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Transcrição de vídeo

nesse vídeo vamos ver se conseguimos colocar uma função no gráfico uma função racional é apenas uma função que tem uma expressão no numerador e no denominador tem um polinômios no numerador vamos ver tem x ao quadrado e um polígono de iluminador sobre x ao quadrado menos 16 podemos tentar traçar seu gráfico somente substituir alguns valores na expressão ligando seus pontos e isso é o que uma calculadora gráfica faria antes de tentar calcular alguns pontos para traçar o gráfico que era o primeiro ter uma noção de como será este gráfico pra entender quero ver o que acontece quando x fica muito grande muito grande ou quando x fica muito muito pequeno ea e x vai na direção negativa na verdade quero entender o que acontece com o valor absoluto de x quando ele se torna muito alto ou quando tende para o infinito o que eu quero dizer aqui conforme x cresce na direção positiva ou conforme x decresce para a direção negativa o que acontece com o valor desta função vamos usar uma calculadora a boa e velha calculadora não vamos usar a parte gráfica disso ainda vamos só tentar alguns valores o que acontece quando x é igual a 10 o resultado vai ser igual a quando x for igual a menos 10 porque quando coloco -10 aqui você leva ao quadrado obtendo sem o mesmo resultado que obteria praxes igual a 10 igualmente aqui se coloca menos 10 ao quadrado e obter o mesmo resultado que se substituir x por dispositivo independente do x muito grande um x muito pequeno vai obter o mesmo valor porque está elevando esses valores ao quadrado se eu tiver 10 ao quadrado / 10 ao quadrado menos 16 obtenho 1,19 agora o que acontece x por um pouco maior o que acontece com x igual assim a gente tem 100 ao quadrado / 100 ao quadrado menos 16 eu tô chegando ainda mais perto de 1 quando x for 10 y não será igual a 1,19 quando x for sem y será 1,00 16 só para a gente se divertir vamos tentar miu miu ao quadrado / mil ao quadrado menos 16 e estamos perto de 1 conforme x vai ficando grande e grande nosso y não fica mais perto e perto de 1 seria verdade se fosse um menos 10 porque menos 10 ao quadrado sobre menos 10 ao quadrado menos 16 terá exatamente o mesmo valor porque - um elevado ao quadrado será um positivo será igual a 10 ao quadrado independentemente de x ficar muito grande ou muito pequeno estaremos nos aproximando de y igual a 1 poderia tentar com um milhão se quisesse teria um número mais próximo de 1 conforme o valor de x se aproxima do infinito o y está se aproximando de um outra forma de pensar é o gráfico desta função vai se aproximar da reta y igual a 1 vou traçar no gráfico a reta y igual a 1 vou fazer isso como uma reta pontilhada por que esse não é o gráfico da nossa função mas é uma reta da qual nossa função está se aproximando este é o gráfico de y igual 1 a 1 esta é a idéia de uma função ou do gráfico de uma função aproximando se de uma reta mas nunca tocando nela o gráfico ficará cada vez mais próximo dessa reta y igual a 1 nessa direção mas nunca perto o bastante para tocá lá essa reta que o gráfico está se aproximando é chamada de assim totah assim total e ficar ainda mais claro quando eu traçar o gráfico desta função vamos trabalhar e uma vez que a mais horizontal chamamos de assim total horizontal essa reta é onde nosso gráfico aproxima conforme x cresce na direção positiva ou decresce na direção negativa vamos pensar sobre algumas outras coisas interessantes nessa função uma coisa que poderia perceber é que é uma diferença de quadrados x ao quadrado menos quatro ao quadrado da para reescrever como x ao quadrado sobre x mais quatro vezes x menos quatro o que vai acontecer quando x se aproximar tanto do 4 quanto do menos quatro primeiro de tudo substitua esses valores se x é igual a quatro o que vai acontecer essa expressão esse termo vai ser igual a zero e vamos dividir por 0 não podemos fazer isso a