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Números complexos e fatoração da soma de dois quadrados

Transcrição de vídeo

olá pessoal prontos para mais um vídeo há um tempo atrás lá no curso de álgebra a gente aprendeu a faturar coisas do tipo x quadrado - y quadrado inclusive chamamos isso de diferença de quadrados filmes que essa expressão poderia ser inscrito como x mais y x x - y afinal seu multiplicar esses caras aqui eu vou chegar novamente em x quadrado - y quadrado quer ver vamos fazer isso aqui só para brincar um pouco se eu fizer xx eu tenho x quadrado se eu fizer x vezes - y eu tenho - xy y e x + x y e y vezes - y é menos y ao quadrado esses carinhas eu acabo cancelando e o que me sobra é x quadrado - y quadrado na verdade e agora vamos para o assunto principal desse vídeo que vai ser tentar faturar uma soma de quadrados ou seja quero tentar faturar essa expressão aqui ó x quadrado somado com y ao quadrado antes da gente aprendeu que era um número imaginário que era um número complexo não tinha como fazer essa faturação mas agora com os números complexos a gente vai conseguir inclusive eu sugiro que você pausa o vídeo e tente fazer antes de mim então vamos lá vamos começar bom pessoal a estratégia que eu vou usar aqui é tentar usar a unidade imaginária pra fazer essa soma de quadrados virar uma diferença de quadrados porque a diferença eu sei como eu faço para faturar então primeiramente posso escrever esse x quadrado mais y enquadrado como sendo x quadrado subtraído de - y ao quadrado final o - com menos dá mais subtrair o oposto a mesma coisa que somar só que escrever - y quadrado é a mesma coisa que fazer - uma vez o y quadrado ou seja isso aqui é menos 1 vezes y e por definição a gente tem que menos um é igual a mim e ao quadrado essa é a nossa definição de cuadrado e quadrado é igual ao menos um vamos se inscrever agora este valor usando essa igualdade que a gente acabou de lembrar portanto temos aqui x ao quadrado - agora ao invés de usar o menos um eu vou usar esse e ao quadrado então vai ficar x ao quadrado - e quadrado vezes y quadrado agora eu acho que você percebeu pra onde que a gente vai com essa história aqui mas eu quero deixar isso bem explícito bem mastigado dinho pra você então a gente tem disso vai ser x ao quadrado - e vezes y elevada ao quadrado pronto pessoal temos aqui em nossa diferença de quadrados usando o nosso número e usando a nossa unidade imaginária conseguir escrever essa soma de quadrados como se fosse uma diferença de quadrados e diferença de quadrados a gente consegue faturar isso aqui vai ser então x somado com e visite long não é verdade isso aqui eu vou multiplicar por x - e vezes y e pronto fizemos aqui a nossa facturação de uma soma de quadrados podemos verificar podemos verificar multiplicando esses termos aqui e vendo que vai chegar em x quadrado mas isso ao quadrado quer ver vamos fazer para nos divertir um pouquinho né vamos lá realizando o produto então x vezes x x ao quadrado agora x * - e vezes y é da - e xy mais isso ou x x vai dar mais e xy pra finalizar mais e y x - y vai dar - e ao quadrado y quadrado e do que resultou aqui ou menos e xy com mais esses y isso aqui dá a 0 a gente pode cancelar novamente por definição e ao quadrado - um então esse carinho aqui é menos um e menos vezes menos um é dar mais um é subtrair um negativo é a mesma coisa aqui somar no sobrou ac x ao quadrado somado com y ao quadrado eu espero que com isso você tenha tido um deslumbre de algumas das utilidades da nossa unidade imaginária do nosso ir à final com a ajuda do i a gente conseguiu faturar uma soma de quadrados ok pessoal espero que vocês tenham gostado e até o próximo vídeo