Gosto demais, mas na ultima pergunta eu não consegui usar a fórmula: a4= ak+(-7). Essa era a fórmula ?

Oi! Tudo bem? Pois bem, essa fórmula a4= ak+(-7) está na maneira recursiva certo? Porém aplicando a maneira recursiva, nós só conseguimos determinar um termo An sabendo qual é o anterior. Nesse caso, aplicando o modo recursivo, para sabermos o a4, teríamos que saber o a3, para saber o a3, teríamos que saber o a2, e por fim, para saber o a2, usamos o a1. Esse método demoraria um pouco mais do que se aplicássemos a fórmula do modo explícito, que nesse caso seria dada por A4 = A1 + (4-1)*-7 =10+3*-7 =10+(-21) =-11. Portanto, A4 = -11 Espero ter ajudado, abraços!

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Curso: Álgebra intermediária (parte 1) > Unidade 9

Lição 1: Introdução às progressões aritméticas

Introdução a progressões aritméticas

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Familiarize-se com progressões em geral, e aprenda o que são progressões aritméticas.

Antes de estudar esta lição, certifique-se de que você sabe como somar e subtrair números negativos.

O que é uma progressão?

Veja algumas listas de números:

3, 5, 7 ...
21, 16, 11, 6 ...
1, 2, 4, 8 ...

Listas de números ordenados como essas são chamadas de progressões. Cada número em uma progressão é chamado de termo.

$3,$ ‍	$5,$ ‍	$7, …$ ‍
$↑$ ‍	$↑$ ‍	$↑$ ‍
$1^{0} termo$ ‍	$2^{0} termo$ ‍	$3^{0} termo$ ‍

Em geral, as progressões têm padrões que nos permitem prever qual será o termo seguinte.

Por exemplo, na progressão 3, 5, 7 ..., sempre somamos dois para chegarmos ao próximo termo:

	$+ 2 ↷$ ‍		$+ 2 ↷$ ‍
$3,$ ‍		$5,$ ‍		$7, …$ ‍

Os três pontinhos que aparecem no final da progressão indicam que ela pode ser estendida, mesmo que só vejamos alguns termos.

Podemos fazer isso usando o padrão.

Por exemplo, o quarto termo da progressão deve ser o número nove, o quinto termo deve ser o número onze etc.

	$+ 2 ↷$ ‍		$+ 2 ↷$ ‍		$+ 2 ↷$ ‍		$+ 2 ↷$ ‍
$3,$ ‍		$5,$ ‍		$7,$ ‍		$9,$ ‍		$11, …$ ‍

Teste seu conhecimento

Estenda as progressões de acordo com seus padrões.

Problema 1

Padrão: some cinco ao termo anterior.

	$+ 5 ↷$ ‍		$+ 5 ↷$ ‍		$+ 5 ↷$ ‍
$3,$ ‍		$8,$ ‍		$13,$ ‍		Sua resposta deve ser um número inteiro, como $6$ ‍ uma fração própria simplificada, como $3 / 5$ ‍ uma fração imprópria simplificada, como $7 / 4$ ‍ um número misto, como $1 3 / 4$ ‍ um número decimal exato, como $0, 75$ ‍ um múltiplo de pi, como $12 pi$ ‍ ou $2 / 3 pi$ ‍ $, …$ ‍

Problema 2

Padrão: subtraia três do termo anterior.

	$- 3 ↷$ ‍		$- 3 ↷$ ‍		$- 3 ↷$ ‍
$20,$ ‍		$17,$ ‍		$14,$ ‍		Sua resposta deve ser um número inteiro, como $6$ ‍ uma fração própria simplificada, como $3 / 5$ ‍ uma fração imprópria simplificada, como $7 / 4$ ‍ um número misto, como $1 3 / 4$ ‍ um número decimal exato, como $0, 75$ ‍ um múltiplo de pi, como $12 pi$ ‍ ou $2 / 3 pi$ ‍ $, …$ ‍

Problema 3

Padrão: multiplique o termo anterior por dois.

