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Triângulo de Pascal e análise combinatória

Transcrição de vídeo

RKA - Uma maneira legal de relacionar o Triângulo de Pascal, a parte de combinatória da expansão binomial, é imaginando a seguinte situação: eu tenho aqui três funções (eu vou marcar aqui essa função, essa função e essa função). Na verdade, são três binômios, três partes desse binômio, que a gente... aqui, já feita à expansão (porque nós temos um grau 3 aqui; então, são três binômios que geram essa expansão). Então, aqui vou chamar de binômio 1, aqui o 2 e aqui o 3; e, aqui embaixo, da mesma forma, eu marquei o 1, o 2 e o 3. E o que o Triângulo de Pascal quer dizer para a gente é que... vamos supor pegando aqui... essa parte, esse binômio aqui... o que o Triângulo de Pascal quis dizer para a gente é que existem três funções (então, deixa eu marcar)... três binômios, desculpa... (então, deixa eu marcar aqui), existem três binômios e eu quero pegar só dois "y", então, eu quero pegar dois y desses três binômios, então, existem dois "y" que eu quero pegar desses três binômios. Eu tenho três, quero pegar dois. De quantas maneiras eu posso fazer isso daqui? Então, olhando aqui pelo Triângulo de Pascal, a gente pode imaginar... e eu, na verdade, gosto de imaginar a seguinte situação: eu tenho aqui o "x" e o "y²" e existem várias maneiras de chegar até esse "3xy²" (que é o mesmo termo que a gente tem aqui em cima que eu marquei) e... um dos termos que está logo... os dois, na verdade, os dois termos que estão logo acima dele são "2xy" e "1y²". E, se a gente for olhar aqui, a soma do número de vezes... do número de maneiras que eu tenho como chegar aqui com o número de maneiras que eu tenho como chegar aqui vai dar um número de maneiras que eu tenho como chegar aqui, ou seja, "2 + 1 = 3". Então, a gente pode, por exemplo, só para orientar vocês: toda vez que eu pegar um caminho para a esquerda, eu vou estar escolhendo um "x"; e, toda vez que eu for pegar um caminho para a direita, eu vou estar escolhendo um "y". Então, eu posso pegar, por exemplo, um "x" da primeira função, eu posso pegar um "y" da segunda, e eu posso pegar mais um "y" para chegar até lá (o "y" da terceira, no caso). Eu posso também pegar um "y" da primeira, um "y" da segunda e um "x" da terceira; ou, como última alternativa... (como aqui a gente viu já o resultado dá 3, existem três maneiras de chegar até aqui)... então, agora, a última que falta seria pegar um valor de "y" da primeira, um valor de "x" da segunda, e mais um valor de "y" da terceira, ou seja, a gente acabou de observar que existem três caminhos para chegar até esse valor (até esse termo que a gente queria), que é justamente o resultado dessa análise combinatória aqui. Então, uma das maneiras mais gráficas de interpretar isso, uma das maneiras mais visualizáveis (que eu acho), é justamente olhando por esse Triângulo de Pascal e tentando brincar de traçar os caminhos até o termo que a gente esteja procurando. Então é isso, espero ter ajudado vocês. Até o próximo vídeo.