Transformação da função raiz quadrada

RKA - Vamos estudar as funções irracionais, aquelas com um "x" no radicando, e algumas variações em seus gráficos. Vamos começar estudando a função y = √x. Primeiro, o domínio, pensando nos números reais, "x" tem que ser não negativo, "x" pode ser zero ou positivo para que a raiz quadrada esteja definida. Para traçar o seu gráfico, vamos supor alguns pontos. Se o "x" for zero, a raiz quadrada de zero é zero. Então, temos este ponto (0, 0). Se o "x" for 1, a raiz quadrada de 1 é 1. Se o "x" for 4, a raiz quadrada de 4 é 2. Se o "x" for 9, a raiz quadrada de 9 é 3 e aqui podemos, unindo estes pontos, construir o gráfico dessa função. Vamos fazer aqui ligando os pontos à mão com algum cuidado. Nós vamos ter algo assim. Bem, e se nós quisermos deslocar este gráfico quatro unidades para cima? Basta perceber que queremos que o resultado atribuído a "y" seja acrescido de 4 unidades. Assim, cada ponto que temos neste gráfico será deslocado quatro unidades para cima. Em outras palavras, nós estaríamos falando de y = √x acrescido de 4 unidades. Veja só que se x = 0, a raiz quadrada de 0 é 0 + 4 = 4. Se x = 1, raiz quadrada de 1 é 1 + 4 = 5. Se x = 4, √4 = 2 + 4 = 6. E se o x = 9, √9 = 3 + 4 = 7. Unindo os pontos, nós vamos ter um gráfico em que podemos perceber que é deslocado, em relação a este rosa, quatro unidades para cima. Eu vou aqui simplesmente copiar e colar. E movimentando aqui, nós podemos ver que tudo se encaixa certinho. Claro que feito à mão temos uma pequena margem de erro. Vou passar aqui uma linha azul para ficar da mesma cor. E agora sim, temos aqui então y = √x + 4. O que dizer então deste gráfico rosa deslocado para a esquerda? Deslocado para a esquerda três unidades? Vamos deslocar o gráfico em relação ao original uma, duas, três unidades para a esquerda. Eu vou mudar a linha de cor. Como nós definimos então a função que é correspondente a este gráfico? Vamos analisar. Aqui quando x = 0, a raiz quadrada de zero é zero, temos esse ponto. Comparando com o outro gráfico, neste ponto, temos que ter algo no radicando que faça ter resultado zero. Bom, mas o "x" é -3. Então, aqui temos que ter "y" é igual a raiz quadrada de algo que vai dar resultado zero, quando "x" é -3. Para que isso aconteça, devemos ter x + 3. Comparando esta com a anterior, veja que na anterior adicionamos quatro fora do radical, ou seja, no resultado deslocamos o gráfico quatro unidades para cima. Na laranja, adicionamos 3 dentro radical e deslocamos o gráfico três unidades para a esquerda. Veja que isso acontece de fato porque antes eu adicionava 4 nos resultados, resultados aumentam, adicionando 3 dentro do radical, ou seja, no lugar onde antes estava o "x" simplesmente, nós deslocamos o gráfico para a esquerda. Isso vale não só para esse tipo de função mas para qualquer outro. Resumindo, ao adicionar 4 fora do cálculo da função, você "desloca" o gráfico quatro unidades para cima. Evidentemente, se você subtraísse 4 aqui fora, o gráfico seria deslocado quatro unidades para baixo. Quando você adiciona 3 naquilo que antes era somente o "x", como aqui, você desloca o gráfico três unidades para a esquerda. Se quisermos deslocar este gráfico à direita deveria usar (x - 3) dentro do radical. E se agora eu quisesse "inverter" este gráfico laranja, de modo a obter um simétrico para esquerda aqui a partir do -3? Algo como isto. O gráfico laranja "virado" para cá, para a esquerda. Como seria a função que define este gráfico representado pela linha verde? Comparando o domínio agora da função representada pelo gráfico verde com a do laranja, percebemos o seguinte: na função do gráfico verde, "x" tem que ser menor ou igual a -3, enquanto no gráfico laranja "x" é maior ou igual a -3. Nós temos aqui, no gráfico verde, os valores que estão no radicando simetricamente em relação aos que estão no radicando da função laranja. Isso se traduz de maneira bem simples em dizer que a função é definida por y igual à raiz quadrada. Eu teria algo análogo ao x + 3 porém com -(x + 3). Vamos entender um pouquinho. Aqui na laranja, quando x = -3, -3 + 3 = 0. √0 = 0. Aqui idem. Quando x = -3, -3 + 3 = 0. A mesma coisa, √0 = 0. Mas, por exemplo, quando x = -2, na função laranja, -2 + 3 = 1. √1 = 1. Aqui, quando x = -4, veja simétrico ao -2. Quando x = -4, -4 + 3 = -1. O oposto. - (-1) vira +1. √1 = 1. Então, quando x = -4, o y = 1 e a mesma coisa para os outros pontos. Colocando o sinal de menos antes de tudo que está dentro da função, dentro do radical, nós conseguimos girar o gráfico para uma posição simétrica ao que ele tinha antes em relação à reta x = -3. O que dizer então deste gráfico verde "invertido", girado em torno do eixo das abscissas do eixo do "x"? Este gráfico só que simétrico ao verde em relação ao eixo "x"? Os valores de "y" neste gráfico são exatamente os simétricos, os opostos valores de "y" do gráfico verde. Veja que aqui, por exemplo, teríamos simplesmente "y" igual a menos a função que define o gráfico verde, que é a √ -(x + 3). O que dizer então se quisermos deslocar este gráfico quatro unidades para baixo? Basta subtrair 4 fora do radical e nós teremos então a função que a define. Mudando aqui de cor, temos que a função seria, então, sem dúvida, y = -√ -(x + 3), tudo isso subtraindo quatro unidades. E você pode seguir fazendo várias outras modificações usando todas essas ideias para manipular esse tipo de situação e de gráfico. Espero que você tenha aproveitado bastante. Até o próximo vídeo!