Análise de identidades polinomiais

RKA - O que eu quero fazer nesse vídeo é que você tenha uma análise crítica mais apurada de como manipular com polinômios, pois é muito simples você fazer mecanicamente, aqui desenvolver o polinômio mecanicamente, sem entender necessariamente os meandros da coisa, como isso funciona de fato. E aí, então, torna-se muito fácil cometer erros durante o desenvolvimento de um polinômio. Por exemplo, um polinômio como esse daqui. Então, se você, por exemplo, se deparar com um livro de ciências ou de matemática que tenha lá um desenvolvimento, que peça uma prova e, aí, você vai de um passo para o outro, é importante que você se faça a seguinte pergunta: "isso daqui faz sentido?" Pois, aí, quando fizer sentido na sua cabeça, tudo fica mais claro. Portanto é muito importante que você analise o desenvolvimento de um polinômio buscando por erros; pois, quando você consegue identificar lá onde está o erro e corrigi-lo, isso significa que a sua compreensão está num nível mais elevado e você vai conseguir entender melhor como funciona a manipulação dos polinômios. Vamos começar aqui, então, com esse polinômio: "(4x - 3)‧(x - 2)²". E você vê, aqui, que tem cinco passos (passo 1, 2, 3, 4, 5) até ele chegar nessa forma aqui, expandida, desse polinômio inicial. Então, vamos lá. Vamos verificar cada passo da manipulação desse polinômio. Então, como sempre eu peço, pause esse vídeo e tente você analisar o desenvolvimento desse polinômio, verificando se foi cometido algum erro. E, caso tenha sido cometido algum erro, que você identifique exatamente onde está esse erro, beleza? Então, assumindo que você já pausou o vídeo, vamos agora trabalhar juntos. Vamos analisar esse primeiro passo aqui, vindo dessa parte inicial para essa parte aqui. Pois bem, tudo o que foi feito foi expandir esse "(x - 2)²", já que "(x - 2)²" é "(x - 2)‧(x - 2)". Isso daqui é a mesma coisa que isso aqui, certo? Logo, daqui para cá foi feito corretinho sem erro algum. Vamos agora analisar do passo 1 para o passo 2 o que foi feito. Claramente, o que foi feito daqui para cá foi efetuar, de fato, a multiplicação "(x - 2)‧(x - 2)" Então, "x" vezes "x" dá "x²"; está aqui. Quando eu multiplicar esse "x" por esse -2 aqui, eu vou obter "-2x". Está certinho aqui. Quando eu fizer esse -2 vezes o "x", eu vou obter "-2x". E, finalmente, vou ter -2 vezes -2, que vai me dar +4. Então, parece que foi feito tudo certinho e esse passo 2 está belezinha, está correto. Vamos agora analisar do passo 2 para o passo 3. Como você pode reparar, ainda não tocou nesse "(4x - 3)", então tudo o que ele fez aqui foi simplificar esses termos semelhantes aqui: "-2x - 2x", que deu "-4x". Então, ainda está correto; foi feita certinha ali a simplificação dos termos semelhantes. Agora, aqui, no passo 4, você percebe que foi feita de fato a multiplicação "4x - 3" por esse outro polinômio que está aqui, certo? Então, vamos lá. Quando ele fizer "4x" vezes "x²", isso vai dar "4x³". E, aí, quando ele faz "4x" vezes "-4x", isso vai dar "-16x²". Então, ainda está correto. Depois, ele fez "4x" vezes 4, que deu "+16x". Ainda está correto, né? Depois, ele faz aqui -3 vezes o "x²"... "-3x²". Belezinha. Depois o -3 vezes o "-4x", ele coloca que dá "-12x". Repare que essa parte aqui está errada. Ele botou "-12x" quando, na verdade, -3 vezes "-4x" daria "+12x". E, finalmente, ele faz -3 vezes +4, que dá -12. Então, essa parte está certa. A única parte que está errada é essa daqui, né? Portanto, o erro cometido aqui foi nessa passagem que daria "+12x". Portanto, o erro está no passo 4. Então, aqui o passo 5 também tem um erro (né?) por causa desse erro inicial aqui no passo 4, ou seja, aqui