ideia é a mesma para quando x é igual a menos quatro estaremos / 0 essa expressão vai ser igual a zero não podemos fazer a gente poderia dizer que esta função está indefinida para x é igual a mais ou menos quatro indefinida para x igual a mais ou menos quatro não dá pra ser igual àqueles valores porque estaria dividindo por zero em qualquer uma destas circunstâncias agora o que acontece quando nos aproximamos daqueles valores o que acontece quando x se aproxima de -4 vamos fazer só por diversão o que acontece conforme x se aproxima de -4 digamos que estamos nos aproximando da direção negativa então vamos tentar aqui na nossa super calculadora digamos que queremos partir da direção negativa vamos substituir menos 4,1 na expressão se tiver menos 4,1 ao quadrado / menos 4,1 quadrado menos 16 enquanto da 20,75 então a gente tem esse número agora vamos escolher um número mais perto de -4 vamos nos aproximar um pouco de -4 em vez de menos 4,1 a gente vai fazer - 4,01 deixa mudar para - 4,01 quanto vai dar 200 então estamos obtendo valores cada vez mais altos vamos tentar - 4,001 vamos tentar opa não é o que eu queria fazer eu queria fazer isto vamos tentar não é isso que eu quero fazer vamos ver quero calcular para - 4,001 quando obtemos muito bem vamos obter 2 mil conforme chegamos mais perto de -4 pela direção negativa obtemos números maiores e você pode tentar substitua por - 4,00 a dar um irá obter números maiores se substituir por menos 4,0 001 provavelmente obter a 20 mil conforme chegamos mais próximas de -4 obtemos números maiores dá pra dizer que conforme x se aproxima de -4 e y tende ao infinito aumenta seu valor mas não podemos nunca chegará x igual a 4 está indefinido ali 4 irá fazer o denominador ser igual a zero então o que queremos fazer aqui é x nunca pode ser igual ao menos 4 x é igual a menos 1 - 2 - 3 - 4 nunca dá pra ter x igual ao menos 4 deixou desenhar x go - quatro com uma reta pontilhada ac x é igual a menos quatro nunca podemos chegar lá mas conforme aproximamos pelo lado negativo a gente tinha 4,1 depois 4,01 e fomos para os valores maiores e maiores e também sabemos que conforme vamos mais para o lado esquerdo como teremos valores mais altos aquele y vai chegar perto de um dá pra ter uma ideia como esta parte do gráfico fica nessa parte do gráfico vai aparecer com alguma coisa assim conforme xd cresce para números negativos chega mais perto de 1 e conforme x fica mais perto de menos 4 e fica mais perto do infinito você vai chegar mais perto de vai ficar mais alto e é uma forma fácil de dizer agora assim como em cheio igual ao menos 4 x igual a 4 irá também ser um ponto onde o gráfico está indefinido deixa eu colocar no gráfico em 234 aqui bem aqui x é igual a quatro mais uma vez o que acontece quando nos aproximamos de x igual a 4 vamos dizer da direção positiva conforme se aproxima de 4 da direção positiva o que irá acontecer é como tentar x igual a 4,01 x igual a 4,001 ou x igual a 4,00 01 estamos apenas chegando mais e mais perto de x igual a 4 esses valores são exatamente os mesmos valores que substituímos a nossa calculadora exceto que colocamos - ante certo considerando a definição dessa função se colocar números negativos ou positivos obteremos os mesmos resultados este gráfico é simétrico x é igual ao menos 5 e terá o mesmo valor que x igual a 5 x igual ao menos 10 e terá o mesmo valor que x igual a 10 para verificar com sua calculadora se quisesse substituir esses valores vai ver conforme chegamos mais e mais perto de 4 que vamos nos aproximar de números maiores esses mesmos números aqui o gráfico conforme chegamos mais e mais perto de 4 vamos nos aproximando de números cada vez mais altos conforme x fica mais e mais alto ea gente vê que tinha essa assim total horizontal y fica mais e mais perto de 1 como chamamos esta assim total horizontal esta reta vertical x é igual a menos quatro e x é igual a quatro chamamos estas