	$\times 2 ↷$ ‍		$\times 2 ↷$ ‍		$\times 2 ↷$ ‍
$3,$ ‍		$6,$ ‍		$12,$ ‍		Sua resposta deve ser um número inteiro, como $6$ ‍ uma fração própria simplificada, como $3 / 5$ ‍ uma fração imprópria simplificada, como $7 / 4$ ‍ um número misto, como $1 3 / 4$ ‍ um número decimal exato, como $0, 75$ ‍ um múltiplo de pi, como $12 pi$ ‍ ou $2 / 3 pi$ ‍ $, …$ ‍

	$+ 5 ↷$ ‍		$+ 5 ↷$ ‍		$+ 5 ↷$ ‍
$3,$ ‍		$8,$ ‍		$13,$ ‍		$18, …$ ‍

	$- 3 ↷$ ‍		$- 3 ↷$ ‍		$- 3 ↷$ ‍
$20,$ ‍		$17,$ ‍		$14,$ ‍		$11, …$ ‍

	$\times 2 ↷$ ‍		$\times 2 ↷$ ‍		$\times 2 ↷$ ‍
$3,$ ‍		$6,$ ‍		$12,$ ‍		$24, …$ ‍

Problema 4

Faça a correspondência entre cada progressão e seu padrão.

1

A seguir, apresentamos as progressões com seus padrões indicados:

	$+ 7 ↷$ ‍		$+ 7 ↷$ ‍		$+ 7 ↷$ ‍
$4,$ ‍		$11,$ ‍		$18,$ ‍		$25, …$ ‍

	$\div 2 ↷$ ‍		$\div 2 ↷$ ‍		$\div 2 ↷$ ‍
$40,$ ‍		$20,$ ‍		$10,$ ‍		$5, …$ ‍

	$- 4 ↷$ ‍		$- 4 ↷$ ‍		$- 4 ↷$ ‍
$100,$ ‍		$96,$ ‍		$92,$ ‍		$88, …$ ‍

	$\times 3 ↷$ ‍		$\times 3 ↷$ ‍		$\times 3 ↷$ ‍
$4,$ ‍		$12,$ ‍		$36,$ ‍		$108, …$ ‍

O que é uma progressão aritmética?

Para muitos dos exemplos acima, o padrão envolve soma ou subtração de um número a cada termo para se obter o termo seguinte. Progressões com esses padrões são chamadas de progressões aritméticas.

Em uma progressão aritmética, a diferença entre termos consecutivos é sempre a mesma.

Por exemplo, a progressão 3, 5, 7, 9 ... é aritmética porque a diferença entre os termos consecutivos é sempre dois.

	$+ 2 ↷$ ‍		$+ 2 ↷$ ‍		$+ 2 ↷$ ‍
$3,$ ‍		$5,$ ‍		$7,$ ‍		$9, …$ ‍

A progressão 21, 16, 11, 6 ... também é aritmética porque a diferença entre os termos consecutivos sempre é menos cinco.

	$- 5 ↷$ ‍		$- 5 ↷$ ‍		$- 5 ↷$ ‍
$21,$ ‍		$16,$ ‍		$11,$ ‍		$6, …$ ‍

A progressão 1, 2, 4, 8 ... não é aritmética porque a diferença entre os termos consecutivos não é a mesma.

	$+ 1 ↷$ ‍		$+ 2 ↷$ ‍		$+ 4 ↷$ ‍
$1,$ ‍		$2,$ ‍		$4,$ ‍		$8, …$ ‍

Teste seu conhecimento

Problema 5

Selecione todas as progressões aritméticas.

A seguir, temos as progressões com suas diferenças consecutivas:

	$+ 4 ↷$ ‍		$+ 4 ↷$ ‍		$+ 4 ↷$ ‍
$11,$ ‍		$15,$ ‍		$19,$ ‍		$23, …$ ‍

A diferença entre termos consecutivos da progressão acima é sempre quatro, então esta é uma progressão aritmética.

	$+ 1 ↷$ ‍		$+ 2 ↷$ ‍		$+ 3 ↷$ ‍
$0,$ ‍		$1,$ ‍		$3,$ ‍		$6, …$ ‍

A diferença entre termos consecutivos da progressão acima está mudando, portanto, esta não é uma progressão aritmética.

	$+ 6 ↷$ ‍		$+ 18 ↷$ ‍		$+ 54 ↷$ ‍
$3,$ ‍		$9,$ ‍		$27,$ ‍		$81, …$ ‍

A diferença entre termos consecutivos da progressão acima está mudando, portanto, esta não é uma progressão aritmética.

	$- 9 ↷$ ‍		$- 9 ↷$ ‍		$- 9 ↷$ ‍
$29,$ ‍		$20,$ ‍		$11,$ ‍		$2, …$ ‍

A diferença entre termos consecutivos da sequência acima é sempre nove negativo, portanto, esta é uma progressão aritmética.

