olhando no meio, é um espelho. Tudo o que estiver para esse lado, vai ter que estar simetricamente posicionado nesse lado aqui. E, realmente, é o que a gente consegue ver com a função "cos(x)". Ou seja, ela é uma função par, porque o que está nesse lado vai ser igual ao que estiver nesse lado. E, agora, a gente pode passar direto para as funções ímpares, que vão ser uma definição geométrica, olhando pelo gráfico, basicamente o inverso do que uma função par é. Então, eu vou desenhar aqui mais um gráfico, agora, para as funções ímpares. E eu vou escolher uma função ímpar bem fundamental, assim como eu fiz no primeiro exemplo das funções pares, que, no caso, vai ser a função... (deixa eu pegar a cor amarela como sempre)... "f(x) = x³". De novo, esse 3 aqui é um número ímpar, só que essa relação não é muito bom fazer, como eu expliquei antes... isso vai ser tema de um próximo vídeo... não é porque o número aqui é ímpar que a função necessariamente é ímpar. Então, vamos fazer o gráfico dessa função; ele vai ficar alguma coisa assim. Mais ou menos assim para esse lado, e assim para esse lado. Então, se a gente fosse agora tentar olhar por esse exemplo da simetria aqui no eixo "y"... (deixa eu só... eixo "y" e eixo "x")... se a gente fosse buscar novamente a simetria, se gente fosse querer que esse lado fosse simétrico a esse, a gente não obteria sucesso porque, como vocês podem perceber aqui, para isso aqui ter uma simetria aqui, esse lado daqui (no caso, o segundo quadrante) teria que ser algo assim. E não é isso o que acontece; o gráfico vai para baixo, o gráfico segue em outra direção. A mesma coisa aqui embaixo; se a gente quisesse que esse lado fosse simétrico a esse, teria que existir alguma coisa mais ou menos assim. Então, como a gente pode perceber... vamos pegar, por exemplo... vamos pegar o valor "x = 2" novamente. Se a gente fizer f(2), o resultado vai ser 8. E vamos pegar -2. Se a gente pegar... (só deixa eu desenhar aqui, bem aqui)... se a gente, por acaso, pegar o valor 2... -2, no caso, perdão!... se a gente pegar f(-2) e calcular o valor, a gente vai chegar que o valor é -8, ou seja, completamente o inverso do que a gente viu no exemplo anterior, totalmente inverso desse valor que estava aqui em cima. E é justamente essa a grande sacada das funções ímpares. Uma função vai ser ímpar se, e somente se, f(x) for igual a -f(-x). Isso também pode ser escrito de outra forma que, no caso, seria só multiplicando os dois lados por -1. Então, no caso, ficaria "-f(x) = f(-x)". As duas formas são equivalentes (são duas formas de falar a mesma coisa), só que essa de cima é um pouco mais usual do que a de baixo. Então, se vocês por acaso virem em algum lugar a de baixo, saibam que se trata simplesmente da mesma coisa. E isso daqui, essa condição das funções ímpares, elas fazem justamente o inverso do que a função par faz. Enquanto uma função par cria uma simetria com o eixo "y", ou seja, esse lado aqui vai ser igual a esse lado aqui, [n]a função ímpar, esse lado aqui vai ser igual ao inverso desse lado aqui. Se a gente for pegar o valor de "y" aqui, 8 é igual ao inverso de -8, porque 8 é diferente de -8. Se a gente quiser fazer isso virar uma igualdade, a gente teria que botar que 8 é igual ao inverso (no caso, multiplicar por -1) de -8. Então, a função ímpar vai ser basicamente isso. E, como eu disse antes... (eu gosto de retificar isso porque é uma dúvida que surge entre os alunos, e é uma coisa que, geralmente, as pessoas costumam errar)... como eu disse antes, não é só porque o expoente é ímpar que a função necessariamente vai ser ímpar. Eu vou fazer mais uma função aqui. Da mesma maneira, eu vou pegar agora uma função trigonométrica, porque eu acho interessante analisar funções trigonométricas, porque elas, basicamente, começam a fazer parte das nossas vidas quando a gente começa a chegar em níveis um pouco mais avançados de matemática. Então, eu vou botar aqui; vamos analisar a função "sen(x)". Se eu for traçar o gráfico da função "sen(x)", ele vai se parecer... (deixa eu botar aqui "y" e "x")... se a gente for traçar o gráfico da função "sen(x)", ele vai se parecer mais ou menos com isso aqui. E aqui continua, e aqui. Não ficou muito igual, mas acho que vocês conseguiram entender aonde isso vai. Como vocês podem ver aqui, eu vou pegar... analisar um pedaço menor dessa função aqui para ficar um pouco mais fácil de entender. Isso daqui, se a gente quisesse que esse pedaço daqui fosse simétrico em relação ao eixo "y" (no caso, para ser uma função par), ele teria que estar mais ou menos assim, aqui. E a gente consegue ver que não é isso o que acontece; ele vai para baixo, ele faz isso daqui. Então, essa função, a função "sen(x)" também é uma função ímpar. Só que, agora, tem que tomar muito cuidado porque existem funções que, embora pareçam ser par ou ímpar, não são nenhuma dessas... não estão classificadas em nenhum desses dois exemplos. Por exemplo, eu vou desenhar um gráfico aqui. E eu vou pegar a função "f(x) = x³ + 1". Bom, tem um expoente ímpar, só que, como eu disse antes, nem sempre isso garante que a função seja ímpar porque tem esse 1, tem um termo independente aqui atrás. E, se eu for fazer o gráfico dessa função, ele ficaria muito parecido com o dessa, lembraria muito o gráfico da função "x³", só que ele ficaria uma unidade acima no gráfico cartesiano. Então, ficaria mais ou menos assim e aqui ficaria mais ou menos assim. Bem, a gente pode olhar e dizer, tranquilamente, que existe uma simetria. Então, mais ou menos aqui. Só que, mesmo assim, essa simetria teria que estar aqui, orientada junto do eixo "x"... (espera, deixa eu fazer isso um pouco mais reto aqui)... junto do eixo "x". A simetria, aqui, dessa equação (no caso, com o "y = 1") não garante que essa função seja ímpar. Se eu for calcular o valor dessa função para "x = 2", aqui eu vou chegar que f(x)... no caso, f(2) vai ser igual a 9. E, se eu quiser satisfazer essa condição aqui, f(2) vai ter que ser igual a -f(-2). Vamos calcular -f(-2). Isso vai ser igual a (-2)³, que é -8... mais 1 vai dar -7... menos -7 (porque tem esse sinal aqui na frente) vai dar 7, ou seja, essa condição aqui não foi satisfeita, muito menos essa condição aqui (que, no caso, seria a nossa equação primordial da função par). Sendo assim, a função "x³ + 1" é uma função que não é par e não é ímpar. Então, existem três tipos de função: par; ímpar; e não par e não ímpar.