eu teria que ter "16x + 12x", que daria "28x"... aqui "28x"... quando, na verdade, ele colocou "4x" aqui porque ele subtraiu por causa desse erro de sinal. Beleza. Vamos, agora, fazer mais um aqui para a gente ter a noção completa de como trabalhar com esses polinômios. Olha aí. Esse vem de um dos exercícios lá da Khan Academy. Ele pergunta o seguinte: quais das seguintes equações polinomiais são identidades verdadeiras? Selecione todas as corretas. Bom, na primeira, ele pergunta se "(2x + y)‧(4x - 2y)" é igual a tudo isso daqui. Vamos lá, vamos multiplicar todo mundo por todo mundo. Quando eu fizer "2x" vezes "4x", eu obtenho, então, "8x²". Vou colocar aqui em cima: "8x²". Agora, quando eu fizer "2x" vezes "-2y", isso vai me dar "-4xy". Agora, deixa eu só mudar a cor aqui rapidinho. Quando eu fizer "y" vezes "4x", eu vou ter "+4xy". E, finalmente, quando eu fizer "y" vezes "-2y", isso vai dar "-2y²". Então, como a gente pode analisar aqui, se é que eu fiz isso direito... deixa eu ver isso aqui, "2x" vezes "-2y" vai dar "-4xy" e "y" vezes "4x" vai dar "+4xy"; esses dois aqui se cancelam vai dar "0". E, aí, o que eu vou ter aqui vai ser "8x² - 2y²" e, quando eu colocar o 2 em evidência, isso vai ser "2‧(4x² - y²)". E, portanto, essa alternativa aqui não é correta, essa parte está totalmente equivocada, beleza? Vamos ver a segunda agora aqui, "(n + 2)² - n² = 4 ‧ (n + 1)". Então, quanto vai dar "(n + 2)²"? Isso vai dar o quadrado do primeiro termo mais 2 vezes o primeiro vezes o segundo, ou seja, "4n" mais o quadrado do segundo termo. Tudo isso, então... vou tirar o "n²", que é esse daqui (esse termo aqui, né?) Daí, eu tenho que esses dois temos aqui vão se cancelar e vai me sobrar "4n + 4". Posso colocar o 4 em evidência, ou seja, vai ficar "4‧(n + 1)", certo? Vai ficar assim. E, então, essa identidade é verdadeira; logo, eu posso marcar aqui. Tiquei. É verdade. Quando ele pergunta aqui se é uma identidade verdadeira, ele quer dizer se é uma sentença matemática verdadeira; e, de fato, isso aqui é, como nós acabamos de provar, né? Agora a última, "(a + b)‧(2a + 1) - b = a‧(2a + 2b + 1)". Vamos ver se daqui é a uma identidade verdadeira. Então, aqui, quando eu tiver "a" vezes "2a", eu vou ter "2a²". Agora, "a" vezes 1, isso vai ser igual a "a". Se eu fizer agora "b" vezes "2a", eu vou ter "2ab". E, finalmente, o "b" vezes esse 1 aqui vai me dar "+b"... menos aquele "b" ali, né? Deixa eu só fazer com outra cor aqui para ficar bem claro o que que é. É esse "-b", certo? Logo, esses 2 termos aqui vão se cancelar, vai dar "0" ("b" menos "b"). Daí, nós temos que, na resposta, ele coloca o "a" em evidência, ele fatorou essa expressão, colocou o "a" lá em evidência. Vamos ver se a gente consegue colocar o "a" em evidência aqui. Colocando o "a" em evidência, eu vou ter o seguinte: quando eu tirar um "a" desse "2a²", vai me sobrar apenas "2a". Deixa eu só botar na cor correspondente ali: "2a". Mas, quando eu tirar esse "a" aqui, vai ficar apenas 1, certo? "a" vezes 1 é igual a "a". E, para finalizar, aquele último termo ali (que está em azul), quando eu tirar o "a" dele, vai ficar o quê? "2b". E, agora, você repara que é exatamente o que está escrito aqui, só que numa ordem diferente. Aqui está "(2a + 2b + 1)", aqui está "(2a + 1 + 2b)", mas a ordem das parcelas não altera a soma. Logo, é a mesma coisa. Percebe aqui: "2a"/"2a"; "2b"/"2b"; "+1"/"+1". Então, isso daqui também está correto. Então, eu espero que tenha te dado alguma boa prática aqui (esses exercícios), para que você consiga identificar onde estão os erros e consiga determinar se são expressões verdadeiras ou falsas; tranquilo? Então, a gente se vê nos próximos vídeos. Um abraço.