Divisão de expressões racionais: expressão desconhecida

RKA - A equação a seguir é verdadeira para todos os valores reais de y para os quais a expressão à esquerda é definida, esta aqui, e D é uma expressão polinomial. Encontre D. O primeiro passo para resolvermos isso é deixarmos essa fração na forma de multiplicação. Ou seja, temos que substituir esse valor de divisão por um de multiplicação. E quando fazemos isso o numerador é invertido pelo denominador, e a expressão vai ficar desta maneira: veja aqui que esses dois termos foram invertidos. Em seguida, veja que a expressão polinomial D encontra-se no denominador dessa expressão maior. Uma coisa que podemos fazer é multiplicar D dos dois lados da equação, de modo que, desse lado, o D do numerador irá se anular com o D do denominador, e 1 será multiplicado por D. Ou seja, a partir disso, temos que D é igual a esta expressão aqui. Para darmos continuidade, temos que fatorar. Isto é, simplificar essa expressão por meio de fatorações. Vamos começar com esse termo aqui. Temos que 20y² - 80 tem como 20 o fator comum. Então vamos isolar esse 20, que passa a multiplicar y² - 4. Note: 20y² dividido por 20 dá y². -80 dividido por 20, -4. Então, D passou a ser essa fórmula. Note que aqui temos uma diferença de quadrados, então podemos dar continuidade nessa fatoração. Vamos lá, então: y² - 4 é y - 2 vezes y + 2. Agora, vamos lidar com esse termo aqui. Existe algum fator comum entre os dois elementos desse termo? Sim, é o y². Então, simplificando, vamos isolar o y². y³ dividido por y², y. 9y² dividido por 9y², 9. Desta maneira, terminamos de simplificar a parte do numerador dessa expressão. Agora nos resta o denominador. Novamente, há algum fator comum entre os dois elementos? Sim, o 4y. Então, vamos isolá-lo como fizemos nas outras vezes, assim, obtemos 4y vezes y - 2. Porque 4y² dividido por 4y é y. -8y por 4y, -2. Agora, tudo o que nos resta é simplificar o numerador pelo denominador anulando termos que estão presentes tanto em cima quanto embaixo dessa fração. Portanto, y² anula com esse y. y - 2 anula com esse y - 2. E 20 dividido por 4 dá 5. Finalmente, temos que nossa expressão D equivale a 5y vezes y + 2 vezes y + 9. Note que há várias ípsilons para os quais essa expressão D pode não ser definida, uma vez que está em sua configuração o y no denominador. Então, por exemplo, se o y for 0, o denominador será 0. Isso não é legal. Seja nós substituirmos o y aqui, no denominador, ou aqui, no numerador, que é invertido depois. Porém, ele não nos pede isso. Ele nos informa que a equação é verdadeira para todos os valores reais de y, e nos pede que achemos a expressão D. Aqui está a expressão D. E é isso.