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Exemplo prático: séries aritméticas finitas (notação sigma)

Transcrição de vídeo

temos aqui uma série infinita expressa por meio da anotação sigma e eu sugiro que você pausa o vídeo para tentar obter o seu resultado o resultado dela é um número agora que você já deve ter pensado sobre isso vamos trabalhar juntos nela esta é uma soma em que o carro vai de 1 até 550 então sabemos que temos 550 termos aqui e cada tema definido por dois canais 50 com o caindo portanto de um até 550 vamos começar expandindo um pouco esta soma para tentar sentir como ela se comporta e poder trabalhar melhor então ela vai ser igual a quando cavalli 1 nós vamos ter duas vezes 1 mas 50 quando cai 2 o próximo tema portanto vai ser duas vezes 2 mais 50 se o cara for 3 vamos ter duas vezes 3 mais 50 e assim vamos continuando até chegar ao último termo quando cá é 550 e nós vamos ter duas vezes o 550 mais 50 o primeiro termo então vai ser 52 mais o próximo termo vai ser 54 o próximo termo duas vezes 36 mais 50 são 56 e assim vamos continuar até o nosso último termo que vai ser duas vezes 550 que da mills em mais 50 mil 150 esta ideia já nos permite conhecer um pouco melhor a nossa série estamos começando e 52 aumentando de dois em dois até chegar em 1.150 já que de um termo para o próximo estamos sempre adicionando dois então podemos reconhecer aqui uma série aritmética ou seja a soma dos termos de uma progressão aritmética estamos sempre acrescentando a mesma quantidade de um termo para o seguinte para obter essa soma temos uma fórmula mas vamos tentar olhar de uma maneira mais intuitiva para entender de vez como funciona essa tal fórmula lembrando que em outros vídeos já temos a demonstração dela vamos lembrar que a soma dos 100 primeiros termos de uma progressão aritmética é o primeiro termo adicionado ao último dividido por dois e tudo isso vezes n que a quantidade de termos que temos ali ou seja é a média aritmética entre o primeiro eo último termos multiplicada pelo número de termos e aplicando aqui nesta nossa série teremos a soma dos primeiros 550 termos vai ser o primeiro termo que é 52 mas o último termo que é o 1.150 vamos tomar a média aritmética desses dois valores vamos dividir esta soma por dois e multiplicar esse resultado pelo número de termos que sabemos que é 550 vamos efetuar esta conta vou começar adicionando 52.150 52.150 resulta em 1202 1202 divididos por dois resultam em 601 que será multiplicado por 550 e efetuando essa multiplicação de 601 por 550 vamos chegar a 330 mil 550 ou seja esta soma que temos aqui resulta em 330 mil 550 bem mas voltando à história da fórmula 1 eu tinha comentado que nós vamos tentar dar um pouco de intuição sobre o uso ea justificativa para ela nós já sabemos que a soma dos 550 termos que temos ali a 52 mais 54 mais 56 e assim vai até 11 mil 150 vou escrever esta soma novamente mas agora eu vou inverter a ordem das parcelas e nós já sabemos que isso não afeta o resultado então essa soma vai ser 1.150 mais o termo seguinte vai ser 1.150 menos 2 ou seja 1.148 o próximo termo vai ser este diminuído de duas unidades novamente portanto 1.146 e assim vamos continuar até o primeiro termo que era o 52 reescrevemos a mesma sua anterior porém na ordem inversa o que eu vou fazer agora é adicionar estas duas igualdades o que está ao lado esquerdo de uma é igual ao que está ao lado direito dela portanto seu adicionar os dois lados esquerdos que temos aqui para ambas as igualdades vai dar o mesmo resultado que adicionar o que temos do lado direito de cada uma delas também do lado esquerdo vamos ter portanto duas vezes o s-500 50 que representa a soma dos 550 termos eu já fiz esta idéia de maneira genérica quando provei esta fórmula em vídeos anteriores mas agora a ideia ver aplicando numa situação em que temos números como isso tudo funciona vamos então olhar a adição do lado direito da igualdade quando adicionar estes dois termos ou seja 52 mais 1.150 vou obter 1202 e esse número deveria soar familiar para você ao adicionar estes outros dois eu também vou chegar a 1.200 e 2 agora quando eu adicionar estes dois aqui os 56 mais um 1156 e suponho que você já tenha percebido que deve acontecer que é o resultado aqui também dar 1202 assim prosseguiremos até a soma destes dois últimos que a 1.150 mais 52 que evidentemente vai resultar em 1202 já podemos notar que temos várias parcelas iguais a 1202 e quantas parcelas são essas temos exatamente 550 parcelas iguais a 1202 ou seja esta soma toda igual a 550 vezes 1202 mas agora se queremos o s-500 50 que a soma dos 550 termos dessa progressão aritmética precisamos dividir por dois para isolar aqui a soma dividindo os dois lados por dois dividindo tudo aqui na igualdade por dois anos ter exatamente o que fizer os ali acima 52.150 / 2 vezes 550 espero que isso tenha dado alguma ideia mais intuitiva sobre esta fórmula para você até o próximo vídeo