Problema 6

O primeiro termo de uma progressão é o número um. Qual dos seguintes padrões faria a progressão ser aritmética?

O significado do padrão "adição do número quatro ao termo anterior" é que a diferença entre os termos consecutivos é sempre quatro. Por isso, este padrão descreve uma progressão aritmética.

	$+ 4 ↷$ ‍		$+ 4 ↷$ ‍		$+ 4 ↷$ ‍
$1,$ ‍		$5,$ ‍		$9,$ ‍		$13, …$ ‍

De forma semelhante, o padrão "subtração de quatro do termo anterior" descreve uma progressão aritmética na qual a diferença entre termos consecutivos é sempre quatro negativo.

	$- 4 ↷$ ‍		$- 4 ↷$ ‍		$- 4 ↷$ ‍
$1,$ ‍		$- 3,$ ‍		$- 7,$ ‍		$- 11, …$ ‍

Ao contrário, o padrão "multiplicação do termo anterior por quatro" não resulta em uma progressão na qual a diferença entre termos consecutivos é constante.

	$+ 3 ↷$ ‍		$+ 12 ↷$ ‍		$+ 48 ↷$ ‍
$1,$ ‍		$4,$ ‍		$16,$ ‍		$64, …$ ‍

Da mesma forma, o padrão "divisão do termo anterior por quatro" não resulta em uma progressão aritmética.

	$- \frac{3}{4} ↷$ ‍		$- \frac{3}{16} ↷$ ‍		$- \frac{3}{64} ↷$ ‍
$1,$ ‍		$\frac{1}{4},$ ‍		$\frac{1}{16},$ ‍		$\frac{1}{64}, …$ ‍

A diferença comum

A diferença comum de uma progressão aritmética é a diferença constante entre termos consecutivos.

Por exemplo, a diferença comum de 10, 21, 32, 43 ... é 11:

	$+ 11 ↷$ ‍		$+ 11 ↷$ ‍		$+ 11 ↷$ ‍
$10,$ ‍		$21,$ ‍		$32,$ ‍		$43, …$ ‍

A diferença comum de –2, –5, –8, –11 ... é três negativo:

	$- 3 ↷$ ‍		$- 3 ↷$ ‍		$- 3 ↷$ ‍
$- 2,$ ‍		$- 5,$ ‍		$- 8,$ ‍		$- 11, …$ ‍

Teste seu conhecimento

Problema 7

Qual é a diferença comum de 2, 8, 14, 20 ...?

	$+ 6 ↷$ ‍		$+ 6 ↷$ ‍		$+ 6 ↷$ ‍
$2,$ ‍		$8,$ ‍		$14,$ ‍		$20, …$ ‍

Problema 8

Qual é a diferença comum de $5, 2, - 1, - 4 …$ ‍?

	$- 3 ↷$ ‍		$- 3 ↷$ ‍		$- 3 ↷$ ‍
$5,$ ‍		$2,$ ‍		$- 1,$ ‍		$- 4, …$ ‍

Problema 9

Qual é a diferença comum de $1, 1 \frac{1}{3}, 1 \frac{2}{3}, 2, …$ ‍?

	$+ \frac{1}{3} ↷$ ‍		$+ \frac{1}{3} ↷$ ‍		$+ \frac{1}{3} ↷$ ‍
$1$ ‍		$1 \frac{1}{3},$ ‍		$1 \frac{2}{3},$ ‍		$2, …$ ‍

Pergunta para reflexão

Qual alternativa deve ser verdadeira sobre uma progressão aritmética cuja diferença comum é negativa?

Uma diferença comum negativa significa que temos que subtrair algo de qualquer termo para obter o termo seguinte. Em outras palavras, o termo está sempre diminuindo.

Não é necessário que todos os termos da progressão sejam positivos ou negativos. A seguir, mostramos progressões que têm tanto termos positivos quanto negativos, mas todas têm diferenças negativas.

	$- 1 ↷$ ‍		$- 1 ↷$ ‍		$- 1 ↷$ ‍
$2,$ ‍		$1,$ ‍		$0,$ ‍		$- 1, …$ ‍

	$- 5 ↷$ ‍		$- 5 ↷$ ‍		$- 5 ↷$ ‍
$7,$ ‍		$2,$ ‍		$- 3,$ ‍		$- 8, …$ ‍

	$- 8 ↷$ ‍		$- 8 ↷$ ‍		$- 8 ↷$ ‍
$3,$ ‍		$- 5,$ ‍		$- 13,$ ‍		$- 21, …$ ‍

Observe como todas as progressões acima têm termos que estão sempre diminuindo.

