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RKA - Quero falar sobre proporcionalidades diretas e inversas. Vou fazer proporcionalidades diretas na esquerda aqui e vou fazer proporcionalidades inversas, ou duas variáveis que variam inversamente, aqui do lado direito. Uma definição bem simples para duas variáveis que são diretamente proporcionais, seria algo assim: "y" é diretamente proporcional a "x" se "y" é igual a uma constante vezes "x". Podemos escrever isso por extenso. "y" é diretamente proporcional, proporcional a "x". Se essa constante parece estranha para você, lembre-se que isso pode ser, literalmente, qualquer número constante. Deixa eu dar um monte de exemplos que também, ou exemplos particulares de "y" diretamente proporcionais a "x". Você pode ter "y" igual a "x" porque nessa situação a constante é 1. Nós nem escrevemos isso, podíamos escrever "y" igual a 1x. Então, "k" é 1. Podíamos escrever "y" é igual a 2x. Podíamos escrever "y" é igual a "1 e meio x". Podíamos escrever "y" é igual a menos 2x. Ainda estamos variando diretamente. Podíamos escrever "y" igual - meio "x". Podíamos escrever "y" igual a "πx". Podíamos escrever "y" igual a -"πx', eu não quero chover no molhado, já deu para entender. Quantas constantes vezes "x" estamos fazendo algo diretamente proporcional? E para entender isso talvez mais claramente, vamos pensar no que acontece e escolher um desses cenários. Vou pegar uma versão positiva e uma versão negativa só porque pode não ser completamente intuitivo. Vamos para a versão de "y" igual a 2x, e daí a gente explora o porquê dizemos que eles são diretamente proporcionais. Vamos escolher alguns valores para "x" e ver qual seria o valor de "y" resultante. Se "x" igual a 1, então, "y" é 2 vezes 1. Então, é 2. Se "x" igual a 2, então, "y" é 2 vezes 2, que vai ser igual a 4. Quando dobramos "x" de 1 para 2, dobramos "x", a mesma coisa acontece com "y", dobramos "y". É isso que significa quando dizemos que algo é diretamente proporcional. Se aumentarmos "x" certa quantia, aumentaremos "y" na mesma quantia. Se diminuirmos "x" certa quantia, diminuiremos "y" na mesma quantia. Só para mostrar que isso funciona com todos esses, vamos tentar a situação com "y" igual a -2x. Vou fazer em roxo. "y" é igual, vou fazer um novo exemplo, vamos tentar "y" é igual a -3x. Mais uma vez, deixa eu fazer meu "x" e meu "y". Quando "x" é igual a 1, "y" é igual a -3 vezes 1, que é -3. Quando "x" é igual a 2, "y" é igual a -3 vezes 2, que é -6. Perceba que multiplicamos. Se aumentamos, deixa fazer da mesma cor, se aumentamos "x" por 2, é outro verde mas serve o propósito, estamos também aumentando "y" por 2. Para ir de 1 a 2, multiplicamos por 2, para ir de -3 a -6, também multiplicamos por 2. Aumentamos pela mesma escala. E se quiser fazer do outro lado, vamos tentar "x" igual a 1 terço. Se "x" é igual a 1 terço, então, "y" vai ser -3 vezes 1 terço é -1. Então, para ir de 1 a 1 terço, dividimos por 3. para ir de -3 a -1, também dividimos por 3, também diminuímos um fator de 3. Para onde dimensionar o "x"? Vai ter a mesma dimensão do "y" e isso significa ser diretamente proporcional. Agora, nem sempre é tão claro, às vezes fica confuso. Pode escrever, vamos pegar esse exemplo aqui. "y" igual a -3x. Estou salvando esse espaço para valores inversamente proporcionais. Você pode escrever isso ou pode manipular algebricamente. Pode, talvez, dividir os dois lados dessa equação por "x". Daí tem "y" sobre "x" igual a -3, ou, talvez, dividir ambos os lados por "x". Daí dividir os dois lados por "y". Disso você teria, então, se dividir os dois lados por "y" agora, você teria 1 sobre "x", igual a -3 vezes 1 sobre "y". Essas três afirmações, essas três equações são a mesma coisa. Então, às vezes, a proporção direta não está bem na cara, mas se fizer isso, o que fiz aqui com qualquer desses, você teria exatamente o mesmo resultado. Ou poderia