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Transcrição de vídeo

RKA - O que eu quero com este vídeo é que você pegue alguma familiaridade com o gráfico da função "y = tg ϴ". E, para isso, o que eu vou fazer aqui primeiro é desenhar o círculo unitário. Aqui está o eixo do "y" assim (então, aqui está o eixo do "y"), e, aí, a gente vai descobrir o valor da tangente dos vários valores do ϴ. Aqui, está o eixo do "x". E o círculo unitário vai ficar algo assim, né? Esse aqui é o nosso círculo unitário, só para a gente ter uma ideia de como vai ficar os valores da tangente para o ângulo ϴ. E tudo isso que estou fazendo aqui, na verdade, claro, é uma revisão do círculo unitário. E, aqui, vamos dizer que eu tenha um dos lados do ângulo ϴ, aqui sobre o eixo do "x" (esse aqui é um dos lados do ϴ), e outro lado digamos que esteja por aqui assim... então, esse ângulo ϴ é formado dessa maneira; e, aí, como você já sabe, esse ponto aqui de interseção (que esse lado do ϴ faz com o círculo unitário) vai te dar as seguintes coordenadas: o valor do "x" é o “cos ϴ” e o valor do "y" é o “sen ϴ”. Portanto, esse valor aqui no eixo do "x" é o “cos ϴ”; e esse valor aqui no eixo do "y" é o “sen ϴ”. Só que nós não queremos nem cosseno, nem seno de ϴ, nós estamos preocupados com a tangente do ϴ. E, como nós sabemos, a “tg ϴ” é igual ao “sen ϴ” dividido pelo “cos ϴ”. E esse valor da “tg ϴ” (“sen ϴ/cos ϴ”), essencialmente, é o valor dessa variação aqui no "y" sobre essa variação aqui no "x". E o que é isso essencialmente? Isso, na verdade, é a inclinação dessa reta aqui. É ou não é? Então, ao calcular a “tg ϴ”, nós vamos descobrir a inclinação desse raio aqui. Sim ou não? Desse lado que forma o ângulo ϴ. Agora, deixe-me só deletar aqui algumas coisas para facilitar o que a gente vai ver agora, e fazer uma tabela. Vamos lá! Está aqui. Beleza! Pronto! Então, eu vou fazer aqui uma tabelinha (certo?), onde eu vou colocar os valores de ϴ de um lado e aqui os valores da “tg ϴ”. Pois bem, o valor mais fácil aqui, no caso, é quando o ϴ é igual a zero. Quando o ϴ é igual a zero, qual vai ser a inclinação dessa reta aqui? Ora, vai ser zero também. Sim ou não? Por que zero? Ora, porque quando "x" varia, o "y" não varia nada, portanto a inclinação é zero. Agora, o que eu vou fazer é pegar outros valores para o ϴ, de maneira que fique fácil calcular o valor da “tg ϴ”, e, aí, eu posso ter uma noção depois de como esse gráfico da “tg ϴ” vai se comportar. Beleza? Vamos pegar primeiro o valor de ϴ igual a π/4; vai ser mais ou menos esse ângulo aqui, né? Então, digamos que esse ϴ aqui é igual a π/4 radianos. E por que esse ângulo aqui é interessante para a gente? Ora, às vezes, é mais fácil pensar em grau: π/4 é a mesma coisa que 45 graus e, para esse ângulo, tanto a coordenada do "x" quanto a coordenada do "y" são as mesmas. E esse valor, como você deve recordar, é raiz de 2 sobre 2. O que isso quer dizer? Que, quando eu me movo na direção do "x", eu me movo exatamente a mesma coisa na direção do eixo "y"; e, então, a inclinação dessa reta aqui vai ser igual a 1, já que eu estou dividindo um número por ele próprio. Ou outra maneira de ver isso é que a tangente do ângulo ϴ vai ser igual a 1. Deixe-me só deletar essas coisas aqui porque eu vou reaproveitar esse mesmo círculo unitário para outras medidas do