Desafio

O primeiro termo de uma progressão aritmética é 10 e sua diferença comum é sete negativo.

Qual é o quarto termo da progressão?

Sabemos qual é o primeiro termo, 10, e a diferença comum, sete negativo. Com essa informação, podemos expandir a progressão até chegarmos ao quarto termo:

	$- 7 ↷$ ‍		$- 7 ↷$ ‍		$- 7 ↷$ ‍
$10,$ ‍		$3,$ ‍		$- 4,$ ‍		$- 11, …$ ‍

O quarto termo da progressão é -11.

E agora?

Saiba mais sobre as fórmulas de progressões aritméticas, que nos dão as informações de que precisamos para encontrar qualquer termo de uma progressão.

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211542012
Publicado há há 7 anos. Link direto para a postagem “No problema de número 6 ,...” de 211542012
No problema de número 6 , por que a opçao ''Multiplicação do termo anterior por quatro'' , não pôde ser considerada como correta ?
Botão para a página de cadastroComentar sobre a postagem “No problema de número 6 ,...” de 211542012
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- Adriano Correia
  Publicado há há 6 anos. Link direto para a postagem “Porque ele pede uma progr...” de Adriano Correia
  Porque ele pede uma progressão aritmética. Se você multiplicar, terá uma progressão geométrica.
  Botão para a página de cadastro
  (17 votos)
phellipe rodrigues
Publicado há há 8 anos. Link direto para a postagem “o khan ta pedindo para eu...” de phellipe rodrigues
o khan ta pedindo para eu voltar amanha
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borgesmatheus037
Publicado há há 5 anos. Link direto para a postagem “Gosto demais, mas na ulti...” de borgesmatheus037
Gosto demais, mas na ultima pergunta eu não consegui usar a fórmula: a4= ak+(-7). Essa era a fórmula ?
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(2 votos)
Resposta
- Levi Jesus
  Publicado há há 4 anos. Link direto para a postagem “Oi! Tudo bem? Pois bem, e...” de Levi Jesus
  Oi! Tudo bem?
  Pois bem, essa fórmula a4= ak+(-7) está na maneira recursiva certo?
  Porém aplicando a maneira recursiva, nós só conseguimos determinar um termo An sabendo qual é o anterior.
  
  Nesse caso, aplicando o modo recursivo, para sabermos o a4, teríamos que saber o a3, para saber o a3, teríamos que saber o a2, e por fim, para saber o a2, usamos o a1.
  
  Esse método demoraria um pouco mais do que se aplicássemos a fórmula do modo explícito, que nesse caso seria dada por
  
  A4 = A1 + (4-1)*-7
  =10+3*-7
  =10+(-21)
  =-11.
  
  Portanto, A4 = -11
  
  Espero ter ajudado, abraços!
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  (3 votos)
rafinhacreycrey
Publicado há há 2 anos. Link direto para a postagem “to com medo... o khan ta ...” de rafinhacreycrey
to com medo...
o khan ta pedindo para eu voltar amanha
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Resposta
Asafe
Publicado há há 9 meses. Link direto para a postagem “negocio difícil faltou um...” de Asafe
negocio difícil faltou uma pra terminar
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railinerodrigues17
Publicado há há 8 anos. Link direto para a postagem “eu não conseguir traduzir...” de railinerodrigues17
eu não conseguir traduzir a pagina
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Resposta
Professor Marcelo Oliveira
Publicado há há 5 anos. Link direto para a postagem “Boa Tarde. Ótima sequênci...” de Professor Marcelo Oliveira
Boa Tarde. Ótima sequência de exercícios para estudar para a prove mensal.
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Arbex Baiesta
Publicado há há 8 anos. Link direto para a postagem “A forma recursiva é mais ...” de Arbex Baiesta
A forma recursiva é mais pra entender o conceito e a explicita para montar a formula?
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Matheus Bispo
Publicado há há 5 meses. Link direto para a postagem “pq es tao difil? quando e...” de Matheus Bispo
pq es tao difil? quando eu vou usar isso?
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moreira.lima.rafael
Publicado há há um mês. Link direto para a postagem “porque colocaro letre na ...” de moreira.lima.rafael
porque colocaro letre na matematica
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