If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Se você está atrás de um filtro da Web, certifique-se que os domínios *.kastatic.org e *.kasandbox.org estão desbloqueados.

Conteúdo principal
Tempo atual:0:00Duração total:3:32

Prova da fórmula da progressão aritmética finita

Transcrição de vídeo

no último vídeo nós vimos que a soma do cene primeiros números inteiros positivos até e incluindo o iene é dada por sdn igual n vezes e mais um sobre dois usamos o método da indução vamos provar novamente a mesma fórmula sem usar o método da indução a função é se o iene que determina a soma dos n inteiros positivos começando um é um mais dois mais três mais quatro mais cinco mais seis até n - um mais e eu vou escrever essa mesma soma usando outra ordem alterar a ordem não vai alterar o resultado na soma então vou começar de trás pra frente n mais n - um a mais e nem menos dois mais até chegar mais dois mais um eu vou agora adicionar essas duas igualdades veja se o que eu tenho aqui é igual ao que está direito que tenho esquerda de novo é igual ao que está à direita se eu chamar as duas aqui ou seja é se mas é se vai dar duas vezes sdn vai ser igual a somar naturalmente o que está à direita das igualdades e eu vou fazer isso ter uma termo então duas vezes é se ele vai ser igual a esse com esse uma zenilda 1 mas n eu vou escrever e mais um mas agora ao somar o 2 com ele - um que é que eu vou ter vamos ver dois mais e menos um eu posso tirar os parentes e o 2 - 1 fica um resulta em n mais um então aqui n mais um mas agora eu vou somar o 3 com ele - dois ora pela mesma idéia que nós tivemos aqui três mais e nem menos 2 ou 3 - 2 dá mais um então vamos ter de novo e mais um e assim sucessivamente quando nós chegarmos aqui depois de uma seqüência dois mas ele mais um vai dar a ele mais um novamente e finalmente o último pedaço aqui a última parcela mas n mais um se você percebeu ele mais uma parcela que se repete e se repete uma quantidade de vezes indicada exatamente por n temos n parcela seja de 1 até ele temos em parcelas aqui a mesma coisa aqui a mesma coisa ora então podemos escrever duas vezes o scn reescrevendo então essa expressão igual a ene vezes n vezes o n mais um que a quem vai se repetindo aqui é bom neste momento dividindo os dois lados por 2 a 1 eu vou chegar então a cancelando aqui quero que eu queria sdn igual há exatamente o que eu tinha lá atrás n vezes n mais um sobre dois acabamos de aprovar a mesma fórmula sem usar o princípio da indução e foi uma demonstração mais simples ela é puramente algébrica você pode perceber por enquanto é isso espero que você tenha aproveitado as duas formas de demonstrar a mesma fórmula até o próximo vídeo