ϴ. Pronto! Portando, pelo que eu acabei de calcular, quando ϴ é π/4, a “tg ϴ” é igual a 1 . E, agora, o que acontece quando ϴ for igual a -π/4? Isso vai ser esse ângulo aqui. É ou não é? Deixe-me eu fazer, primeiro, aqui um triângulo retângulo propriamente dito aqui, né? Assim. Aqui, eu vou ter o ângulo ϴ igual a -π/4. Se eu pensar em termos de graus, isso vai ser igual a -45 graus. Ora, quanto será o seno e o cosseno desse ângulo? Aqui está o cosseno; o cosseno de -π/4 vai ser raiz de 2 sobre 2, e o seno vai ser o seu valor oposto (olha aqui! Vai ser o simétrico), vai ser menos raiz de 2 sobre 2. E, agora, quanto será a tangente desse ϴ quando ϴ é igual a -π/4? Ora, vai ser -1. Sim ou não? Pois, quando eu me movo uma quantidade aqui no eixo do "x", eu me movo a mesma quantidade, só que é o simétrico dessa quantidade, aqui no eixo do "y". Agora, deixe-me deletar isso aqui novamente para poder reutilizar esse círculo unitário. Vamos lá! Beleza! E, pelo que nós calculamos, o valor da “tg ϴ” quando ϴ é -π/4 é igual a -1. Agora, vamos colocar algum desses valores que nós já descobrimos aqui no gráfico. É o seguinte: aqui eu tenho o eixo do ângulo ϴ; aqui eu tenho o eixo do "y". E, aí, o que eu descobri já aqui foi: quando ϴ for zero, “tg ϴ” vai ser zero, então, o pontinho vai ficar aqui; depois disso, a tangente do ângulo π/4 vai ser 1, então o ponto vai ficar aqui; e a tangente do ângulo -π/4 vai ser -1, o ponto vai ficar aqui. E, de observar isso daqui, você pode pensar: ora, isso aqui vai ser uma reta. Sim ou não? Só que não! não vai ser uma reta! Por quê? Vamos tentar ver aqui o valor da tangente quando esse ângulo se aproxima de π/2 e -π/2. Vamos ver aqui, por exemplo, quando esse ângulo se aproxima mais e mais de π/2 (essa inclinação aqui bem alta, né?); então, nesse caso aqui, esse aqui vai ser o nosso ϴ, que está se aproximando cada vez mais de π/2. Ora, quanto mais eu me aproximo aqui desse eixo vertical do "y", a inclinação dessa reta aqui está ficando cada vez mais positiva. E, aí, quando esse ϴ for exatamente igual a π/2, esse valor da tangente vai ser indefinido; mas, quando ele se aproxima muito, muito, muito de π/2, a gente pode pensar que a tangente desse ângulo ϴ, quando ele se aproxima de π/2, vai ser infinita. Então, o que eu vou ter aqui, por exemplo, vai ser uma assíntota vertical já que a “tg ϴ”, quando ele chega próximo de π/2, vai ser igual ao infinito positivo. É ou não é? É claro! E, aí, o gráfico vai ficar parecido mais ou menos com isso aqui. Sim ou não? Uma curva que vai chegando cada vez mais próxima do infinito positivo lá em cima quando se aproxima o ângulo de π/2. E, agora, o que acontece quando esse ângulo ϴ se aproxima cada vez mais de -π/2? Ângulo bem próximo aqui de -π/2. Essa inclinação está se tornando cada vez mais negativa. Sim ou não? Então, a tangente desse ângulo aqui está se aproximando cada vez mais do menos infinito. Logo, essa função não está definida para quando ϴ for -π/2. Então, vou ter uma assíntota vertical aqui também, que vai estar limitando esse gráfico. E, portanto, quando ele vai para -π/2 (o ϴ) esse gráfico vai para o menos infinito. Ele vai ficar mais ou menos assim: vai se aproximando do -π/2, vai para o menos infinito. Então, o gráfico pareceria com isso aqui. No caso, ele tem essa aparência para esse intervalo aqui de -π/2 