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Exemplo prático: séries aritméticas finitas (expressão de soma)

Transcrição de vídeo

RKA - Temos a soma -50 + (-44) + (-38), e assim por diante, até +2038 e +2044. Então, veja agora se você, pausando vídeo, consegue obter o resultado dessa soma. Vamos examinar esta soma. Começamos com -50. O próximo termo é -44. De -50 para -44, adicionamos 6. Observe que de -44 para -38, novamente adicionamos 6. E vamos adicionando o 6, de um termo para o seguinte, e observe que até o final é assim. De 2038 para 2044 também adicionamos 6. Ou seja, cada termo é 6 unidades maior que o termo anterior. Então, podemos dizer que isto que temos aqui é uma série aritmética. É a soma dos termos de uma progressão aritmética. Porque cada termo é sempre a mesma quantidade maior que o termo anterior. E nós já sabemos uma fórmula para calcular a soma dos "n" primeiros termos de uma progressão aritmética. E a soma dos "n" primeiros termos de uma progressão aritmética é igual à soma do primeiro e do último termos, dividida por dois. Ou seja, é a média aritmética entre o primeiro e o último termos dessa progressão aritmética. E esse resultado multiplicado por "n", que é o número de termos que estamos adicionando. E nesta progressão aritmética, nós sabemos quem são o primeiro e o último termos. O -50 é o primeiro termo. O último termo é o 2044, que seria "aₙ". Mas ainda temos uma questão: quem é o "n"? quantos termos temos aqui? E isso, na verdade, serve para indicar quantas vezes nós temos que adicionar 6 do 50 negativo até 2044. Bem, 2044 - (-50) resulta em 2094. E esse valor nos dá informação de quantas unidades nós "pulamos" do -50 diretamente até 2044. São 2094 unidades. Mas agora se eu estou adicionando 6 a cada vez que eu passo de um termo para o outro, quantas vezes eu estou adicionando 6 para que eu provoque esse deslocamento de 2094 unidades? Vamos simplesmente dividir 2094 por 6. Ao efetuar essa divisão, vemos que o resultado é 349. O que significa que para ir de -50 até 2044 positivo, tivemos que adicionar o número 6, 349 vezes. Olhando aqui na nossa adição, aqui, uma vez adicionando 6, duas vezes adicionando 6, e assim vai até esta que seria a vez de número 349 que eu estou adicionando o 6. Então, agora quantos termos nós temos nesta adição? Você poderia estar tentado a falar que são 349 termos. Mas, na realidade, você tem 349 + 1 termos. Você adicionou o 6, 349 vezes Quando você adiciona 6 a primeira vez, você tem o segundo termo desta sequência. Quando adiciona 6 pela segunda vez, você tem um terceiro termo desta sequência. E quando observamos isso, não contamos ainda o primeiro termo. Então, essas 349 vezes que eu adicionei o 6, não está incluindo o primeiro termo. Portanto, temos 350 termos nessa progressão aritmética. Voltando para a fórmula, portanto, o "n" vai ser 350. Podemos escrever agora, então, a soma dos 350 primeiros termos dessa progressão aritmética que começa em -50 e estamos olhando até 2044. A soma vai ser, então, o primeiro termo que é -50 + 2044, que é o último termo que estamos considerando. Tudo isso sobre 2, multiplicado por 350, que é a quantidade de termos, que é o "n". -50 + 2044 resulta em 1994, que serão divididos por 2 e multiplicadas por 350. Vou simplificar o 350 com 2, que dá 175. E vamos ficar com 1994 × 175. E agora podemos usar rapidamente uma calculadora para saber o resultado disto. Efetuando aqui vamos ter como resultado 348.950 Já que sabemos quanto é o "n", que é 350, podemos usar a notação sigma (Σ) para expressar esta mesma soma. Teremos então a somatória, digamos que, com "k" indo de 1 até 350. Temos 350 parcelas na soma, e cada parcela é o -50 adicionado de algumas vezes o número 6. Quantas vezes? Exatamente o "k - 1", ou seja, -50 + 6 × (k - 1) Isso descreve cada termo desta nossa soma. Observe que o primeiro termo que é -50 não temos que adicionar o 6, e é quando "k" vale 1. Portanto, o parentes vai dar 0 e não vamos adicionar nada. E para o último termo, nós vamos adicionar 349 vezes o número 6 ao primeiro termo, que era -50. E é isso. Esta série aritmética, esta soma que tínhamos acima está reescrita aqui, usando a notação Σ, a notação de somatória. Até o próximo vídeo.