retas de assim todas verticais assim todas as verticais estas são retas assim todas mais uma vez elas são retas das quais o gráfico se aproxima mas nunca toca é o que está acontecendo aqui dá pra pensar sobre o que está acontecendo no gráfico aqui dentro você pode pensar de várias formas dá pra falar bom que acontece conforme x se aproxima de 4 da direção negativa vamos tentar da direção negativa o que acontece e se fizer 3,9 ao quadrado / 3,9 ao quadrado menos 16 obtêm menos 19,25 agora o que acontece se fizer 3,99 deixa eu colocar outro 9 aqui vamos chegar mais perto de 4 e fazer do lado esquerdo conforme aproximamos de 9 insira outro 9 aqui o resultado e ainda mais negativo vamos colocar mais 19 e será ainda mais negativo vou fazer 3,999 chegar ainda mais perto de 4 você está ficando ainda mais negativo e isso também será verdade se fizer menos 3,9 ou 3,99 91 - 3,999 porque quando fazemos ao quadrado os negativos e positivos dão mesmo resultado faz um negativo ao quadrado e obtenham positivo conforme nos aproximamos de 4 3,9 3,99 chegamos mais e mais perto de 4 estamos obtendo um número maior nos aproximamos de negativos infinitos e conforme nos aproximamos vou colocar aqui no gráfico conforme nos aproximamos desta de não vamos obter um menor a gente quer não tocar na cinta vai aparecer alguma coisa assim conforme nos aproximamos do lado esquerdo vamos ficando cada vez menores e isso também vai ser verdadeiro se nos aproximamos de -4 do lado direito conforme substituímos menos 3,9 menos 3,99 estamos caindo e vai aparecer alguma coisa assim agora que temos uma idéia geral de como é o gráfico é uma boa hora para talvez traçar alguns pontos é a forma mais fácil é o que acontece quando x é igual a zero você tem zero ao quadrado sobre 0 ao quadrado menos 16 então o ponto onde x é igual a zero a gente obtém 0 sobre menos 16 que 01.00 está nessa curva na para tentar alguns pontos se quiser mas a forma geral aqui irá aparecer com alguma coisa assim dá para traçar mais pontos se quisesse descobrir exatamente como a curva vai se comportar mas aqui está a estrutura geral e usamos a calculadora eu fiz isso porque realmente queria mostrar porque está decrescendo assim e se pensar a respeito faz todo sentido conforme você chega mais perto digamos que chegue mais perto de 4 de qualquer forma chega mais perto de 4 e vai se tornar um número menor porque esta é a diferença entre x e 4 isso está se tornando um número cada vez menor quando você faz um sobre aquilo certo pode essencialmente ver como x ao quadrado sobre x mais quatro vezes um sobre x - 4 se estiver diminuindo a 1 sobre um número bem pequeno número grande então como pode imaginar vai ficar maior e dependendo se estiver se aproximando do positivo ou negativo se este é um número pequeno negativo ou número pequeno positivo irá inverter o sinal mas de qualquer forma estamos chegando a uma magnitude grande na direção negativa porque a diferença entre x e 4 deste lado é negativa certo 3,9 menos quatro é 0,1 pegue o inverso que é 10 estamos obtendo números negativos aqui você pega o inverso vai obter um número com valor alto e módulo mais negativo realmente eu quero dar a você aquela intuição mas a forma geral de conseguir colocar no brasil esse tipo de coisa a primeira coisa a fazer é identificar assim total horizontal a magnitude do nosso x é muito grande então obtemos valores positivos muito grandes ou valores negativos muito pequenos se quiser tem uma calculadora literalmente se tentar o valor de um milhão 1 bilhão vai ter a resposta mas a forma que também pode pensar é conforme x fica muito alto pode ver esta coisa esses termos crescendo muito rápido quer dizer é apenas um termo constante esse termo não importa mais se for um milhão e um milhão quem se importa com 16 conforme x ficar muito alto pode dizer que isso não é aproximadamente x ao quadrado sobre x ao quadrado e esses dois termos dominam você não precisa