tentar manipular de volta para essa forma aqui. E tem outro jeito de fazer isso. Pode, talvez, dividir os dois lados dessa equação por -3, daí teríamos -1 terço "y" igual a "x". E isso é um caso interessante aqui, porque aqui "x" é diretamente proporcional a "y", ou podemos dizer que "x" igual a algum "k" vezes "y". E em geral, é verdade. Se "y" é diretamente proporcional a "x", embora possamos dizer que "x" é diretamente proporcional a "y". Não vai ser a mesma constante, vai ser, essencialmente, o inverso dessa constante, mas estão ainda sendo diretamente proporcionais. Dito isso sobre a proporção direta, vamos explorar a proporção inversa. Proporção inversa. A forma geral, se usarmos as mesmas variáveis, nem sempre tem que ser "y" e "x", poderia ser "a" e "b", poderia ser "m" e "n". Se eu te disser que "m" é diretamente proporcional em relação a "n", diríamos que "m" é igual alguma constante vezes "n". Agora, a proporção inversa. Se fizer isso com "y" e "x", seria "y" igual a alguma constante vezes 1 sobre "x", ao invés de alguma constante vezes "x", é uma constante vezes 1 sobre "x". Deixa eu mostrar um monte de exemplos. Poderia ser "y" igual a 1 sobre "x". Poderia ser "y" é igual a 2 vezes 1 sobre "x", que é, claramente, a mesma coisa que 2 sobre "x". Poderia ser "y" igual a 1 terço vezes 1 sobre "x", que é a mesma coisa que 1 sobre 3x. Poderia ser "y" igual a -2 sobre "x". E vamos explorar isso, a proporção inversa, da mesma forma que explicamos a proporção direta. Vamos escolher, "y" igual a 2 sobre "x". Deixa eu fazer a mesma tabela aqui. Se "x" é igual a 1, então, "y" é igual a 2. Se "x" é igual a 2, então, 2 dividido por 2 é igual a 1. Se multiplicar "x" por 2, aumenta por um fator de 2, o que acontece com o "y"? "y" é diminuído por um fator de 2, você divide ele por 2 agora. Percebe a diferença? Aqui, quando aumentamos o "x", aumentamos o "y" na mesma quantia. Agora, se aumentamos "x" por um fator, quando temos proporção inversa, estamos diminuindo "y" pelo mesmo. Então, é daí que vem a proporção inversa. E podemos ir pelo outro lado, fazer o "x" igual a 1 sobre 2. Se diminuirmos "x", veremos que isso vai aumentar o "y", porque 2 dividido por "1 meio" é igual a 4. Aqui estamos aumentando o "y". Então, serão coisas opostas. São inversamente proporcionais, e pode tentar com negativos também. Aqui estamos multiplicando por 2 e, mais uma vez, nem sempre vai estar bem escrito desse jeito, poderia ser rearranjado de várias formas diferentes, mas ainda seria proporção inversa enquanto forem algebricamente equivalentes. A gente pode multiplicar os dois lados da equação aqui por "x", e teria xy igual a 2. Isso também é proporção inversa. Você pode pegar a mesma tabela aqui, pode dividir os dois lados da equação por "y" e fazer "x" igual a 2 sobre "y", que é a mesma coisa que 2 vezes 1 sobre "y". Perceba que "y" é inversamente proporcional a "x", e pode só manipular isso algebricamente para mostrar que "x" é inversamente proporcional a "y", e "y" é inversamente proporcional a "x". Isso é a mesma coisa, como visto nesse exemplo, que dizer que "x" é inversamente proporcional a "y". E tem outras coisas que podemos pegar aqui e dividir os dois lados por 2 e teria "y" sobre 2, igual a 1 sobre "x". Tem todo tipo de maluquice. Em geral, se você encontrar duas expressões que relacionam duas variáveis e falarem que elas são inversamente ou diretamente proporcionais, ou talvez, nada disso você poderia tentar fazer uma tabela assim: se aumentar "x" em uma quantia e "y" aumentar na mesma quantia, é proporção direta. Se aumentar o "x", pode tentar várias vezes, e diminuir o "y", fizerem o oposto com o "y", então, é provavelmente uma proporção inversa. Um jeito seguro de saber com o que está lidando é manipular algebricamente a equação para que fique ou nessa forma, que vai dizer que é proporção inversa, ou nessa forma, que vai dizer que é a proporção direta.