até π/2, mas, se a gente quiser, a gente pode continuar dando valores para o ϴ. Por exemplo, o que acontece quando eu, simplesmente, ultrapasso um pouquinho aqui π/2? Ou seja, esse ângulo aqui mais ou menos, né? Olha só! A inclinação dessa reta aqui vai ser bem parecida com a inclinação dessa outra aqui (do ângulo negativo; do -π/2) quando a gente se aproxima de -π/2. Sim ou não? E, portanto, quando eu passo um pouquinho de π/2, a inclinação tende a ser menos infinito. E, portanto, quando eu me aproximo do π/2 por aqui, vai dar infinito positivo; já por aqui, ela pula para cá; ela pula para o infinito negativo nessa parte aqui, certo? E, depois, se eu continuar aumentando esse valor do ϴ, por exemplo, para esse ângulo aqui, a tangente vai se tornando cada vez menos negativa e mais positiva. Sim ou não? Está aqui! Seria isso aqui também, o equivalente a essa inclinação. Ora, vamos dizer que esse ângulo aqui (todo esse ângulo aqui que eu acabei de construir) seja 3π/4. Por que eu escolhi 3π/4? Porque ele é "(π/2) + (π/4)". E daí? E daí que é o seguinte: esse triângulo aqui que vai ser formado, esse triângulo retângulo, vai ser um outro triângulo retângulo 45-45-90 graus. Sim ou não? E, aí, vai acontecer o seguinte: tanto esse eixo do "x" aqui, a variação no "x", quanto a variação do "y" vai ser a mesma. Só que aqui é o seguinte: o "y" vai ter uma variação positiva e o "x" a mesma variação só que é o simétrico negativo. Sim ou não? Logo, quando eu efetuar a divisão da variação do "y" sobre a variação do "x", eu vou ter essa mesma inclinação do -π/4; e, portanto, vai ser igual a -1. Portanto, em 3π/4, a inclinação daquela reta ali vai ser igual a -1; vai estar aqui. Depois disso, eu posso continuar aumentando o valor desse ângulo ϴ até chegar no π. Olha aqui o ângulo π! A tangente desse ângulo π vai ser igual a zero novamente; daí, o pontinho vai ficar bem aqui sobre o π. E, aí, depois, se eu aumentar mais π/4 a partir do π aqui, vai ter essa inclinação, que vai ser uma inclinação positiva. Olhe aqui! Sim ou não? Quando eu aumentar do π mais π/4, eu vou ter que a inclinação daquela reta vai ser igual a 1 positivo. E, aí, mais uma vez, se eu me aproximar, chegar bem próximo aqui desse ângulo 3π/2, a inclinação vai ficar cada vez mais positiva. Sim ou não? E, portanto, a “tg ϴ” vai tender ao infinito positivo. E, aí, esse gráfico vai parecer mais ou menos com isso aqui; vai ficar parecendo com esse gráfico aqui. Aqui, ele vai para o infinito; aqui eu tenho uma assíntota também. Então, esse gráfico vai ter essa aparência aqui. Está certo? E o que eu percebo aqui é que esse gráfico vai ficar se repetindo a cada π radianos: daqui até aqui eu tenho π; daqui até aqui é um outro intervalo de π; e, daí, em diante. Ou seja, aqui para o lado esquerdo, por exemplo, eu sei que o pontinho vai ficar sobre o eixo do "x" aqui no -π. E, aí, eu posso desenhar também essa assíntota bem aqui em -3π/2; aqui, eu vou ter uma assíntota vertical. Bem aqui, no -3π/4, a inclinação vai ser 1 positivo. Aqui no -5π/4 vai ser 1 negativo; e o gráfico vai ficar dessa maneira aqui. Uma outra repetição. Vai ficar assim, certo? Ficou claro? Vai ter esse aspecto aqui. E, como eu acabei de falar, esse gráfico é periódico, e ele vai seguir assim, indefinidamente, em ambas as direções, beleza? Vemo-nos no próximo vídeo!