se preocupar mais com 16 e claro que é igual a um que é exatamente o que obtivemos quando substituímos números com valores grandes num problema como esse onde tem o mesmo coeficiente onde têm o mesmo grau no numerador e no denominador você olha para o coeficiente daqueles temos neste caso o coeficiente é um em um então nossa assim tudo horizontal será um / 11 ou y igual a 1 se fosse 2x ao quadrado sobre x ao quadrado menos 16 nossa assim total horizontal seria y igual a 2 agente aproximaria desta reta se fosse 1 - 2 nossa assim tanto horizontal seria y igual a -2 é como você identifica assim tottori zon tal onde têm o mesmo grau no numerador e no denominador se o denominador têm um grau maior então o denominador ficará mais alto muito mais rápido do que o numerador isso assim toda vai ser zero vou te mostrar um exemplo disso no futuro e obviamente esse seu numerador têm um grau maior do que esse número a dor vai crescer mais rápido do que seu denominador e não terá nenhuma assim toda você continuará crescendo continuará na direção negativa e isso na verdade é o caso com todos os polígonos que vimos você pode fazer todos como sendo um em cada caso não tem assim tanta horizontal agora assim tão vertical dá pra identificar essencialmente faturando o denominador e descobrindo onde é igual a zero esses são os pontos onde a função não está definida e vou te mostrar mais tarde que tem alguns casos especiais onde eles não serão assim todas as verticais mas só no próximo vídeo mas em geral se faturar os termos de baixo e eles não se cancelarem com nada no numerador deve lidar com uma assim toda vez chicão se eu tivesse outro x menos quatro aqui em cima se meu numerador fosse x ao quadrado vezes x menos quatro minha expressão simplificada a isto a equação ainda estar indefinida para x igual a 4 porque daria 0 no denominador mais uma vez que x - 4 é cancelado com x - quatro no numerador não teria sido uma assim toda vertical vamos olhar pra isso mais pra frente mas essa equação não era assim a regra geral para identificar assim toda vertical é faturado denominador descobrir onde o denominador se iguala a 0 e se esses temas não se cancelarem com qualquer termo no numerador aqueles são assim todas as verticais e para descobrir o comportamento dentro das assim todas você pode traçar alguns pontos pode tentar alguns outros pontos pode na verdade substituir os valores praxes e descobrir quanto a y agora só para validar a resposta que esperamos estar correta vamos traçar na calculadora o gráfico nossa função racional vou ligar e colocar no gráfico a gente diz que y é igual à x ao quadrado / x ao quadrado menos 16 e vamos ver o que obtemos não só quero colocar no gráfico minha variação da fora vou fazer minha variação e ver o valor mínimo de x que eu quero pra x digamos que seja menos 10 mil valor máximo praxes é 10 a escala de x é um valor mínimo de y que quero é menos 10 o valor máximo de y r 10 a escala de y eu quero agora é colocar no gráfico vamos lá olha só exatamente como desenhamos tem uma sintonia conforme x fica muito alto ou x fica muito muito pequeno que a cinta é y igual a 1 tem nossa assim toda vertical está no gráfico porque tentou conectar os pontos mas essencialmente porque colocamos no gráfico nossas assim todas na verdade aquilo não faz parte do gráfico mas conforme nos aproximamos o x de 4 acho que pode dizer que a gente tende a números muito pequenos conforme aproximamos xd menos quatro ficamos também com números muito pequenos porque em cada uma das situações a esse termo será negativo conforme aproxima - 4 desse lado esse termo aqui será esse termo vai ser positivo mas a esse termo vai ser negativo negativo vezes um positivo dá pra jogar com isso se quisesse mas nos aproximamos do infinito negativo em qualquer um dos casos e aí conforme x tende ao infinito positivo ou negativo os valores de y se aproximam de um e espero que tenha achado divertido