Números complexos e fatoração da soma de dois quadrados

RKA4JL – Olá, pessoal! Prontos para mais um vídeo? Há um tempo atrás, lá no curso de álgebra, a gente aprendeu a fatorar coisas do tipo (x² menos y²). Inclusive chamamos isso de diferença de quadrados. Vimos que essa expressão poderia ser escrita como (x mais y) multiplicado por (x menos y). Afinal, se eu multiplicar esses caras aqui, eu vou chegar novamente em (x² - y²), quer ver? Vamos fazer isso aqui, só para brincar um pouco. Se eu fizer x vezes x, eu tenho x². Se eu fizer x vezes -y, eu tenho -xy y vezes x, +xy e y vezes -y é -y². Esses carinhas eu acabo cancelando e o que me sobra é (x² menos y²), não é verdade? E agora vamos para o assunto principal desse vídeo, que vai ser tentar fatorar uma soma de quadrados ou seja, quero tentar fatorar essa expressão aqui: x² somado com y². Antes da gente aprender o que era um número imaginário e o que era um número complexo, não tinha como eu fazer essa fatoração. Mas agora, com os números complexos, a gente vai conseguir. Inclusive eu sugiro que você pause o vídeo e tente fazer antes de mim. Então vamos lá, vamos começar. Bom pessoal, a estratégia que eu vou usar aqui é tentar usar a unidade imaginária para fazer essa soma de quadrados virar uma diferença de quadrados, porque a diferença eu sei como fazer para fatorar. Então, primeiramente posso escrever esse x² mais y² como sendo x² subtraído de -y², afinal, “menos” com “menos” dá “mais”. Subtrair o oposto é a mesma coisa que somar, só que escrever -y² é a mesma coisa que fazer -1 vez y², ou seja, isso aqui é -1 vez y. E por definição, a gente tem que -1 é igual a 𝓲². Essa é a nossa definição de 𝓲². 𝓲² é igual a -1. Vamos reescrever agora este valor usando essa igualdade que a gente acabou de lembrar. Portanto, temos aqui x² menos… Agora, ao invés de usar -1, eu vou usar esse 𝓲². Então vai ficar x² menos 𝓲² vezes y². Agora eu acho que você percebeu aonde a gente vai com essa história aqui. Mas eu quero deixar isso bem explícito, bem mastigadinho para você. Então a gente tem que isso vai ser x² - (𝓲 vezes y)². Pronto, pessoal. Temos aqui nossa diferença de quadrados. Usando o nosso número 𝓲, a nossa unidade imaginária, consegui escrever essa soma de quadrados como se fosse uma diferença de quadrados. E diferença de quadrados a gente consegue fatorar. Isso aqui vai ser, então, x somado com 𝓲 vezes y e isso aqui vou multiplicar por (x menos 𝓲 vezes y), E pronto. Fizemos aqui a nossa fatoração de uma soma de quadrados. Podemos verificar multiplicando esses termos aqui e vendo que vai chegar em x² mais y², quer ver? Vamos fazer para nos divertir um pouquinho. Vamos lá. Realizando o produto, então, x vezes x, x². Agora x multiplicado por -𝓲 vezes y vai dar -𝓲xy mais 𝓲 y multiplicado por x vai dar +𝓲xy Para finalizar, mais 𝓲y multiplicado por -𝓲y vai dar -𝓲²y². E do que resultou aqui -𝓲xy com +𝓲xy, isso aqui dá zero. A gente pode cancelar. Novamente, por definição, 𝓲² é -1, então esse carinha aqui é -1. E menos -1 vai dar +1. Subtrair um negativo é a mesma coisa que somar. Então, sobrou aqui x² somado com y². Eu espero que com isso você tenha tido um deslumbre de algumas das utilidades da nossa unidade imaginária, do nosso 𝓲 . Afinal, com a ajuda do 𝓲 a gente conseguiu fatorar uma soma de quadrados. OK, pessoal. Espero que vocês tenham gostado e até o próximo vídeo!