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Exemplo prático: séries aritméticas finitas (fórmula recursiva)

Transcrição de vídeo

RKA - Temos aqui uma progressão aritmética definida recursivamente. O termo "aᵢ", o i-ésimo termo dessa sequência, é o termo "aᵢ - 1" + 11. Assim definimos esta progressão aritmética. Isto significa que cada termo vai ser 11 unidades maior que o termo anterior. Vamos determinar também que o primeiro termo desta progressão aritmética, o "a₁", vai ser igual a 4. Estando agora esta progressão aritmética definida desta maneira, o que o desafio você é obter a soma dos primeiros 650 termos dela. E, a sugestão é que você pause o vídeo e tente fazer isso sozinho. Muito bem. Como podemos pensar, então, sobre isto? Bem, em vários vídeos anteriores, demos a ideia intuitiva da soma dos "n" primeiros termos de uma progressão aritmética. E chegamos, então, a uma fórmula. E a fórmula para obter a soma dos "n" primeiros termos de uma progressão aritmética, também dizemos que a fórmula para obter uma série aritmética, é "sₙ" igual à soma do primeiro e do último termos da sequência, dividida por dois, e multiplicada pela quantidade de termos ali envolvidos. Esta fórmula vale apenas para a soma dos termos de uma progressão aritmética, que é aquela em que um termo é obtido a partir do anterior, adicionando a ele sempre a mesma quantidade. Ou seja, a diferença entre um termo e o próximo é um número constante. Muito bem. E o que dizer sobre esta progressão aritmética que definimos aqui? Qual é o seu primeiro termo? Qual é o seu último termo? Nós já sabemos que o "n" é 650, porque queremos a soma dos 650 primeiros termos dessa progressão. Sabemos também que o primeiro termo é 4, isso foi dado na definição da progressão aritmética. Falta agora saber quem é o enésimo termo. Quem é o último termo que estamos considerando aqui, que seria o "a₆₅₀". E para entender aqui, vamos escrever a soma, parcela por parcela. A primeira parcela, o primeiro termo que é 4 mais o próximo termo, pela definição é o termo anterior adicionado de 11 unidades. Portanto, 4 + 11. O próximo termo vai ser 15. Para obter o próximo, basta adicionar 11, portanto, vai ser 26, e continuar assim. Vamos adicionando sempre 11 em termo para obter o próximo, mas para chegar ao último quantas vezes vamos ter que adicionar 11? Observe que para obter o segundo termo, eu adicionei 11 uma vez. Para chegar ao terceiro termo, eu adicionei 11 duas vezes, contando lá de trás. Para chegar ao termo de posição 650, que é "a₆₅₀", temos que continuar adicionando 11 várias vezes. Volte lá e observe. Para obter o segundo termo adicionamos 11 uma vez, a partir do primeiro. Para obter o terceiro termo, adicionamos 11 duas vezes, a partir do primeiro. Então, para chegar no termo 650, vamos ter que adicionar 11 649 vezes, que é os 650 termos -1. Observe, para obter o primeiro termo, eu usei zero vezes o 11. Para o segundo termo, adicionei 1 vez o 11, a partir do começo. Terceiro termo, adicionei 11 duas vezes. No quarto termo, teria adicionado 3 vezes o 11. Então, no termo 650, eu adicionei 649 vezes o 11. Então, para saber o valor do termo 650, o que eu devo fazer é pegar o primeiro termo, que é 4, e adicionar 649 vezes o 11, e isso vai nos dar 7143. Quer dizer, o "a₆₅₀", o último termo que estamos considerando, tem valor 7143. Já podemos voltar ali para a soma dos termos e trocar o "a₆₅₀" por 7143. Agora temos todos os valores que precisávamos para obter a soma dos 650 primeiros termos e é só efetuar 4 + 7143, que dá 7147. dividir por dois, que resulta em 3.573,5. E agora multiplicar esse valor por 650. Isso nos dá um resultado um pouquinho grande, 2.332.775 Então, esta soma dos 650 primeiros termos desta progressão aritmética, nestas condições, resulta em 2.322.775 e é isso. Até o próximo vídeo.